Qu'est-ce que le triangle de Pascal ?
Le triangle dePascal est un tableau triangulaire de nombres nommé d'après le mathématicien français Blaise Pascal, où chaque nombre est la somme des deux nombres qui le précèdent. La première rangée du triangle est toujours le chiffre 1, et la deuxième rangée comporte deux 1. Pour former la rangée suivante, chaque paire de chiffres adjacents de la rangée du dessus est additionnée, avec un 1 placé au début et à la fin de la rangée. Ce processus est répété pour former autant de rangées que nécessaire.
Illustration du triangle de Pascal
Le schéma ci-dessus ne montre que les 8 premières rangées du triangle de Pascal, mais on peut procéder ainsi jusqu'à l'infini. Chaque rangée correspond à un nombre pour n, la première rangée étant pour n = 0.
Triangle de Pascal avec les valeurs respectives de n
L'une des applications les plus connues du triangle de Pascal est la résolution des coefficients binomiaux.
Le triangle de Pascal et les expansions binomiales
Les coefficients binomiaux sont importants dans le contexte des expansions binomiales.
Une expansion binomiale désigne le processus consistant à trouver la puissance d'une expression binomiale, telle que \((x+y)^n\), où x et y sont des constantes et n un nombre entier positif. L'expansion donne une expression polynomiale avec \(n+1\) termes. Les termes de l'expansion peuvent être calculés à l'aide de la formule du coefficient binomial, qui implique des combinaisons des puissances de x et de y.
Un coefficient binomial, \(\binom{n}{k}\), est le nombre de façons de choisir k objets parmi un ensemble de n objets distincts , quel que soit leur ordre.
Laformule générale d'undéveloppement binomial est la suivante :
\[(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}y^k = \sum^n_{k=0}]. \binom{n}{k} x^k y^{n-k}\]
Les coefficientsbinomiaux des expansions binomiales peuvent être trouvés en utilisant cette formule :
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k !(n-k)!}\]
Cependant, le triangle de Pascal est le tableau des coefficients binomiaux, commençant à \(n = 0\) tout en haut, donc le triangle de Pascal peut être utilisé pour trouver les coefficients binomiaux.
Effectuer le développement binomial à l'aide du triangle de Pascal
Comme nous l'avons déjà mentionné, le triangle de Pascal est un moyen utile de déterminer les coefficients binomiaux dans une expansion binomiale.
Voyons comment développer \((3x+1)^5\).
Tout d'abord, nous devons déterminer n, qui est l'exposant, donc dans ce cas 5. Cela nous indique que nous devrons construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne 6 où n = 5. En utilisant la méthode décrite ci-dessus, nous obtenons :
Une illustration de l'utilisation du triangle de Pascal dans l'expansion binomiale.
Cela signifie que nous utiliserons les coefficients binomiaux 1, 5, 10, 10, 5 et
En introduisant ce résultat dans la formule binomiale, nous obtenons :
\((3x+1)^5 = 1(3x)^5(1)^0 + 5(3x)^4(1)^1 + 10(3x)^3(1)^2+10(3x)^2(1)^3+5(3x)^1(1)^4+1(3x)^0(1)^5\).
\((3x+1)^5 = 3^5x^5 + 5\cdot 3^4x^4+ 10\cdot 3^3x^3+10\cdot 3^2x^2+5\cdot 3x+1\)
Ce qui peut être simplifié à :
\((3x+1)^5 = 243x^5 + 405x^4+270x^3+90x^2+15x+1\).
Motifs du triangle de Pascal
Le triangle de Pascal a un schéma spécifique qui le rend plus facile à construire que de le retenir par cœur.
Comme tu l'as peut-être remarqué dans le diagramme ci-dessus, chaque rangée commence et se termine par 1 et le nombre d'éléments dans chaque rangée augmente de 1 à chaque fois. Le nombre d'éléments (m) dans chaque rangée est donné par \(m = n + 1\). Ainsi, la7e rangée (n = 6) comporte 7 éléments (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1). Un élément peut être trouvé en additionnant les deux éléments qui lui sont supérieurs.
Par exemple, pour la troisième ligne (n = 2), le 2 provient de l'addition de 1 + 1 de la ligne précédente :
Pour la quatrième ligne (n = 3), les deux 3 proviennent de l'addition de 1 + 2 à partir du haut :
Dans la quatrième rangée (n = 3), nous ajoutons 1 + 3 pour obtenir 4, 3 + 3 pour obtenir 6 et 3 + 1 pour obtenir 4 :
Ce processus peut être répété autant de fois que nécessaire jusqu'à ce que la rangée dont nous avons besoin soit atteinte.
Somme des rangées du triangle de Pascal
Dans chaque ligne, le nombre obtenu en additionnant tous les éléments de la ligne est donné par . Par exemple, pour la ligne 3 (n = 2), la somme des éléments est 1 + 2 + 1 = 4 ou
= 4. Ceci est utile pour nous aider à calculer la somme des éléments pour de très grandes rangées sans avoir à construire le triangle de Pascal Par exemple, nous savons que pour la 20ème rangée (n = 19), la somme serait de
La suite de Fibonacci dans le triangle de Pascal
La série de Fibonacci peut être trouvée dans le triangle de Pascal en ajoutant des nombres en diagonale.
Illustration de la suite de Fibonacci
Triangle de Pascal - Principaux enseignements
Le triangle de Pascal peut être construit pour nous aider à trouver les coefficients binomiaux.
Il commence au rang 1, avec n = 0 et un seul élément, 1.
À chaque rangée, le nombre d'éléments augmente de 1 et est donné par \(m = n + 1\), où m est le nombre d'éléments.
Chaque rangée comporte un 1 aux deux extrêmes et les valeurs intermédiaires sont trouvées en additionnant les nombres ci-dessus.
La somme de chaque rangée est \(2^n\).
La suite de Fibonacci peut être trouvée en ajoutant les éléments en diagonale.
Nous pouvons utiliser le triangle de Pascal pour trouver les coefficients binomiaux et résoudre les développements binomiaux de la forme \((x+y)^n\).
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