Théorème SAS

En général, dans l'étude des triangles, nous avons besoin d'informations sur tous ses côtés et ses angles pour trouver la congruence entre deux triangles. Mais est-il possible d'obtenir la congruence et la relation de similitude de deux triangles sans tous les côtés et les angles ? Le théorème SAS peut être très utile dans ce type de scénario. Le théorème SAS peut également être utile pour calculer l'aire des triangles.

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    Dans cette section, nous allons comprendre le théorème de SAS et ses énoncés importants. Nous verrons également comment trouver l'aire d'un triangle donné à l'aide du théorème de SAS.

    Théorème de congruence de SAS

    Le théorème de congruence de SAS donne la relation de congruence entre deux triangles. Lorsque tous les angles correspondants sont congruents entre eux et que tous les côtés correspondants sont congruents dans deux triangles, on dit que ces triangles sont congruents. Mais avec le théorème de congruence SAS, nous ne considérons que deux côtés et un angle pour établir la congruence entre les triangles.

    Comme son nom l'indique, SAS est l'abréviation de Side-Angle-Side (côté-angle-côté). Lorsque l'on utilise le théorème de congruence SAS, on considère deux côtés adjacents correspondants et l'angle compris entre ces deux côtés.

    Il faut toujours noter que l'angle doit être celui qui est inclus et non un autre, car il ne satisferait alors pas au critère SAS.

    Théorème de congruence SAS: Deux triangles sont dits congruents si les deux côtés correspondants et l'angle inclus à ces côtés d'un triangle sont égaux aux côtés correspondants et à l'angle inclus de l'autre triangle.

    Les mathématiques sont représentées par la formule suivante : si AB=XY, A=X, AC=XZ, alors ABCXYZ.

    Théorème SAS, triangles congruents SAS, StudySmarterTriangles congruents SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Si le théorème de congruence SAS est satisfait pour deux triangles quelconques, alors nous pouvons directement dire que tous les côtés et les angles d'un triangle seront respectivement égaux à ceux de l'autre triangle.

    Théorème de similitude de SAS

    Nous pouvons conclure que deux triangles sont similaires à l'aide du théorème de similitude de SAS. Habituellement, nous avons besoin d'informations sur tous les côtés et les angles des deux triangles pour prouver qu'ils sont semblables. Mais avec l'aide du théorème de similitude de SAS, nous ne prenons en compte que deux côtés et un angle correspondants de ces triangles.

    Comme les triangles SAS ont deux côtés, nous pouvons prendre la proportion de ces côtés pour montrer la similitude entre les deux triangles.

    Théorème de similitude SAS: Deux triangles sont semblables si les deux côtés adjacents d'un triangle sont proportionnels aux deux côtés adjacents d'un autre triangle et si les angles inclus des deux triangles sont égaux.

    Mathématiquement, nous disons que, si ABDE=BCEF et B=E, alors ABC~DEF.

    Théorème SAS, Théorème de similarité SAS, StudySmarterThéorème de similitude SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Preuve du théorème SAS

    Voyons la preuve du théorème de SAS pour la congruence et la similitude.

    Preuve du théorème de congruence du SAS

    Réalisons une activité pour prouver le théorème de congruence de SAS. D'après l'énoncé du théorème de congruence de SAS, on sait que AB=XY, AC=XZ, et A=X.

    Théorème SAS, Théorème de congruence SAS, StudySmarterThéorème de congruence de SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Pour prouver : ABCXYZ

    On prend un triangle XYZ et on le place au-dessus de l'autre triangle ABC. On voit maintenant que le B coïncide avec le Y en tant que AB=XY. Comme A=X et lorsque les deux triangles sont placés l'un au-dessus de l'autre, AC et XZ tomberont l'un à côté de l'autre. Comme AC=XZ, le point C coïncide avec Z. De même, BC et YZ coïncideront l'un avec l'autre.

    Il est donc évident que les deux triangles ABC et XYZ coïncident l'un avec l'autre. D'où ABCXYZ.

    Preuve du théorème de similitude de l'ASA

    L'énoncé du théorème de similitude indique que ABDE=BCEF et B=E.

    Pour prouver : ABC~DEF

    Théorème SAS, Théorème de similarité SAS, StudySmarterSAS triangle de similitude avec la ligne construite PQ, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Considère un point P sur DE à une distance telle que AB=EP. Joignez ensuite un segment de droite de P à EF au point Q de telle sorte que PQDF. Comme PQDF, nous obtenons que PEQ~DEF.

    Alors par le théorème de proportionnalité de base,

    EPDE=EQEF (1)

    Théorème de proportionnalité de base: Si une ligne est parallèle à un côté d'un triangle et si cette ligne coupe les deux autres côtés en deux points différents du triangle, alors ces côtés sont proportionnels.

    On nous a déjà donné cela,

    ABDE=BCEF (2)

    Comme AB=EP et de l'équation (1) et de l'équation (2),

    EPDE=ABDE=EQEF=BCEF EQ=BC

    Et nous avons aussi que B=E.

    Donc, en utilisant le théorème de congruence de SAS à partir des informations ci-dessus, nous obtenons que ABCPEQ.

