Tracer des fonctions trigonométriques: Sinus, Cosinus

Q: Comment tracer une fonction trigonométrique ?

Pour tracer une fonction trigonométrique, commencez par identifier la période, l'amplitude et les décalages. Ensuite, dessinez les points clés en respectant ces caractéristiques.

Q: Qu'est-ce qu'une fonction sinusoïdale ?

Une fonction sinusoïdale est une fonction définie par y = sin(x) ou y = cos(x), caractérisée par sa forme ondulante et répétitive.

Q: Comment déterminer la période d'une fonction trigonométrique ?

Pour déterminer la période d'une fonction trigonométrique, identifiez la longueur du cycle complet de la fonction. Par exemple, pour sin(x) et cos(x), la période est 2π.

Q: Comment tracer une fonction cosinus ?

Pour tracer une fonction cosinus, commencez par dessiner les points principaux comme les maxima et minima, puis reliez-les par une courbe lisse en respectant la période et l'amplitude.

Sauter à un chapitre clé

Dans cet article, nous définirons ce que sont les graphiques des fonctions trigonométriques, nous discuterons de leurs principales caractéristiques et nous te montrerons comment représenter graphiquement les fonctions trigonométriques et leurs fonctions réciproques à l'aide d'exemples pratiques.

Lesgraphiques des fonctions trigonométriques sont des représentations graphiques de fonctions ou de rapports définis sur la base des côtés et des angles d'un triangle droit. Il s'agit notamment des fonctions sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tan), et de leurs fonctions réciproques correspondantes cosécante (csc), sécante (sec) et cotangente (cot).

Quelles sont les principales caractéristiques des graphiques des fonctions trigonométriques ?

Avant de procéder à la représentation graphique des fonctions trigonométriques, nous devons identifier certaines de leurs caractéristiques principales:

Amplitude

L'amplitude des fonctions trigonométriques fait référence au facteur d'étirement vertical, que tu peux calculer comme la valeur absolue de la moitié de la différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale.

L'amplitude des fonctions $y = \sin θ$ et $y = \cos θ$ est $|\frac{1 - (- 1)}{2}| = 1$ .

Pour les fonctions de la forme $y = a \sin b θ$ ou $y = a \cos b θ$ l'amplitude est égale à la valeur absolue de a.

$A m p l i t u d e = |a|$

Si tu as la fonction trigonométrique $y = 2 \sin θ$ , l'amplitude de la fonction est de 2.

Le graphique des fonctions tangentes n'a pas d'amplitude, car il n'a pas de valeur minimale ou maximale.

Période

La période des fonctions trigonométriques est la distance le long de l'axe des x entre le point de départ du motif et le point où il recommence.

La période du sinus et du cosinus est de 2π ou 360º.

Pour les fonctions de la forme $y = a \sin b θ$ ou $y = a \cos b θ$ Pour les fonctions de la forme , ou , b est connu comme le facteur d'étirement horizontal, et tu peux calculer la période comme suit :

$P e r i o d = \frac{2 π}{|b|} o r \frac{360 °}{|b|}$

Pour les fonctions de la forme $y = a \tan b θ$ Pour les fonctions de la forme , la période se calcule comme suit :

$P e r i o d = \frac{π}{|b|} o r \frac{180 °}{|b|}$

Trouve la période des fonctions trigonométriques suivantes :

$y = c o s \frac{π}{2} θ$

P e r i o d = \frac{2 π}{|b|} = \frac{2 π}{|\frac{π}{2}|} = \frac{2 π}{\frac{π}{2}} = \frac{4 π}{π} = 4

$y = \tan \frac{1}{3} θ$

P e r i o d = \frac{π}{|b|} = \frac{π}{|\frac{1}{3}|} = \frac{π}{\frac{1}{3}} = 3 π

Domaine et étendue

Le domaine et l'étendue des principales fonctions trigonométriques sont les suivants :

