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Explication des transformations linéaires de matrices
Une transformation linéairea> est un type de transformation soumis à certaines restrictions et à certains facteursa>. Pour qu'il s'agisse d'une transformation linéaire :
- L'origine doit toujours rester à l'endroit où elle se trouvait avant la transformation - c'est un point invariant.
- La transformation doit être linéaire - aucune puissance de \(x\) ou \(y\) ne peut être incluse.
- La transformation doit pouvoir être décrite par une matrice.
Un point ou une ligne invariant(e) est un(e) point ou une ligne qui ne bouge pas au cours d'une transformation linéaire.
En tenant compte de ces facteurs, nous pouvons alors expérimenter plusieurs types de transformations et de combinaisons de celles-ci. Les transformations linéaires que nous pouvons utiliser pour représenter les matrices sont les suivantes :
- Réflexion
- la rotation
- Agrandissement
- Étirement
Formule des transformations linéaires des matrices
En ce qui concerne les transformations linéaires, il existe une formule générale qui doit être respectée pour que la matrice représente une transformation linéaire. Toute transformation doit être de la forme \(ax+by\). Considérons la transformation linéaire \((T)\) d'un point défini par le vecteur position \(\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}\). The resulting transformation could be written as this:\[T:\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}.\] Ici, nous voyons que \N(ax+by\N) et \N(cx+dy\N) décrivent les transformations dans les plans \N(x\N) et \N(y\N) à partir du point de départ pour créer notre nouveau point - l'image (dénotée par \N(X'\N) où \N(X\N) est l'étiquette du sommet d'origine). Tout ce que nous faisons, c'est substituer nos valeurs. Voyons comment cela fonctionne.
Nous allons trouver les coordonnées du point image par rapport à la transformation suivante : [T:\N- Début{bmatrix}3\N- Fin{bmatrix}]. \rightarrow \begin{bmatrix}3x+2y\\5y\end{bmatrix}\]
Alors que notre rangée du bas a la valeur de \N(5y\N), on pourrait écrire \N(0x+5y\N), ce qui est toujours sous la forme \N(cx+dy\N) et constitue donc une transformation linéaire.
En appliquant la transformation :\[\N-{align}T:\N-{bmatrix}3\2\end{bmatrix} &\N-{rightarrow} \N-{bmatrix}3x+2y\N5y\Nend{bmatrix}]. \\&= \begin{bmatrix}3(3)+2(2)\\0(3)+5(2)\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}13\\10\end{bmatrix}\end{align}\]
Les coordonnées du point image sont donc \N((13,10)\N).
Nous avons donc vu comment appliquer une transformation linéaire, mais comment la représenter sous forme de matrice ? Si la matrice est \(A\), nous pouvons écrire la matrice dont nous avons besoin comme suit:\[A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}ax+by\cx+dy\end{bmatrix}\]Par conséquent, notre matrice de transformation linéaire est juste une matrice des coefficients de la transformation linéaire sous la forme que nous avons déjà vue. Cela donne :\[\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}ax+by\cx+dy\end{bmatrix}\].
Considérons la transformation que nous avons vue ci-dessus:\[T=\begin{bmatrix}3x+2y\\5y\end{bmatrix}\] Nous savons que la matrice est constituée des coefficients de la transformation, la notation matricielle se lirait donc comme suit:\[A=\begin{bmatrix}3&2\0&5\end{bmatrix}\].
Étant donné la matrice de transformation linéaire vue ci-dessus, avec un point de départ de \((2,3)\), trouve les coordonnées du point de l'image.
Solution :
\[\begin{align}&\begin{bmatrix}3&2\\0&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \\= &\begin{bmatrix}3&2\\0&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} \quad \mbox{apply matrix multiplication}\\=&\begin{bmatrix}(3\cdot3)+(2\cdot2)\\(0\cdot 3)+(5\cdot 2)\end{bmatrix}\\=&\begin{bmatrix}13\\10\end{bmatrix}\end{align}\]
Comme on pouvait s'y attendre, on obtient le même résultat que précédemment.
