Le triangle de Pascal a tellement de caractéristiques étranges... Par exemple, il est lié à d'autres domaines des mathématiques, comme la suite de Fibonacci, et il est utilisé en théorie musicale pour calculer le nombre de façons d'arranger un ensemble de notes !
Le triangle dePascal est un tableau triangulaire de nombres nommé d'après le mathématicien français Blaise Pascal, où chaque nombre est la somme des deux nombres qui le précèdent. La première rangée du triangle est toujours le chiffre 1, et la deuxième rangée comporte deux 1. Pour former la rangée suivante, chaque paire de chiffres adjacents de la rangée du dessus est additionnée, avec un 1 placé au début et à la fin de la rangée. Ce processus est répété pour former autant de rangées que nécessaire.
Envie de voir ce contenu et d’autres visuels trop cools?
Le schéma ci-dessus ne montre que les 8 premières rangées du triangle de Pascal, mais on peut procéder ainsi jusqu'à l'infini. Chaque rangée correspond à un nombre pour n, la première rangée étant pour n = 0.
Envie de voir ce contenu et d’autres visuels trop cools?
Triangle de Pascal avec les valeurs respectives de n
L'une des applications les plus connues du triangle de Pascal est la résolution des coefficients binomiaux.
Le triangle de Pascal et les expansions binomiales
Les coefficients binomiaux sont importants dans le contexte des expansions binomiales.
Une expansion binomiale désigne le processus consistant à trouver la puissance d'une expression binomiale, telle que , où x et y sont des constantes et n un nombre entier positif. L'expansion donne une expression polynomiale avec termes. Les termes de l'expansion peuvent être calculés à l'aide de la formule du coefficient binomial, qui implique des combinaisons des puissances de x et de y.
Un coefficient binomial, , est le nombre de façons de choisir k objets parmi un ensemble de n objets distincts , quel que soit leur ordre.
Laformule générale d'undéveloppement binomial est la suivante :
Les coefficientsbinomiaux des expansions binomiales peuvent être trouvés en utilisant cette formule :
Cependant, le triangle de Pascal est le tableau des coefficients binomiaux, commençant à tout en haut, donc le triangle de Pascalpeut être utilisé pour trouver les coefficients binomiaux.
Effectuer le développement binomial à l'aide du triangle de Pascal
Comme nous l'avons déjà mentionné, le triangle de Pascal est un moyen utile de déterminer les coefficients binomiaux dans une expansion binomiale.
Voyons comment développer .
Tout d'abord, nous devons déterminer n, qui est l'exposant, donc dans ce cas 5. Cela nous indique que nous devrons construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne 6 où n = 5. En utilisant la méthode décrite ci-dessus, nous obtenons :
Envie de voir ce contenu et d’autres visuels trop cools?
Une illustration de l'utilisation du triangle de Pascal dans l'expansion binomiale.
Cela signifie que nous utiliserons les coefficients binomiaux 1, 5, 10, 10, 5 et
En introduisant ce résultat dans la formule binomiale, nous obtenons :
.
Ce qui peut être simplifié à :
.
Motifs du triangle de Pascal
Le triangle de Pascal a un schéma spécifique qui le rend plus facile à construire que de le retenir par cœur.
Comme tu l'as peut-être remarqué dans le diagramme ci-dessus, chaque rangée commence et se termine par 1 et le nombre d'éléments dans chaque rangée augmente de 1 à chaque fois. Le nombre d'éléments (m) dans chaque rangée est donné par . Ainsi, la7e rangée (n = 6) comporte 7 éléments (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1). Un élément peut être trouvé en additionnant les deux éléments qui lui sont supérieurs.
Par exemple, pour la troisième ligne (n = 2), le 2 provient de l'addition de 1 + 1 de la ligne précédente :
Envie de voir ce contenu et d’autres visuels trop cools?
= 4. Ceci est utile pour nous aider à calculer la somme des éléments pour de très grandes rangées sans avoir à construire le triangle de Pascal Par exemple, nous savons que pour la 20ème rangée (n = 19), la somme serait de
Envie de voir ce contenu et d’autres visuels trop cools?
Apprends plus vite avec les 11 fiches sur Triangle de Pascal
Inscris-toi gratuitement pour accéder à toutes nos fiches.
Questions fréquemment posées en Triangle de Pascal
Qu'est-ce que le Triangle de Pascal?
Le Triangle de Pascal est un arrangement triangulaire des coefficients binomiaux. Chaque nombre est la somme des deux nombres directement au-dessus.
Comment construire le Triangle de Pascal?
Construire le Triangle de Pascal en commençant par le nombre 1 au sommet. Chaque ligne suivante est formée en ajoutant les deux nombres directement au-dessus.
À quoi sert le Triangle de Pascal?
Le Triangle de Pascal est utile en algèbre pour trouver les coefficients des termes dans l'expansion d'un binôme, ainsi que dans les probabilités.
Qui a inventé le Triangle de Pascal?
Blaise Pascal n'a pas inventé le triangle, mais il l'a étudié en profondeur et a popularisé son utilisation en mathématiques.
How we ensure our content is accurate and trustworthy?
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet
the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Content Creation Process:
Lily Hulatt
Digital Content Specialist
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.