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Imagine que tu es allongé dans ton lit et que tu vois une mouche entrer dans ta chambre et s'asseoir au plafond de celle-ci. De temps en temps, elle se déplace d'un endroit à l'autre. Comment peux-tu garder une trace de l'emplacement de la mouche ?
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Équipe enseignants Transformations
Imagine un autre scénario, tu es sur des montagnes russes et tu fais des tours et des détours. Les actions entreprises par la mouche au plafond et par toi sur les montagnes russes sont-elles les mêmes ou sont-elles différentes ? Comment pouvons-nous suivre les mouvements exacts dans ces scénarios ?
Dans cet article, nous allons apprendre quelques mouvements fondamentaux dans l'espace à deux dimensions. Il s'agit de transformations et nous apprendrons leur définition, les types de transformations et nous verrons des exemples.
Lestransformations sont des mouvements dans l'espace d'un objet.
On dit qu'une transformation est rigide si l'objet ne change pas de taille ou de forme pendant la transformation. Si l'objet change de taille au cours d'une transformation, on parle alors de transformation non rigide.
Unetransformationrigidene change pas la taille ou la forme de l'objet transformé.Voici quelques exemples de transformations rigides :
Traduction - déplacement de la forme, à gauche, à droite, vers le haut ou/et vers le bas ;
Réflexion - réflexion d'une forme par rapport à une ligne, la ligne pouvant également être l'axe des x ou l'axe des y ;
Rotation- rotation d'uneforme autour d'un point, dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse.
Une transformation non rigide peut changer la taille ou la forme, ou à la fois la taille et la forme, de l'objet. Unexemple de transformation non rigide est ladilatation , qui consiste à agrandir ou à rétrécir un objet.
Ensuite, tu vas voir les principales transformations des figures telles que la translation, la réflexion, la rotation et la dilatation.
La translation peut être considérée comme le processus de déplacement d'un objet sur une feuille de graphique. Pour connaître le mouvement d'un objet, nous regardons comment ses points d'arête sont transformés.
La translation d'un point \N((x, y)\N) vers un nouveau point \N((x', y')\N) peut être comprise à partir de la modification des coordonnées \N(x) et \N(y). Sous cette transformation, le point s'est déplacé de \N(x-x'\N) le long de la direction x et de \N(y-y'\N) le long de la direction y.
En outre,
une valeur positive dans la direction x indique le mouvement vers la droite et une valeur négative indique le mouvement vers la gauche;
une valeur positive dans la direction des y indique le mouvement vers le haut et une valeur négative indique le mouvement vers le bas.
Transformer un objet par un vecteur \((\pm a,\pm b)\) signifie déplacer chaque point de l'objet de \(a\) unités dans la direction x et de \(b\) unités dans la direction y.
Si a est positif, tu te déplaces vers la droite et si a est négatif, tu te déplaces vers la gauche.
Si b est positif, tu te déplaces vers le haut et si b est négatif, tu te déplaces vers le bas.
Par exemple,la translation de l' objet de \N ((2, -3)\N signifie que les coordonnées x de chaque point de l'objet augmenteront dedeux et que les coordonnées y de chaque point de l'objet diminueront de trois. Avec succès, l'objet se déplacera de deux unités vers la droite et de trois unités vers le bas.
Traduis le triangle ABC donné par \N((-7, -4)\N).
Traduction du triangle ABC en A'B'C'.
Solution
Traduire \((-7, -4)\) signifie "déplacer le triangle donné de 7 unités vers la gauche et de 4 unités vers le bas". Nous pouvons déplacer le triangle si nous déplaçons les points de son bord \N(A(4, 6)\N), \N(B(1, 2)\N), et \N(C(5, 2)\N).
En appliquant la translation au point \N(A) en se déplaçant de 7 unités vers la gauche et de 4 unités vers le bas, on obtient \N(A'(-3, 2)\N).
De la même façon, en appliquant la translation à \N(B\N) et \N(C\N), nous obtenons les points \N(B'(-6, -2) et \N(C'(-2, -2). En joignant \N(A'\N), \N(B'\N) et \N(C'\N), nous obtenons le triangle translaté.