Fonction trigonométrique	Domaine	Étendue
Sinus	Tous les nombres réels	$- 1 \leq y \leq 1$
Cosinus	Tous les nombres réels	$- 1 \leq y \leq 1$
Tangente	Tous les nombres réels, sauf $\frac{nπ}{2}, w h e r e n = \pm 1, \pm 3, \pm 5, . . .$	Tous les nombres réels
Cosécante	Tous les nombres réels, sauf $n π, where n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, . . .$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$
Sécante	Tous les nombres réels, sauf $\frac{nπ}{2}, w h e r e n = \pm 1, \pm 3, \pm 5, . . .$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$
Cotangente	Tous les nombres réels, sauf $n π, where n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, . . .$	Tous les nombres réels

N'oublie pas que toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques, car leurs valeurs se répètent à l'infini après une période donnée.

Comment représenter graphiquement les fonctions trigonométriques ?

Pour représenter graphiquement les fonctions trigonométriques, tu peux suivre les étapes suivantes :

Si la fonction trigonométrique est de la forme $y = a \sin b θ$ , $y = a \cos b θ$ ou $y = a \tan b θ$ identifie les valeurs de a et b, et calcule les valeurs de l'amplitude et de la période comme expliqué ci-dessus.
Crée un tableau de paires ordonnées pour les points que tu incluras dans le graphique. La première valeur des paires ordonnées correspondra à la valeur de l'angle θ, et les valeurs de y correspondront à la valeur de la fonction trigonométrique pour l'angle θ, par exemple, sin θ, de sorte que la paire ordonnée sera (θ, sin θ). Les valeurs de θ peuvent être soit en degrés, soit en radians.

Tu peux utiliser le cercle unitaire pour t'aider à calculer les valeurs du sinus et du cosinus pour les angles les plus couramment utilisés. Lis les fonctions trigonométriques si tu as besoin de récapituler comment faire.

Trace quelques points sur le plan de coordonnées pour compléter au moins une période de la fonction trigonométrique.
Relie les points par une courbe lisse et continue.

Graphique du sinus

Lesinus est le rapport entre la longueur du côté opposé du triangle droit et la longueur de l'hypoténuse.

Le graphique d'une fonction sinusoïdale $y = \sin θ$ ressemble à ceci :

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Sinus graphique StudySmarter Graphique du sinus, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

À partir de ce graphique, nous pouvons observer les principales caractéristiques de la fonction sinus:

Le graphique se répète tous les 2π radians ou 360°.
La valeur minimale du sinus est -1.
La valeur maximale du sinus est 1.
Cela signifie que l'amplitude du graphique est de 1 et que sa période est de 2π (ou 360°).
Le graphique croise l'axe des x à 0 et tous les π radians avant et après.
La fonction sinus atteint sa valeur maximale à π/2 et tous les 2π avant et après.
La fonction sinus atteint sa valeur minimale à 3π/2 et tous les 2π avant et après cela.

Trace le graphique de la fonction trigonométrique $y = 4 \sin 2 θ$

Identifie les valeurs de a et b

$a = 4, b = 2$

Calcule l'amplitude et la période :

$A m p l i t u d e = |a| = |4| = 4 P e r i o d = \frac{2 π}{|b|} = \frac{2 π}{|2|} = \frac{2 π}{2} = π$

Tableau des paires ordonnées :

θ	$y = 4 \sin 2 θ$
0	0
$\frac{π}{4}$	4
$\frac{π}{2}$	0
$\frac{3 π}{4}$	-4
$π$	0

Trace les points et relie-les par une courbe lisse et continue :

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Exemple de graphique du sinus StudySmarter Exemple de graphique en sinus, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Graphique du cosinus

Lecosinus est le rapport entre la longueur du côté adjacent du triangle droit et la longueur de l'hypoténuse.

Le graphique de la fonction cosinus $y = \cos θ$ ressemble exactement au graphique du sinus, sauf qu'il est décalé vers la gauche de π/2 radians, comme indiqué ci-dessous.

