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Définition d'une fonction
Voyons d'abord la définition d'une fonction.
Une fonction est un type de relation mathématique dans laquelle une entrée crée une sortie.
Prenons quelques exemples.
Voici quelques exemples de types de fonctions :
- \(f(x)=x^2)
- \N(g(x)=x^4+3\N)
Fonctions algébriques
Les fonctions algébriques impliquent les variables et les constantes reliées par différentes opérations telles que l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'exponentiation, etc. Découvrons la fonction algébrique avec sa définition, ses types et ses exemples.
Une fonction algébrique est un type de fonction qui contient des opérations algébriques.
Voici quelques exemples de ces fonctions.
- \(f(x)=2x+5)
- \N(f(x)=x^3\N)
- \N(f(x)=2x^2+x-2\N)
Les fonctions algébriques peuvent être représentées sur un graphique. Chaque type de fonction crée un type de graphique différent.
Différents types de graphiques de fonctions
Les différents types de fonctions peuvent créer différents types de graphiques, chacun ayant ses caractéristiques.
Fonctions paires
Une fonction est dite paire lorsque \(f(-x)=f(x)\). Une fonction paire crée un graphique dont la ligne est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Fig. 1. Graphique d'une fonction paire.
Voici quelques exemples de fonctions paires : \N(x^2, x^4\N) et \N(x^6\N).
Certains types de fonctions peuvent également être paires, comme les fonctions trigonométriques. Un exemple de fonction trigonométrique paire est \N(\Ncos(x)\N).
\N(\Ncos(-x)=\Ncos(x)\N)
Fonctions impaires
Une fonction est dite impaire lorsque \(f(-x)=-f(x)\). Une fonction impaire crée un graphique dont la ligne graphique est symétrique par rapport à l'origine.
Fig. 2. Graphique d'une fonction impaire.
Voici quelques exemples de fonctions impaires : \N(x\N), \N(x^3\N) et \N(x^5\N).
Tout comme les fonctions paires, d'autres fonctions peuvent être impaires, comme la fonction \(sin(x)\).
\(\sin(-x)=-\sin(x)\)
Fonction quadratique
Le mot ''quad'' dans les fonctions quadratiques signifie ''un carré''. En bref, il s'agit de fonctions carrées. Elles sont utilisées dans divers domaines de la science et de l'ingénierie. Lorsqu'elles sont tracées sur un graphique, elles obtiennent une forme parabolique. Examinons la définition des fonctions quadratiques à l'aide d'exemples.
Une fonction quadratique est un type de fonction qui s'écrit sous la forme suivante :
\[f(x)=ax^2+bx+c\].
Tu peux identifier une fonction comme étant quadratique si son exposant le plus élevé est 2.
Voici quelques exemples d'équations quadratiques :
- \N(f(x)=2x^2+2x-5\N)
- \N(f(x)=x^2+4x+8\N)
- \N(f(x)=6x^2+5x-3\N)
Pour en savoir plus sur ces fonctions, voir Formes des fonctions quadratiques.
Fonctions injectives, surjectives et bijectives
Puisqu'une fonction est une relation entre un domaine et un intervalle, les fonctions injectives, surjectives et bijectives sont différenciées par cette relation. Pour le démontrer, nous pouvons examiner les mappings, ce qui nous montrera les différentes relations que chaque type de fonction entretient avec le domaine et l'étendue.
Fig. 3. Mises en correspondance injectives, surjectives et bijectives.
Fonctions injectives
Une fonction injective possède de nombreuses propriétés ;
Un seul élément du domaine pointera vers un élément de la plage.
Il peut y avoir des éléments dans la plage qui n'ont pas de paire dans le domaine.
Ce type de correspondance est également connu sous le nom de "un à un".
Pour en savoir plus, consulte les fonctions injectives.
Fonctions surjectives
Une fonction surjective possède de nombreuses propriétés ;
- Tous les éléments du domaine auront une correspondance dans l'intervalle.
- Il peut y avoir un élément dans la plage qui correspond à plus d'un élément du domaine.
- Il n'y aura pas d'éléments dans la plage qui n'auront pas de correspondance.
Pour en savoir plus, consulte les fonctions surjectives.