    ABC~PEQ

    Nous avons déjà que PEQ~DEF. Donc, à partir des deux similitudes obtenues, nous obtenons que ABC~DEF.

    Formule du théorème SAS

    Le théorème SAS n'est pas seulement utilisé pour montrer la congruence et la similitude entre deux triangles, mais nous en tirons également la formule du théorème SAS. Cette formule SAS peut être très utile en trigonométrie pour calculer l'aire d'un triangle. Cette formule utilise les règles de trigonométrie pour trouver l'aire du triangle.

    La formule du théorème de SAS pour le triangle s'exprime comme suit :

    Surface du triangle=12×a×b×sin x, où a et b sont les deux côtés du triangle SAS et x est la mesure de l'angle inclus.

    Théorème SAS, triangles SAS, StudySmarterTriangle SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Dérivons la formule du théorème SAS. Dans le SAS ABC construis une perpendiculaire du point A à la ligne BC en D. Maintenant que ABD forme un triangle droit, nous pouvons utiliser les rapports trigonométriques avec B comme angle.

    sin x=ADAB p=a×sin x (1)

    De plus, nous savons que la formule générale pour calculer un triangle quelconque est la suivante

    Aire =12×base×height

    Maintenant, dans la formule ABC, b est la base et p est la hauteur. En substituant cette valeur à la formule de l'aire, nous obtenons,

    Surface =12×b×p (2)

    D'après l'équation (1), nous connaissons la valeur de p, alors nous la remplaçons dans l'équation (2) de la surface obtenue ci-dessus.

    Surface =12×b×a×sin x

    La formule de l'aire du triangle à l'aide du théorème SAS est donc la suivante Area=12×a×b×sin x.

    Exemples de théorèmes SAS

    Voici quelques exemples du théorème de SAS pour mieux comprendre le concept.

    Détermine si les triangles donnés sont similaires ou non.

    Théorème SAS, Théorème de similarité SAS, StudySmarterExemple de triangles semblables, www.ck12.org

    Solution:

    D'après la figure, nous pouvons voir que deux côtés et une mesure d'angle sont fournis pour chaque triangle. Les côtés sont adjacents et l'angle est l'angle compris entre les deux côtés. Le triangle donné peut donc être considéré comme un triangle SAS.

    Ici, nous devons déterminer la similitude entre ABC et XYZ. Mais pour cela, nous devons vérifier le théorème de similitude du SAS.

    Comme B et Z sont tous deux des triangles rectangles. Cela implique donc que BZ.

    Nous devons également vérifier la proportion entre les côtés donnés.

    XZAB=1015=23,YZBC=2436=23 ABXZ=BCYZ

    Ainsi, d'après ce qui précède, nous pouvons voir que les deux côtés et un angle satisfont à la condition du théorème de similitude de SAS. Par conséquent, les deux triangles ABC et XYZ sont des triangles semblables.

    Trouve l'aire du triangle donnéDEF en utilisant la formule du théorème de SAS, si EF=12 cm, DF=10 cm, et F=30°.

    Théorème SAS, triangles SAS, StudySmarterTriangle SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

    Solution :

    On nous donne ici EF=12 cm, DF=10 cm, F=30°.. Considère donc a=10 cm, b=12 cm, x=30°.

    Alors l'aire du triangle ci-dessus en utilisant la formule du théorème de SAS est,

    Surface =12×a×b×sin x

    =12×10×12×sin30°=12×10×12×12=5×6

    Area=30 cm2

    Par conséquent, l'aire du triangle en utilisant la formule du théorème de SAS est de 30 cm2.

    Théorème du SAS - Principaux enseignements

    • Théorème de congruence du SAS : Deux triangles sont dits congruents si les deux côtés correspondants et l'angle inclus à ces côtés d'un triangle sont égaux aux côtés correspondants et à l'angle inclus de l'autre triangle.
    • Théorème de similitude SAS : Deux triangles sont semblables si les deux côtés adjacents d'un triangle sont proportionnels aux deux côtés adjacents d'un autre triangle et si les angles inclus des deux triangles sont égaux.
    • Aire d'un triangle à l'aide du théorème de SAS =12×a×b×sin x, où a et b sont les deux côtés du triangle SAS et x est la mesure de l'angle inclus.

    Questions fréquemment posées en Théorème SAS
    Qu'est-ce que le théorème SAS en mathématiques ?
    Le théorème SAS stipule que deux triangles sont congruents si deux côtés et l'angle compris d'un triangle sont égaux aux deux côtés correspondants et à l'angle compris de l'autre triangle.
    Comment prouver le théorème SAS ?
    Pour prouver le théorème SAS, montrez que deux triangles avec deux côtés et un angle compris égaux sont congruents, donc de même forme et taille.
    Quels sont les équivalents du théorème SAS ?
    Les équivalents du théorème SAS sont les théorèmes SSS (côté, côté, côté) et ASA (angle, côté, angle).
    Pourquoi le théorème SAS est-il important ?
    Le théorème SAS est important car il permet de prouver facilement la congruence de triangles, ce qui simplifie les calculs géométriques.
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