Distribution géométrique

Un patient souffre d'insuffisance rénale et a besoin d'une greffe d'un donneur approprié. La probabilité qu'un donneur aléatoire corresponde aux exigences de ce patient est de \(0,2\).

1. Suppose qu'aucun donneur ne corresponde aux exigences du patient jusqu'à ce qu'un cinquième donneur se présente. Quelle est la probabilité de ce scénario ?
2. Trouve la probabilité que le patient ait besoin de \(10\) ou moins de donneurs jusqu'à ce qu'une correspondance soit trouvée.
3. Quel est le nombre attendu de donneurs nécessaires pour obtenir une compatibilité ?
4. Trouve l'écart type de ce scénario.

Solution :

1. Chaque fois que tu dois trouver la probabilité que l'expérience nécessite un nombre exact d'essais pour réussir, tu dois commencer par écrire sa fonction de masse de probabilité. Dans ce cas, puisque \(p=0,2\) alors\[ \i1}début{align} P(X=x) &= (1-p)^{x-1}p \N- &= (1-0.2)^{x-1}(0.2) \N- &= (0.8)^{x-1}(0.2). Maintenant, tu peux évaluer la fonction ci-dessus lorsque \(x=5\), ce qui te donne\[ \N- \N- \N- \N{align}} P(X=5) &= (0.8)^{5-1}(0.2) \N &= (0.8)^4(0.2) \N &= 0.08192, \Nend{align}\N]ce qui signifie que la probabilité que ce scénario se produise est de \N( 8.192 \N%).
2. Cette fois, tu auras besoin de la fonction de distribution cumulative, qui dans ce cas est donnée par\[ P(X\leq k) = 1-(1-p)^k.\N]Puisque tu cherches le cas où dix donneurs ou moins sont nécessaires, tu dois ajouter \(k=10\N) à la formule ci-dessus (et \N(p=0,2\N) également), ce qui te donnera\[ \begin{align} P(X\leq 10) &= 1-(1-0.2)^{10} \\ &= 1-(0.8)^{10} \N- &= 0.892625, \N- [end{align}\N]donc la probabilité de trouver un rein approprié parmi dix donneurs aléatoires est d'environ \N(89.26 \N%\N).
3. Il s'agit d'une tâche assez simple. Pour le nombre attendu de donneurs, tu dois utiliser la formule de la valeur attendue, donc\[ \mu = \frac{1}{p}.\]En substituant \(p=0.2\) tu obtiendras\[ \bgin{align} \mu &= \frac{1}{0.2} \ &=5. \end{align}\]
4. Enfin, tu peux trouver l'écart type en utilisant la formule[\sigma = \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}.\N]En substituant \(p=0.2\N), tu obtiendras[\begin{align} \sigma &= \sqrt{ \frac{1-0.2}{0.2^2} } \N- &= \sqrt{20} \\ &= 4.472133. \N- [end{align}\N]

Supposons que tu jettes un dé juste jusqu'à ce que tu obtiennes un trois comme résultat.

1. Quelle est la probabilité que tu n'obtiennes pas de trois avant ton quatrième lancer ?
2. Trouve la probabilité d'obtenir le trois dont tu as besoin en moins de \(10\) lancers.
3. Quel est le nombre attendu de lancers nécessaires pour obtenir le résultat souhaité ?
4. Trouve la variance de cette expérience.

Solution :