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Graphique du cosinus StudySmarter Graphique du cosinus, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

En observant ce graphique, nous pouvons déterminer les principales caractéristiques de la fonction cosinus:

Le graphique se répète tous les 2π radians ou 360°.
La valeur minimale du cosinus est -1.
La valeur maximale du cosinus est 1.
Cela signifie que l'amplitude du graphique est de 1 et que sa période est de 2π (ou 360°).
Le graphique croise l'axe des x à π/2 et tous les π radians avant et après.
La fonction cosinus atteint sa valeur maximale à 0 et tous les 2π avant et après.
La fonction cosinus atteint sa valeur minimale à π et tous les 2π avant et après cela.

Trace le graphique de la fonction trigonométrique $y = 2 \cos \frac{1}{2} θ$

Identifie les valeurs de a et b:

$a = 2, b = \frac{1}{2}$

Calcule l'amplitude et la période :

A m p l i t u d e = |a| = |2| = 2 P e r i o d = \frac{2 π}{|b|} = \frac{2 π}{|\frac{1}{2}|} = \frac{2 π}{\frac{1}{2}} = 4 π

Tableau des paires ordonnées :

θ	$y = 2 \cos \frac{1}{2} θ$
0	2
$π$	0
$2 π$	-2
$3 π$	0
$4 π$	2

Trace les points et relie-les par une courbe lisse et continue :

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Exemple de graphique du cosinus StudySmarter Exemple de graphique en cosinus, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Graphique de la tangente

Latangente est le rapport de la longueur du côté opposé du triangle rectangle sur la longueur du côté adjacent.

Le graphique de la fonction tangente $y = \tan θ$ est un peu différent de celui des fonctions cosinus et sinus. Il ne s'agit pas d'une onde mais plutôt d'une fonction discontinue, avec des asymptotes :

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Graphique de la tangente StudySmarter Graphique de la tangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

En observant ce graphique, nous pouvons déterminer les principales caractéristiques de la fonction tangente:

Le graphique se répète tous les π radians ou 180°.
Pas de valeur minimale.
Pas de valeur maximale.
Cela signifie que la fonction tangente n'a pas d'amplitude et que sa période est π (ou 180°).
Le graphique croise l'axe des x à 0 et tous les π radians avant et après.
Le graphique des tangentes a des asymptotes, qui sont des valeurs où la fonction n'est pas définie.
Ces asymptotes se trouvent à π/2 et tous les π avant et après.

La tangente d'un angle peut également être trouvée à l'aide de cette formule :

$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$

Trace le graphique de la fonction trigonométrique $y = \frac{3}{4} \tan θ$

Identifie les valeurs de a et b:

a = \frac{3}{4}, b = 1

Calcule l'amplitude et la période :

Les fonctions tangentes n'ont pas d'amplitude.

P e r i o d = \frac{π}{|b|} = \frac{π}{|1|} = \frac{π}{1} = π

Tableau des paires ordonnées :
θ $y = \frac{3}{4} \tan θ$
$- \frac{π}{2}$ non défini(asymptote)
$- \frac{π}{4}$ $- \frac{3}{4}$
0 0
$\frac{π}{4}$ $\frac{3}{4}$
$\frac{π}{2}$ indéfini(asymptote)

Trace les points et relie-les :

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Exemple de graphique de tangente StudySmarter Exemple de graphique de tangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Quels sont les graphiques des fonctions trigonométriques réciproques ?

À chaque fonction trigonométrique correspond une fonction réciproque :

Lacosécante est la réciproque du sinus.
Lasécante est la réciproque du cosinus.
Lacotangente est la réciproque de la tangente.

Pour représenter graphiquement les fonctions trigonométriques réciproques, tu peux procéder comme suit :

Graphique de la cosécante

Le graphique de la fonction cosécante $y = c s c θ$ peut être obtenu comme suit :

Trace d'abord le graphique de la fonction sinusoïdale correspondante, afin de l'utiliser comme guide.
Trace des asymptotes verticales en tous les points où la fonction sinusoïdale intercepte l'axe des x.
Le graphique de la cosécante touchera la fonction sinusoïdale à sa valeur maximale et minimale. À partir de ces points, dessine la réflexion de la fonction sinusoïdale, qui s'approche des asymptotes verticales sans jamais les toucher et qui s'étend jusqu'à l'infini positif et négatif.