Traduis l'hexagone donné (ABCDEF) par (-7, 7).
Traduction de l'hexagone ABCDEF.
Solution
La translation par le vecteur \((-7, 7)\) signifie que nous déplaçons l'hexagone de 7 unités vers la gauche et de 7 unités vers le haut.
Pour ce faire, nous appliquons la transformation aux points du bord et nous joignons les points translatés pour obtenir l'hexagone \(A'B'C'D'E'F'\).
Une réflexion peut être considérée comme le fait de voir quelque chose à travers un miroir. C'est donc toujours par rapport à une ligne donnée que le miroir est placé. La distance entre l'objet et son image dans le miroir est la même. Comme pour la translation, pour réfléchir un objet, tu réfléchis les points du bord de l'objet.
Réfléchir un objet autour d'une ligne \(y=mx+c\), signifie déplacer chaque point de l'objet à une distance égale de l'autre côté de la ligne.
Par exemple, pour réfléchir le point \((1, 0)\) autour de l'axe des y, nous voyons d'abord la distance qui sépare le point de l'axe des y. Dans ce cas, le point \N(1, 0)\Nest à 1 unité de l'axe des y et sera donc à 1 unité de l'autre côté de l'axe des y et donc à \N(-1, 0)\N.
Réfléchis la forme A autour de la ligne x=1. Indique la lettre \N(B\N) sur la forme obtenue.
Réflexion de la forme A sur B.
Solution
Pour obtenir la réflexion, nous commençons par tracer la ligne de réflexion \(x=1\). Ensuite,nous déplaçons chaque coin de la forme à la même distance de la ligne de réflexion de l'"autre côté".
Par exemple, lecoin inférieur gauche de \N(A\N) est le point \N((3, 1)\N), qui se trouve à 2 unités de la ligne \N(x=1\N). Par réflexion, il sera à 2 unités de l'autre côté de la ligne. Son point de réflexion est donc \N((-1, 1)\N).
Remarque qu'il n'y a pas de changement dans la coordonnée y du point et de sa réflexion. C'est parce que la ligne de réflexion est parallèle à l'axe des y. Nous procédons de la même façon pour tous les points du bord afin d'obtenir l'image réfléchie.
Réfléchis la forme \(A\) autour de la ligne \(y=0\) (axe des x). Indique la lettre \(A'\) sur la forme obtenue.
Solution
Réflexion de la forme A sur A'.
Les rotations sont des transformations au cours desquelles l'objet est tourné selon certains angles. Parmi les exemples de rotations, on peut citer l'aiguille des minutes d'une horloge, le carrousel, etc.
Dans tous les cas de rotation, il y a un point central qui n'est pas affecté par la transformation. Dans l'horloge, le point où l'aiguille est fixée au milieu ne bouge pas du tout. En d'autres termes, l'aiguille tourne autour de l'horloge autour de ce point.
Faire tourner un objet \(\pm dº\) autour d'un point \((a, b)\) consiste à faire tourner chaque point de l'objet de telle sorte que la ligne joignant les points de l'objet et le point \((a, b)\) tourne d'un angle \(dº\) soit dans le sens des aiguilles d'une montre, soit dans le sens inverse, en fonction du signe de \(d\).
Si d est positif, la rotation se fait dans le sens des aiguilles d'une montre, sinon, elle se fait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Dans les deux transformations, la taille et la forme de la figure restent exactement les mêmes.
La règle générale de transformation de la rotation autour de l'origine \((0, 0)\) est la suivante.