S'il s'agissait d'une question portant sur une forme à plusieurs sommets, nous appliquerions la matrice à chaque sommet et à ses coordonnées respectives séparément, puis nous joindrions les nouveaux sommets pour obtenir notre forme transformée.
Trouver les transformations linéaires des matrices
Nous avons vu comment appliquer une transformation linéaire à un point à l'aide d'une matrice, mais comment savoir ce qu'une matrice décrit réellement en termes de transformation(s) ? Heureusement, dans la forme matricielle \(2 fois 2\), chaque type de transformation a une matrice définie pour décrire cette transformation. Tu trouveras ci-dessous les conditions de chaque type de transformation et la matrice associée.
Réflexion
Pour les réflexions couvertes, chaque réflexion a une ligne invariante située sur l'axe de réflexion.
Réflexion dans l'axe \(y\)
Décrite par la matrice :\N[A=\commencement{bmatrice}-1&0\0&1\cfin{bmatrice}\N].
Réflexion dans l'axe \(x\)
Décrite par la matrice:\[A=\begin{bmatrix}1&0\0&-1\end{bmatrix}\]
Réflexion sur \(y=x\)
Décrit par la matrice:\[A=\begin{bmatrix}0&1\1&0\end{bmatrix}\]
Réflexion sur \(y=-x\)
Décrite par la matrice:\[A=\begin{bmatrix}0&-1\-1&0\end{bmatrix}\]
Rotation
Les rotations ont un point invariant à l'origine et sont tournées par \(\theta\) où une valeur positive indique une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Les rotations sont décrites par la matrice :
\[A=\begin{bmatrix}\cos\theta &-\sin\theta \\\sin\theta &\cos\theta\end{bmatrix}\].
Élargissement et étirements
Un étirement ou un élargissement est régi par la matrice suivante:\[A=\begin{bmatrix}a&0\0&b\end{bmatrix}\].
La variable \(a\) est le facteur d'échelle pour \(x\) et en tant que tel régit l'étirement dans la direction \(x\) en effet, c'est le nombre par lequel nous multiplions la coordonnée \(x\) pour obtenir la nouvelle coordonnée. Pour l'étirement dans la direction \(y\), \(b\) a le même effet sur la coordonnée \(y\).
Élargissement
Si nous avons \(a=b\), les étirements dans les directions \(x\) et \(y\) sont les mêmes et nous avons donc un élargissement, mais s'ils sont différents, \(a\) régit le changement dans \(x\) tandis que \(b\) régit le changement dans \(y\). Il n'y a pas de lignes invariantes dans l'agrandissement et l'origine est le seul point invariant.
Étirement parallèle à l'axe \(x\)
Si nous avons un étirement parallèle à l'axe \N(x), la position \N(y) de n'importe quel point restera la même et est invariante. Ce type de transformation n'étire que les coordonnées \(x\). Il est régi par la matrice :\N[A=\commencement{bmatrix}a&0\0&1\cfin{bmatrix}\].
Étirement parallèle à l'axe \(y\)
Si nous avons un étirement parallèle à l'axe \N(y\N), la position \N(x\N) de n'importe quel point restera la même et est invariante. Ce type de transformation n'étire que les coordonnées \(y\). Il est régi par la matrice :\N[A=\commencement{bmatrix}1&0\0&b\cfin{bmatrix}\].
Changement de zone
Avec les étirements et les agrandissements, nous modifions la taille de toute forme composée des sommets que nous déplaçons. Ainsi, contrairement aux réflexions et aux rotations, la surface de la forme change. Heureusement, nous avons un moyen de mesurer ce changement de surface. Si la matrice \(A\) représente la transformation, alors \(\det{A}\) te donnera le facteur d'échelle pour le changement de surface. Pour savoir comment calculer le déterminant, consulte notre article sur les déterminants des matrices.
Si \(\det{A}\) est négatif, la forme a été réfléchie.
