Trouver les maxima et les minima à l'aide des dérivées
Dans l'exemple précédent, on nous a fourni un graphique, et trouver les extrema relatifs était une tâche visuelle. Cependant, on ne nous donnera pas toujours le graphique d'une fonction. Que pouvons-nous faire dans ce cas ?
Nous pouvons utiliser ce que l'on appelle les tests des dérivées première et seconde. Ces tests sont basés sur le théorème de Fermat concernant les points stationnaires.
Le théorème de Fermat stipule que, si une fonction a un extremum relatif à \(x=c\) et que la fonction est différentiable en ce point, alors \(f'(c)=0\).
Les points où la dérivée d'une fonction est égale à \(0\) sont appelés points stationnaires. La pente de la fonction en un point stationnaire est égale à \(0\).
Si nous reprenons l'exemple de la fonction cubique, nous pouvons observer que le maximum et le minimum relatifs sont également des points où la pente du graphique est égale à 0. Traçons des lignes tangentes aux extrema relatifs !
Fig. 1. Graphique d'une fonction cubique avec des lignes tangentes à ses extrema relatifs.
Il doit y avoir un lien entre les dérivées et les extrema relatifs.
Trouver les maxima et les minima à l'aide du test de la dérivée première
Trouver les points stationnaires est ce que l'on appelle letest de la dérivée première. Un point stationnaire peut être un maximum ou un minimum local, ou n'être ni l'un ni l'autre. Pour le déterminer, nous utilisons ce que l'on appelle le test de la dérivée seconde.
Le test de la dérivée seconde stipule que si \(f\N) est une fonction avec une dérivée seconde, et que \N(x=c\N) est un point stationnaire, alors.. :
- Si \(f''(c)<0\), alors \(f(c)\) est un maximum local de \(f\).
- Si \(f''(c)>0\), alors \(f(c)\) est un minimum local de \(f\).
En d'autres termes, le test de la dérivée seconde nous indique ce qui suit :
Si la dérivée seconde à un point stationnaire est négative, la fonction a un maximum local à ce point.
Si la dérivée seconde en un point stationnaire est positive, la fonction a un minimum local en ce point.
Essayons de comprendre ce processus à l'aide d'un exemple.
Trouve les maxima et minima locaux de la fonction \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+4\), s'il y en a.
Solution :
Trouve la dérivée de \(f(x)\) en utilisant la règle de puissance.
$$f'(x)=6x^2-6x-12$$$
Évalue-la à un point critique.
$$f'(c)=6c^2-6c-12$$.
Applique le théorème de Fermat
$$6c^2-6c-12=0$$$
Résous la question de c en la factorisant. Commence par diviser l'équation par \(6\) :$$c^2-c-2=0$$$
Factorise le côté gauche de l'équation.$$(c+1)(c-2)=0$$
donc
$$c=-1$$
$$c=2$$
Trouve la dérivée seconde de \(f(x)\) :
$$f''(x)=12x-6$$$
Évalue la dérivée seconde à chaque point critique :
$$f''(-1)=-18$$
$$f''(2)=18$$
Puisque \(f''(-1)<0\) alors, il y a un maximum local à \(x=-1\). Sa valeur est \N(f(-1)=11\N). Puisque \N(f''(2)>0\N) alors, il y a un minimum local à \N(x=2\N). Sa valeur est \(f(2)=-16\). Jetons un coup d'œil au graphique de la fonction pour voir si cela a un sens.
Fig. 3. Graphique de la fonction cubique indiquant ses extrema relatifs.
Nous avons trouvé les extrema relatifs précis de la fonction.
Il est important de noter que si \(f''(c)=0\) le test n'est pas concluant. Cela peut arriver parce que les graphiques ont des points avec une pente de zéro qui ne sont pas des extrema relatifs. Dans ce cas, il peut être utile d'inspecter le graphique de la fonction.
Trouve les extrema relatifs de la fonction \(f(x)=x^3-2\).
Solution :
Trouve la dérivée de \(f(x)\) en utilisant la règle de puissance :
$$f'(x)=3x^2$$.
Évalue à un point critique :
$$f'(c)=3c^2$$.
Applique le théorème de Fermat :
$$3c^2=0$$
Résoudre pour \(c\) :
$$c=0$$
Trouver la dérivée seconde de \(f\) :
$$f''(x)=6x$$$
Évalue la dérivée seconde au point critique :
$$f''(0)=0$$
Puisque \(f''(0)=0\) nous ne pouvons rien conclure de ces tests. Jetons maintenant un coup d'œil au graphique de la fonction :
Fig. 4. Graphique d'une fonction cubique sans extrema relatifs.
Note que cette fonction n'a pas d'extrema relatifs, même lorsque nous avons trouvé que sa dérivée à \(x=0\) est égale à zéro. Ce point est toujours critique car la pente de la fonction est égale à \(0\) à cet endroit. Note que la fonction n'a pas non plus de maximum ou de minimum global !
D'autres informations sur la fonction peuvent être obtenues en trouvant plus de ses dérivées, en supposant qu'elles existent. C'est ce qu'on appelle le test de la dérivée d'ordre supérieur.
Existe-t-il une formule pour trouver les maxima et les minima ?
Malheureusement, il n'existe pas de formule concrète pour trouver les maxima et les minima d'une fonction. La localisation des extrema dépend entièrement du type de fonction et de la forme de son graphique.
Regarder le graphique de la fonction est toujours une bonne première étape ! Par exemple, si la fonction est une parabole s'ouvrant vers le bas, tu peux trouver son maximum global en trouvant son sommet. Si tu dois trouver des maxima et des minima locaux sans graphique, tu peux utiliser les tests de dérivée première et seconde que nous avons explorés plus haut.
Recherche de maxima et de minima à l'aide de dérivées partielles
La recherche de maxima et de minima à l'aide de dérivées partielles n'est pas abordée dans le programme de calcul des lycées américains. Tu peux consulter notre section sur l'université pour plus de détails sur ce sujet !
Trouver des maxima et des minima à l'aide de dérivées - Points clés à retenir
- Lemaximum absolu ou lemaximum global d'une fonction est le résultat le plus élevé de sa plage.
- Leminimum absolu ouglobal d'une fonction est le résultat le plus faible de sa plage.
- Un maximum relatif ou unmaximum local d'une fonction est une sortie qui est plus grande que les sorties environnantes.
- Un minimum relatif ou un minimum local d'une fonction est une sortie inférieure aux sorties environnantes.
- Minima est le pluriel de minimum. Maxima est le pluriel de maximum. Collectivement, ils sont connus sous le nom d'extrema.
- Le test de la dérivée première peut être utilisé pour trouver un maximum ou un minimum local possible. Le test de la dérivéeseconde nous indique si le point est un maximum ou un minimum local.
- Le test de la dérivéeseconde n'est pas concluant si \(f''(c)=0\), auquel cas il serait préférable de jeter un coup d'œil au graphique.
- Il n'existe pas de formule pour trouver les maxima et les minima. Cela dépend de la fonction que tu étudies.
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