| Type de rotation | Points d'origine | Points échangés(rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) | Points de commutation (rotation dans le sens des aiguilles d'une montre) |
| Pour effectuer une rotation de 90 | \N((x, y)\N) | \N((-y, x)\N) | \N- (y, -x)\N- (y, -x)\N- (y, -x) |
| Pour une rotation de 180 | \N- (x, y)\N- (x, y)\N- (y, -x)\N) | \N-(-x, -y)\N-(-x, -y)\N-(-x, -y)\N) | \N- (-x, -y)\N- (-x, -y)\N- (-x, -y) |
| Pour une rotation de 270º | \N- (x, y)\N- (x, y)\N- (x, y)\N) | \N- (y, -x)\N- (y, -x)\N- (y, -x) | \N- (-y, x)\N- (-y, x)\N- (y, -x) |
| Points d'origine\N((x, y)\N) | Points permutés(rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre)\N((-y, x)\N) | Points permutés (rotation dans le sens des aiguilles d'une montre)\N- (y, -x)\N- (y, -x)\N- (y, -x) |
| \((-3, 5)\) | \((-5, -3)\) | \((5, 3)\) |
| \((-6, 2)\) | \((-2, -6)\) | \((2, 6)\) |
| \((-3, 2)\) | \((-2, -3)\) | \((2, 3)\) |
Solution
Rotations dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens inverse des aiguilles d'une montre du triangle A.
Fais pivoter la forme donnée à \(270º\) dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de l'origine.
| Points d'origine \N((x, y)\N) | Points permutés(rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre)\N((y, -x)\N) | Switched Points(rotation dans le sens des aiguilles d'une montre)\N- (-y, x)\N- (-y, x)\N- (-y, x)\N) |
| \((-4, 6)\) | \((6, 4)\) | \((-6, -4)\) |
| \((-6, 4)\) | \((4, 6)\) | \((-4, -6)\) |
| \((-2, 4)\) | \((4, 2)\) | \((-4, -2)\) |
| \((-3, 1)\) | \((1, 3)\) | \((-1, -3)\) |
Rotation dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de la forme ABCD.Ladilatation est une transformation qui sert à redimensionner l'objet pour qu'il soit plus grand ou plus petit. Cette transformation produit une image dont la forme est identique à celle de l'original, mais il y a une différence dans la taille de l'objet.
La description d'une dilatation comprend le facteur d'échelle (ou rapport) et le centre de la dilatation.
Dilater un objet par un facteur d'échelle k et autour du centre de dilatation \((a, b)\) signifie déplacer chaque point de l'objet par l'échelle multipliée par la distance du point par rapport au centre de dilatation.
Pour le facteur d'échelle \(k=3\), et l'origine étant le centre de dilatation, nous avons la règle suivante
\N[(x,y)\Nà (3x,3y)\N]
C'est-à-dire que le point d'origine \N((x, y)\N) devient \N((3x, 3y)\N). Dans ce cas, l'image de dilatation sera étirée.
Pour \(k=\dfrac{1}{4}\), nous obtenons
\[(x,y)\to \left(\dfrac{x}{4},\dfrac{y}{4}\right)\]
Dans ce cas, l'image de dilatation sera rétrécie.
Dilate la forme donnée \(A\) par un facteur de \(2\) avec l'origine comme centre de dilatation.
Solution
Les bords de la forme \N(A\N) ont pour coordonnées \N((1, 1)\N), \N((1, 3)\N), \N((3, 0)\N), et \N((3, 3)\N).
Maintenant, les coordonnées de la forme donnée sont multipliées par \N(2\N). Elles sont \N(2,2)\N, \N(2,6)\N, \N(6,0)\N, \N(6,6)\N et \N(6,6)\N.
La forme originale (A) et la forme agrandie (B) sont représentées dans le diagramme suivant.
Dilatation de la forme A en B.
Dilatation du triangle A en B.Lorsqu'un objet subit plus d'une transformation de façon séquentielle, on parle de transformation composite. Par exemple, un triangle subit d'abord une translation suivie d'une dilatation. Il peut y avoir deux ou plusieurs transformations effectuées l'une après l'autre.
Fais pivoter la forme donnée \N(A) à \N(90º) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de l'origine, puis réfléchis la forme résultante autour de la droite \N(x = 0), et enfin traduis la forme résultante en \N((-1, 7)\N).
| Points d'origine\N((x, y)\N) | Points échangés(rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre)\N- (-y, x)\N- (-y, x)\N- (-y, x)\N) |
| \((-6, 2)\) | \((-2, -6)\) |
| \((-3, 2)\) | \((-2, -3)\) |
| \((-2, 5)\) | \((-5, -2)\) |
| \((-4, 5)\) | \((-5, -4)\) |
Composition des transformations.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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