Diagramme de Venn

Diagramme de Venn : Cours

À quoi ressemblent les diagrammes de Venn ? Tous les diagrammes de Venn se composent d'un rectangle qui contient toutes les données de l'ensemble. C'est ce qu'on appelle l'espace échantillon ou l'univers des résultats possibles. Le symbole qui représente l'univers des possibles est \( \Omega \), le caractère grec oméga, ou bien ε, le caractère grec epsilon. Tous les ensembles ajoutés au diagramme de Venn seront des sous-ensembles de l'univers des possibles.

Univers des possibles dans un diagramme de Venn

Pour illustrer les ensembles dans le diagramme de Venn, nous dessinons des cercles qui contiennent les données du sous-ensemble. Si certaines valeurs de deux ensembles peuvent être membres des deux ensembles, assure-toi que les cercles se croisent. Sinon, les cercles ne doivent pas se croiser.

Lorsque nous traitons des probabilités, si les deux cercles ne se croisent pas, cela signifie que les deux événements sont mutuellement exclusifs, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Ajoutons deux ensembles, l'ensemble A et l'ensemble B, qui peuvent se croiser.

Diagramme de Venn avec des ensembles qui se croisent

Les valeurs qui ne sont contenues dans aucun des ensembles sont à l'extérieur des cercles mais sont toujours à l'intérieur du rectangle (l'univers des possibles). Avec cette intersection, nous avons maintenant créé un autre sous-ensemble.

Intersection, union et ensemble complémentaire dans les diagrammes de Venn

Intersection

La zone à l'intérieur du chevauchement créé entre les deux cercles est appelée l'intersection. Les données qui entrent ici sont tout ce qui est membre des deux ensembles.

L'intersection de deux ensembles A et B sur un diagramme de Venn

Union

L'intégralité de l'espace délimité par les deux cercles est l'union (ou réunion) des deux ensembles. Tous les éléments des deux ensembles sont membres de l'union des deux ensembles.

L'union de deux ensembles A et B sur un diagramme de Venn

Complémentaire

Le complémentaire d'un ensemble contient tous les éléments de l'univers des possibles qui ne sont pas membres de l'ensemble.

Si nous voulons représenter l'ensemble complémentaire A, nous remplirions toutes les parties du diagramme de Venn sauf le cercle représentant l'ensemble A.

Ensemble complémentaire A sur un diagramme de Venn

Nous allons maintenant examiner les symboles qui représentent les sous-ensembles que nous venons de décrire.

Notation des ensembles avec les diagrammes de Venn

Voici les symboles utilisés pour effectuer des opérations sur des ensembles existants :

Comment ces symboles s'appliquent-ils aux diagrammes de Venn ? Comme nous l'avons établi précédemment, les diagrammes de Venn représentent des ensembles, donc certaines zones du diagramme de Venn représentent certains sous-ensembles créés par ces opérateurs. Voyons un exemple de question similaire à celle que tu pourrais rencontrer :

Faire un diagramme de Venn

Pour dessiner un diagramme de Venn, nous pouvons suivre une série d'étapes logiques. Nous allons d'abord montrer comment dessiner un diagramme pour deux sous-ensembles de l'espace d'échantillonnage. Pour l'instant, nous les appellerons A et B.

1. Dessine deux cercles, qui ont une section qui se chevauche au milieu ;

2. Dessine un rectangle autour de l'extérieur de ces deux cercles, en laissant de la place entre les cercles et le rectangle ;

3. Note à l'extérieur du rectangle le symbole de l'univers des possibles ;

4. Étiquette un cercle A, et l'autre B, car ils représentent nos deux sous-ensembles.

Le résultat devrait ressembler à ceci :

Exemple de diagramme de Venn avec deux sous-ensembles de l'espace d'échantillonnage

Pour trois sous-ensembles de l'espace d'échantillonnage, disons A, B et C, nous suivons des étapes similaires mais avec trois cercles qui se chevauchent, comme indiqué ci-dessous.

Exemple de diagramme de Venn avec trois sous-ensembles de l'espace d'échantillonnage

Diagramme de Venn : Probabilité

Les diagrammes de Venn sont très utiles pour déterminer des probabilités. En effet, chaque cercle représente un événement et nous pouvons utiliser les informations présentées par le diagramme pour trouver la probabilité de toutes les issues.

Pour trouver la probabilité d'un événement à l'aide d'un diagramme de Venn :

1. trouve le nombre total de toutes les issues ;

2. additionne le nombre d'issues contenues dans la région représentant l'événement souhaité ;

3. divise le nombre trouvé à l'étape 2 par le nombre trouvé à l'étape 1.

Comment savoir quelle région représente l'événement souhaité ? Regardons un diagramme de Venn contenant les chiffres de 1 à 6 et deux ensembles : l'ensemble A, qui contient les nombres pairs, et l'ensemble B, qui contient les nombres premiers.

Diagramme de Venn des nombres pairs et premiers

Si un nombre a été choisi au hasard, quelle est la probabilité que ce nombre soit pair et premier ? L'ensemble A contient des nombres pairs et l'ensemble B contient des nombres premiers, donc l'intersection des deux cercles est la région qui représente cela. Par conséquent, la probabilité qu'un nombre soit pair et premier est le nombre de nombres contenus dans cette région divisé par le nombre total de valeurs dans le diagramme de Venn.

Il y a 1 valeur dans l'intersection, et 6 nombres dans le diagramme de Venn, donc la probabilité que le nombre soit pair et premier est de $1÷6=\frac{1}{6}$

Diagramme de Venn : Exemples

Voyons quelques exemples plus avancés impliquant les diagrammes de Venn.