Transformations successives
Tu devrais maintenant avoir toutes les informations nécessaires pour trouver la transformation linéaire décrite par une matrice, mais qu'en est-il si plusieurs transformations ont été appliquées ? Les transformations successives peuvent être décrites dans une matrice en les multipliant ensemble. Récapitulons la multiplication des matrices afin que tu puisses effectuer des transformations successives. Supposons que \(A\) et \(B\) sont deux transformations distinctes, \(A\) étant la première à se produire opérationnellement et \(AB\) étant la matrice décrivant les transformations successives.\[A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}\quad B=\begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix}\]\[\begin{align}AB&=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}(a_1b_1+a_2b_3)&(a_1b_2+a_2b_4)\\(a_3b_1+a_4b_3)&(a_3b_2+a_4b_4)\end{bmatrix}\end{align}\]
Un point subit une réflexion dans l'axe \N(y\N) suivie d'une rotation de \N(90^\Ncirculaire) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Quelle est la matrice qui décrit ces transformations successives ?
Solution :
Soit \N(A\N) une réflexion dans l'axe \N(y\N):\N[A=\Nbegin{bmatrix}-1&0\0&1\Nend{bmatrix}\N].
Soit \N(B\N) une rotation de \N(90^\Ncircuit) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre:\N[\NBegin{align}]. B&=\begin{bmatrix}\cos\theta &-\sin\theta \\sin\theta &\cos\theta\end{bmatrix}\&=\begin{bmatrix}\cos(90) &-\sin(90) \\sin(90) &\cos(90)\end{bmatrix}\&= \begin{bmatrix}0 &-1 \1 &0\end{bmatrix} \N- [end{align}\N]
Soit \N(AB\N) les transformations successives de \N(A\N) puis \N(B\N) :\[\begin{align}AB&=\begin{bmatrix}-1&0\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 &-1 \1 &0\end{bmatrix}\&=\begin{bmatrix}(-1\cdot 0+0\cdot 1)&(-1\cdot -1+0\cdot 0)\(0\cdot 0+1\cdot 1)&(0\cdot -1+1\cdot 0)\end{bmatrix}\&=\begin{bmatrix}0&1\c1&0\end{bmatrix}\end{align}\]
Transformations linéaires de matrices 2×2 Exemples
Voyons maintenant quelques exemples impliquant des formes et des transformations linéaires. Pour commencer, examinons une transformation d'agrandissement/étirement.
Un triangle a des sommets situés à \N(X=(0,3)\N), \N(Y=(2,4)\N et \N(Z=(5,2)\N). Quelles sont les nouvelles coordonnées de la forme de l'image et quel est le facteur d'échelle de la surface si la transformation est régie par la matrice \N(A).\N[A={begin{bmatrix}1.2&0\0&-2\end{bmatrix}\N].
Solution :
Commençons par trouver les nouvelles coordonnées de l'image.
\N(X\N) coordonnées :
\[\begin{align}X'&=AX\\&=\begin{bmatrix}1.2&0\\0&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1.2\cdot 0+0\cdot 3\\0\cdot 0+-2\cdot 3\end{bmatrix}\&=\begin{bmatrix}0\\-6\end{bmatrix}\end{align}\]
Par conséquent, l'image du point \N(X\N) est située à \N(X'=(0,-6)\N)
\(Y\) coordinate:\[\begin{align}Y'&=AY\\&=\begin{bmatrix}1.2&0\\0&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1.2\cdot 2+0\cdot 4\0\cdot 2+-2\cdot 4\end{bmatrix}\&=\begin{bmatrix}2.4\-8\end{bmatrix}\end{align}\]
Par conséquent, l'image du point \N(Y\N) est située à \N(Y'=(2,4,-8)\N).
Coordonnées du point \N(Z\N) :
\[\begin{align}Z'&=AZ\\&=\begin{bmatrix}1.2&0\\0&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1.2\cdot 5+0\cdot 2\0\cdot 5+-2\cdot 2\end{bmatrix}\&=\begin{bmatrix}6\\-4\end{bmatrix}\end{align}\]
Par conséquent, l'image du point \N(Z\N) est située à \N(Z'=(6,-4)\N).
