Explication de l'énumération systématique des résultats
L'énumérationsystématique des résultats consiste à dresser méthodiquement la liste de tous les résultats possibles d'un événement de manière à n'en oublier aucun.
L'énumération systématique des résultats nous permet de calculer la probabilité qu'un événement se produise, car tous les résultats possibles sont énumérés. Cela signifie que la probabilité qu'un événement se produise est le nombre de fois où cet événement apparaît dans la liste des résultats divisé par le nombre total de résultats. Cependant, cela n'est possible que si la probabilité de chaque événement individuel est égale, par exemple, si l'on tire à pile ou face ou si l'on lance un dé sans biais.
Méthode de l'énumération systématique des résultats
La liste systématique des résultats peut être établie par inspection. Cela signifie qu'en utilisant les informations de la situation, tu décides quelle est la meilleure façon d'énumérer systématiquement les résultats possibles. Prenons un exemple pour voir comment on procède généralement :
Szymon est au restaurant. Il commande un repas à trois plats. Les options pour chaque plat sont les suivantes :
Entrée : soupe, gressins
Plat principal : Pizza, hamburger
Dessert : crème glacée, salade de fruits
Fais la liste de tous les repas possibles que Szymon pourrait commander.
Solution :
Une bonne façon d'énumérer systématiquement les résultats consiste à commencer par rendre fixes toutes les options, sauf une, et à dresser la liste de tous les résultats qui peuvent en découler. Par exemple, nous pouvons commencer par énumérer tous les repas possibles qui comprennent une soupe en entrée et une pizza en plat principal. Cela nous donne :
Soupe, Pizza, Crème glacée
Soupe, pizza, salade de fruits
Ensuite, nous pouvons changer le principal en hamburger, ce qui nous donne :
Soupe, Burger, Crème glacée
Soupe, burger, salade de fruits
Maintenant, nous pouvons répéter le processus mais avec des gressins en entrée.
Bâtonnets, Pizza, Crème glacée
Bâtonnets, Pizza, Salade de fruits
Bâtonnets de pain, hamburger, crème glacée
Bâtonnets de pain, hamburger, salade de fruits
Cette méthode d'énumération des résultats est connue sous le nom de principe fondamental de l'énumération systématique. Elle permet de s'assurer qu'aucun résultat n'est oublié.
Une autre façon d'énumérer systématiquement les résultats consiste à utiliser un diagramme d'espace-échantillon.
Un diagramme d'espace -échantillon est un tableau qui énumère toutes les issues possibles d'un événement décidé par la combinaison de deux événements distincts.
Les diagrammes d'espace type sont créés en élaborant un tableau, en intitulant les colonnes avec les résultats du premier événement et les lignes avec les résultats du deuxième événement. Les cases sont remplies avec le résultat du calcul des en-têtes correspondants.
Les diagrammes de l'espace type peuvent être utilisés lorsqu'un calcul est effectué avec les deux événements. C'est le cas par exemple si l'on fait tourner deux toupies portant des valeurs numériques et que l'on additionne les résultats de chacune d'entre elles. Les diagrammes d'espace-échantillon sont excellents pour calculer les probabilités des événements, car le nombre de résultats est calculé en.. :
en comptant le nombre de carrés contenant le résultat souhaité.
en multipliant le nombre de lignes par le nombre de colonnes.
en divisant le premier nombre par le second.
On lance deux dés à six faces et on additionne les nombres obtenus à chaque lancer de dé. Affiche tous les résultats possibles à l'aide d'un diagramme de l'espace d'échantillonnage.
Solution :
Le résultat de chaque dé est un nombre compris entre 1 et 6. Nous allons énumérer chacun de ces résultats dans un tableau :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| 6 |
Chaque jet de dé est additionné, nous additionnons donc les titres des colonnes et des lignes comme suit :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1 + 1 = 2 | 2 + 1 = 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 1 + 2 = 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Liste systématique d'exemples de résultats
Quand faut-il utiliser une liste systématique des résultats ? Lorsque l'on décrit un événement qui comporte un grand nombre de résultats ou de permutations, il faut utiliser une liste systématique des résultats pour dresser la liste de tous les résultats possibles. La liste systématique des résultats est également utile pour déterminer les probabilités de certains résultats. Nous allons examiner quelques exemples de situations dans lesquelles l'énumération systématique des résultats est appropriée.