Fonctions bijectives
Une fonction bijective possède de nombreuses propriétés ;
C'est une combinaison de fonctions injectives et surjectives.
Il y a une quantité parfaite d'éléments dans le domaine et l'étendue qui correspondent, il n'y a aucun élément qui est laissé de côté.
Pour en savoir plus, visite le site Fonctions bijectives.
Entrée d'une fonction : L'entrée d'une fonction est une valeur qui peut être insérée dans une fonction de façon à générer une sortie valide, et la fonction existe à ce moment-là. Ce sont nos valeurs x dans une fonction.
Domaine d'une fonction : Le domaine d 'une fonction est l'ensemble de toutes les entrées possibles d'une fonction. Le domaine correspond à la plus grande partie possible de l'ensemble des nombres réels. L'ensemble de tous les nombres réels peut être écrit en abrégé \(\mathbb{R}\).
Sortie d'une fonction : La sortie d'une fonction est ce que nous obtenons une fois que la fonction est évaluée à l'entrée. Ce sont nos valeurs y dans une fonction.
Codomaine d'une fonction : Le codomaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les sorties possibles d'une fonction. En calcul, le codomaine d'une fonction est l'ensemble de tous les nombres réels, \(\mathbb{R}\), sauf indication contraire.
Portée d'une fonction : L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les sorties réelles d'une fonction. L'étendue est un sous-ensemble du codomaine. Nous considérerons l'étendue beaucoup plus souvent que le codomaine.
Il est important de ne pas confondre le codomaine et l'intervalle. L'étendue d'une fonction est un sous-ensemble de son codomaine. Dans la pratique, nous prendrons en compte l'étendue d'une fonction beaucoup plus souvent que le codomaine.
Types de fonctions exponentielles
Les fonctions exponentielles t'aident à trouver la croissance ou la décroissance bactérienne, la croissance ou la décroissance de la population, la hausse ou la baisse des prix, la composition de l'argent, etc. Examinons la définition des fonctions exponentielles.
Une fonction exponentielle a pour base une constante et pour exposant une variable. Elle peut s'écrire sous la forme \(f(x)=a^x\), où \(a\) est une constante et \(x\) une variable.
Prenons un exemple.
Voici quelques exemples de fonctions exponentielles :
- \N(f(x)=5^x\N)
- \N(f(x)=4^{2x}\N)
- \(f(x)=\frac{1}{3}^x\)
Les fonctions exponentielles donnent deux résultats différents : la croissance exponentielle ou la décroissance exponentielle. Lorsque cette fonction est représentée sur un graphique, la croissance exponentielle peut être identifiée par un graphique croissant. La décroissance exponentielle peut être identifiée par un graphique décroissant.
Types de fonctions et exemples
Identifie le type de fonction : \(f(x)=x^2).
Solution :
Here \[ \begin {aligned} f(x) & =x^2 \\ f(-x) & =(-x)^2 \\ f(-x) & =x^2 \\ \end {aligned} \]
Puisque \(f(x)=f(-x)=x^2\)
Il s'agit d'une fonction paire.
Identifie le type de fonction : \N(f(x)=x^5\N).
Solution :
Ici \[ \N- Début {aligné} f(x) & =x^5 \N- F(-x) & =(-x)^5 \N- F(-x) & =-x^5 \N- Fin {aligné} \]
Puisque \(f(x)≠ f(-x)\)
Il s'agit d'une fonction impaire.
Identifie le type de fonction : \N(f(x)=2x^2+4x+3\N).
Solution :
Il s'agit d'une fonction quadratique, elle est écrite sous la forme correcte d'une fonction quadratique et son exposant le plus élevé est \(2\).
Identifie le type de fonction : \(f(x)=8^x).
Solution :
Il s'agit d'une fonction exponentielle, la base est une constante, c'est-à-dire \(8\) et la puissance est une variable, c'est-à-dire \(x\).
Types de fonctions - Points clés
- Il existe de nombreux types de fonctions, et chaque fonction possède des propriétés différentes.
- Une fonction paire peut te donner une ligne symétrique sur un graphique autour de l'axe \(y-\).
- Sur un graphique, une fonction impaire donne une ligne symétrique autour de l'origine.
- Les fonctions injectives, surjectives et bijectives peuvent toutes être différenciées par leur cartographie.
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