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Graphique de la cosécante StudySmarter Graphique de la cosécante, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Le graphique de la fonction cosécante a la même période que le graphique du sinus, soit 2π ou 360°, et il n'a pas d'amplitude.

Trace le graphique de la fonction trigonométrique réciproque. $y = 2 c s c θ$

$a = 2, b = 1$
Pas d'amplitude
$P e r i o d = \frac{2 π}{|b|} = \frac{2 π}{|1|} = \frac{2 π}{1} = 2 π$

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Exemple de représentation graphique de la cosécante StudySmarter Exemple de graphique cosécant, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Graphique de la sécante

Pour représenter graphiquement la fonction sécante $y = s e c θ$ tu peux suivre les mêmes étapes que précédemment, mais en utilisant la fonction cosinus correspondante comme guide. Le graphique de la sécante ressemble à ceci :

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Graphique de la sécante StudySmarter Graphe sécant, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Le graphique de la fonction sécante a la même période que le graphique du cosinus, soit 2π ou 360°, et il n'a pas non plus d'amplitude.

Trace le graphique de la fonction trigonométrique réciproque $y = \frac{1}{2} s e c 2 θ$

$a = \frac{1}{2}, b = 2$
Pas d'amplitude
$P e r i o d = \frac{2 π}{|b|} = \frac{2 π}{|2|} = \frac{2 π}{2} = π$

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Exemple de graphique de la sécante StudySmarter Exemple de graphique de la sécante, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Graphique de la cotangente

Le graphique de la cotangente est très similaire au graphique de la tangente, mais au lieu d'être une fonction croissante, la cotangente est une fonction décroissante. Le graphique de la cotangente aura des asymptotes en tous les points où la fonction tangente intercepte l'axe des x.

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Graphique de la cotangente StudySmarter Graphique de la cotangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

La période du graphique de la cotangente est la même que celle du graphique de la tangente, π radians ou 180°, et elle n'a pas non plus d'amplitude.

Trace le graphique de la fonction trigonométrique réciproque $y = 3 c o t θ$

$a = 3, b = 1$
Pas d'amplitude
$P e r i o d = \frac{π}{|b|} = \frac{π}{|1|} = \frac{π}{1} = π$

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Exemple de graphique de la cotangente StudySmarter Exemple de graphique de la cotangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Quels sont les graphiques des fonctions trigonométriques inverses ?

Les fonctions trigonométriques inverses sont les fonctions arcsine, arccosine et arctangente, qui peuvent également être écrites sous la forme de $S {in}^{- 1}, C {os}^{- 1}$ et $T {an}^{- 1}$ . Ces fonctions font l'inverse des fonctions sinus, cosinus et tangente, ce qui signifie qu'elles restituent un angle lorsque l'on y insère une valeur sin, cos ou tan.

Rappelle-toi que l'inverse d'une fonction s'obtient en échangeant x et y, c'est-à-dire que x devient y et y devient x.

L'inverse de $y = \sin x$ est $x = \sin y$ et tu peux voir son graphique ci-dessous :

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Inverse de la sinusoïde StudySmarter Graphique de l'inverse du sinus, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Cependant, pour que les inverses des fonctions trigonométriques deviennent des fonctions, nous devons restreindre leur domaine. Sinon, les inverses ne sont pas des fonctions car elles ne passent pas le test de la ligne verticale. Les valeurs des domaines restreints des fonctions trigonométriques sont appelées valeurs principales, et pour identifier que ces fonctions ont un domaine restreint, nous utilisons des lettres majuscules :

Fonction trigonométrique	Notation du domaine restreint	Valeurs principales
Sinus	$y = S i n x$	$- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}$
Cosinus	$y = C o s x$	$0 \leq x \leq π$
Tangente	$y = T a n x$	$- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$