Facteur d'échelle de la surface :
\[\begin{align}\det{A}&=(1.2\cdot -2) - (0\cdot 0)\&=-2.4\end{align}\]
Dans l'image ci-dessous, nous pouvons voir un croquis du triangle original et l'image après la transformation. En outre, nous pouvons voir la réflexion à laquelle nous nous attendons avec un déterminant négatif - l'étirement a également réfléchi le triangle autour de l'axe \(x\).
Fig. 1. Croquis de l'image après transformation.
Voyons maintenant un exemple de transformations successives appliquées à une forme.
Un triangle subit une réflexion dans l'axe \N(y\N) suivie d'une rotation de \N(90^\Ncirculaire) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Ce triangle a des sommets situés à \N(X=(0,3)\N, \N(Y=(2,4)\N et \N(Z=(5,2)\N). Trouve les coordonnées de l'image et fais un croquis.
Solution :
Comme nous l'avons vu précédemment :
Soit \N(A\N) une réflexion dans l'axe \N(y\N):\N[A=\Nbegin{bmatrix}-1&0\N0&1\Nend{bmatrix}\N].
Soit \N(B\N) une rotation de \N(90^\Ncircuit) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre:\N[\NBegin{align}]. B&=\begin{bmatrix}0 &-1\\\1 &0\end{bmatrix} \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Soit \N(AB\N) les transformations successives de \N(A\N) puis \N(B\N) :\[\begin{align}AB&=\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 &-1 \\1 &0\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\end{align}\]
Tu peux remarquer ici que cette transformation successive est identique à une réflexion dans \N(y=x\N) - tu peux le voir dans l'image ci-dessous.
Coordonnées \N(X\N) :
\[\begin{align}X'&=AX\\&=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}0\cdot 0+1\cdot 3\1\cdot 0+0\cdot 3\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}3\0\end{bmatrix}\end{align}\]
Par conséquent, l'image du point \N(X\N) est située à \N(X'=(3,0)\N).
Coordonnées du point \N(Y\N) :\[\begin{align}Y'&=AY\\&=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}0\cdot 2+1\cdot 4\1\cdot 2+0\cdot 4\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}4\2\end{bmatrix}\end{align}\]
Par conséquent, l'image du point \N(Y\N) est située à \N(Y'=(4,2)\N).
Coordonnées du point \N(Z\N) :
\[\begin{align}Z'&=AZ\\&=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}0\cdot 5+1\cdot 2\1\cdot 5+0\cdot 2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}2\5\end{bmatrix}\end{align}\]
Par conséquent, l'image du point \N(Z\N) est située à \N(Z'=(2,5)\N).
Fig. 2. Esquisse de l'image, montrant également comment les transformations successives sont équivalentes à une réflexion dans \(y=x\).
Transformations linéaires de matrices 3×3 Exemples
Lorsque l'on applique des transformations linéaires à une matrice \(3 fois 3\), on entre dans le monde des transformations 3D. Celles-ci sont plus compliquées que celles que nous avons examinées jusqu'à présent. Consulte notre article sur les transformations matricielles en 3D pour une explication complète et des exemples.
Transformations linéaires de matrices - Points clés à retenir
- Une transformation linéaire a un point invariant à l'origine et se présente sous la forme \[\begin{bmatrix}ax+by\cx+dy\end{bmatrix}\].
- Une transformation linéaire peut être représentée par une matrice de coefficients. This takes the form:\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\]
- Une réflexion est régie par une matrice de \(0's\) et \(1's\) pour représenter la réflexion autour d'un axe et cet axe est une ligne invariante.
- Une rotation est positive si elle s'effectue dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et est régie par : \[\begin{bmatrix}\cos\theta &-\sin\theta \\\sin\theta &\cos\theta\end{bmatrix}\].
- Un étirement ou un agrandissement modifie la taille d'une forme, le déterminant de la matrice de transformation étant le facteur d'échelle pour le changement de surface et étant régi par:\[\N-{bmatrix}a&0\0&b\Nend{bmatrix}\N].
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