1. Dans ce cas, tu dois trouver la probabilité d'obtenir le succès. Comme tu utilises un dé équitable, les chances d'obtenir l'un ou l'autre des nombres sont toutes égales, donc \[ p = \frac{1}{6}\]pour obtenir un nombre spécifique, ce qui inclut l'obtention d'un résultat de trois. Maintenant que tu connais \(p\), tu peux écrire la fonction de masse de probabilité pour cette expérience géométrique, c'est-à-dire\[ \begin{align} P(X=x) &= (1-p)^{x-1}p \\ &= \left( 1- \frac{1}{6} \right)^{x-1} \left( \frac{1}{6} \right) \\ &= \left( \frac{5}{6} \right) ^{x-1} \left( \frac{1}{6} \right). \n-{align} \] Enfin, évalue l'expression ci-dessus lorsque \(x=4\), obtenant\[ \N-begin{align} P(X=4) &= \left( \frac{5}{6} \right) ^{4-1} \left(\frac{1}{6} \right) \&= 0.0964506. \Cela signifie que la probabilité que tu n'obtiennes pas de trois avant ton quatrième lancer est de 9,645 %.
2. Pour ce cas, tu auras besoin de la fonction de distribution cumulative, qui dans ce cas est\[ P(X\leq k)=1-(1-p)^k.\]Ici, on te demande de trouver la probabilité d'obtenir le succès en moins de \(10\) lancers, ce qui signifie \(9\) lancers ou moins, donc \( k=9\N). Sachant cela, tu peux substituer \N(k\N) et \N(p\N) pour trouver la probabilité demandée, soit\N[ \Nbegin{align}]. P(X\leq 9) &= 1-\left(1-\frac{1}{6}\rect)^9 \\N &= 1-\left(\frac{5}{6}\rect)^9 \N &= 0.806193. \N-END{align} \]Ainsi, la probabilité d'obtenir le résultat souhaité en moins de \(10\) jets est de \( 80,6193 \% \).
3. Tu peux utiliser la formule\[ \mu = \frac{1}{p}\]pour trouver la valeur attendue, donc\[ \mu = \frac{1}{\frac{1}{6}}, \] que tu peux simplifier avec les propriétés des fractions, ce qui te donne\[ \mu = 6.\]
4. Cette fois, tu peux utiliser la formule de la variance,\N- [\Nsigma^2 = \Nfrac{1-p}{p^2},\N]donc\N- [\Nbegin{align}] \sigma^2 &= \frac{1-\frac{1}{6}}{\left(\frac{1}{6}\right)^2} \\ &=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{36}} \\ &= 30. \N-END{align} \]

Supposons que la probabilité de gagner un article à la machine à griffes soit de \( 0,05\).

1. Quelle est la probabilité de gagner un article au premier essai ?
2. Quelle est la probabilité de gagner un objet en moins de 20 essais ?
3. Suppose que tu doives utiliser une pièce de 25 cents pour chaque essai. Quelle est la somme d'argent attendue pour obtenir un prix ?

Solution :

1. C'est une question délicate ! Tu peux essayer de construire la fonction de masse de probabilité et d'utiliser \N(x=1\N), mais on t'a déjà dit que la probabilité de gagner un article à la machine à griffes est de \N(0,05\N), ou \N( 5\N%), donc c'est la réponse.
2. Comme d'habitude, construis la fonction de distribution cumulative, donc\N[ P(X\leq k) = 1-(1-p)^k.\N]Tu dois trouver la probabilité de gagner un article en moins de \N(20\N) essais, ce qui signifie\N(19\N) ou moins d' essais. Donc \(k=19\). Sachant cela, évalue la fonction de distribution cumulative, c'est-à-dire\N[ \N-{align}{\N-{\N-{\N-{\N}]. P(X\leq k) &= 1-(1-0.05)^{19} \\ &= 1-(0.95)^{19} \\&=0.622646.\end{align}\] Ainsi, la probabilité de gagner un prix en moins de \(20\) essais est de \(62,2646\%\).
3. Chaque fois que l'on te pose des questions sur les attentes, tu dois commencer par trouver la valeur attendue. In this case this means that\[ \begin{align} \mu &= \frac{1}{\mu} \\nbsp;\nbsp;&= \frac{1}{0.05} \\ &= 20. \N- [end{align}\N]Cela signifie que tu peux t'attendre à jouer à la machine à griffes environ \N(20\N) fois. Comme chaque fois que tu joues te coûte une pièce, tu as besoin de \N(20\N) pièces, donc\N[20(0,25) = 5\N]signifie que tu peux t'attendre à dépenser \N(5\N) pour la machine à griffes.