Graphique de l'arcsinus

L'arcsinus est l'inverse de la fonction sinus. L'inverse de $y = S i n x$ est défini comme $x = S i n^{- 1} y$ ou $x = A r c \sin y$ . Le domaine de la fonction arcsinus sera tous les nombres réels de -1 à 1, et son étendue est l'ensemble des mesures d'angle de $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$ . Le graphique de la fonction arcsinus ressemble à ceci :

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Graphique de l'arcsinus StudySmarter Graphique de l'arcsinus, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Graphique de l'arccosine

L'arccosinus est l 'inverse de la fonction cosinus. L'inverse de $y = C o s x$ est défini comme $x = C o s^{- 1} y$ ou $x = A r c \cos y$ . Le domaine de la fonction arccosine sera également tous les nombres réels de -1 à 1, et son étendue est l'ensemble des mesures d'angle de $0 \leq y \leq π$ . Le graphique de la fonction arccosine est illustré ci-dessous :

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Arccosine graph StudySmarter Graphique de l'arctangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Graphique de l'arctangente

L'arctangente est l' inverse de la fonction tangente. L'inverse de $y = T a n x$ est défini comme $x = T a n^{- 1} y$ ou $x = A r c \tan y$ . Le domaine de la fonction arctangente sera tous les nombres réels, et son étendue est l'ensemble des mesures d'angle entre $- \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2}$ . Le graphique de l'arctangente ressemble à ceci :

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Graphique de l'arctangente StudySmarter Graphique de l'arctangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Si nous représentons graphiquement toutes les fonctions inverses ensemble, elles ressemblent à ceci :

Représentation graphique des fonctions trigonométriques Graphiques de l'arcsinus, de l'arccosinus et de l'arctangente StudySmarter Graphique de l'arcsine, de l'arccosine et de l'arctangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Reporte-toi à l'article sur les fonctions trigonométriques inverses pour en savoir plus sur ce sujet.

Représentation graphique des fonctions trigonométriques - Principaux enseignements

Les graphiques des fonctions trigonométriques sont des représentations graphiques de fonctions ou de rapports définis sur la base des côtés et des angles d'un triangle droit.
Les principales caractéristiques des fonctions trigonométriques sont : l'amplitude, la période, le domaine et l'étendue.
L'amplitude des fonctions trigonométriques fait référence au facteur d'étirement vertical, que tu peux calculer comme la valeur absolue de la moitié de la différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale.
La période des fonctions trigonométriques est la distance sur l'axe des x entre le point de départ du motif et le point où il recommence.
Chaque fonction trigonométrique a une fonction réciproque correspondante. La cosécante est la réciproque du sinus, la sécante est la réciproque du cosinus et la cotangente est la réciproque de la tangente.
Les fonctions trigonométriques inverses arcsine, arccosine et arctangente font le contraire des fonctions sinus, cosinus et tangente, ce qui signifie qu'elles restituent un angle lorsque l'on y insère une valeur sin, cos ou tan.

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Questions fréquemment posées en Tracer des fonctions trigonométriques

Comment tracer une fonction trigonométrique ?

Pour tracer une fonction trigonométrique, commencez par identifier la période, l'amplitude et les décalages. Ensuite, dessinez les points clés en respectant ces caractéristiques.

Qu'est-ce qu'une fonction sinusoïdale ?

Une fonction sinusoïdale est une fonction définie par y = sin(x) ou y = cos(x), caractérisée par sa forme ondulante et répétitive.

Comment déterminer la période d'une fonction trigonométrique ?

Pour déterminer la période d'une fonction trigonométrique, identifiez la longueur du cycle complet de la fonction. Par exemple, pour sin(x) et cos(x), la période est 2π.

Comment tracer une fonction cosinus ?

Pour tracer une fonction cosinus, commencez par dessiner les points principaux comme les maxima et minima, puis reliez-les par une courbe lisse en respectant la période et l'amplitude.

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