Deux toupies à trois faces contenant les chiffres 1, 2 et 3 sont lancées et le résultat de chaque rotation est enregistré, formant un nombre à deux chiffres. Quels sont les nombres possibles qui peuvent être obtenus ?
Solution :
Dans cette situation, il y a 2 chiffres dans le nombre final et chaque chiffre a 6 valeurs différentes possibles, ce qui signifie qu'il y a des nombres possibles qui peuvent être faits. Il s'agit d'un grand nombre de résultats, c'est pourquoi il faut utiliser une liste systématique des résultats.
Nous devrions commencer par donner la valeur 1 au premier chiffre, puis énumérer tous les résultats possibles de la façon suivante :
11
12
13
Ensuite, nous faisons en sorte que le premier chiffre soit égal à 2 et nous énumérons les résultats possibles :
21
22
23
Maintenant, nous répétons ce processus, en prenant 3 comme premier chiffre :
31
32
33
On lance deux dés à six faces et on additionne les résultats de chaque lancer de dé. Quelle est la probabilité que le total des dés soit égal à 7 ?
Solution :
Dans cette situation, nous avons deux événements qui sont combinés pour former un résultat, en les additionnant. Cela signifie qu'un diagramme d'espace d'échantillonnage est parfait ici, car il est excellent pour trouver les probabilités des résultats.
Commence par créer un tableau avec des titres énumérant les résultats de chaque lancer de dé :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| 6 |
Ensuite, remplis chaque case avec la somme de l'en-tête de sa colonne et de sa ligne respectives :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1 + 1 = 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Pour trouver la probabilité que le résultat soit 7, il suffit de compter le nombre de cases qui contiennent le chiffre 7, puis de le diviser par le nombre total de cases, qui est le nombre de lignes multiplié par le nombre de colonnes.
La probabilité que le résultat soit 7 est
Importance de l'énumération systématique des résultats
Pourquoi utiliser la liste systématique des résultats ? Si nous choisissons simplement les résultats au hasard ou sans méthode, il est probable que certains résultats soient oubliés au départ, ce qui signifie que l'on passe beaucoup de temps à les répertorier, ou qu'ils soient même complètement oubliés. L'énumération systématique des résultats rend le processus d'énumération des résultats des événements aussi précis et efficace que possible. Plus il y a de résultats, plus une méthode systématique d'énumération est efficace. Si tu veux te rendre compte par toi-même de l'importance de l'énumération systématique des résultats, essaie l'une des questions d'exemple de cet article sans utiliser de méthode systématique et compare le temps qu'il te faut pour énumérer tous les résultats avec une méthode systématique.
Liste systématique des résultats - Principaux enseignements
- L'énumérationsystématique des résultats consiste à dresser méthodiquement la liste de tous les résultats possibles d'un événement de manière à n'en oublier aucun.
- La liste systématique des résultats est utilisée lorsqu'un résultat est constitué d'une combinaison d'événements qui donnent lieu à un grand nombre de résultats possibles.
- L'énumération systématique des résultats rend le processus d'énumération des résultats des événements aussi précis et efficace que possible.
- Un diagramme d'espace-échantillon est un tableau qui énumère tous les résultats possibles d'un événement décidé par la combinaison de deux événements distincts.
- Les diagrammes d'espace-échantillon sont créés en élaborant un tableau, en intitulant les colonnes avec les résultats du premier événement et les lignes avec les résultats du deuxième événement. Les cases sont remplies avec le résultat du calcul des en-têtes correspondants.
- Les diagrammes d'espace-échantillon peuvent être utilisés pour calculer les probabilités des résultats en procédant comme suit : en comptant le nombre de cases contenant le résultat souhaité, en multipliant le nombre de lignes par le nombre de colonnes, puis en divisant le premier nombre par le second.
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