Théorème SAS

Théorème de congruence de SAS

Le théorème de congruence de SAS donne la relation de congruence entre deux triangles. Lorsque tous les angles correspondants sont congruents entre eux et que tous les côtés correspondants sont congruents dans deux triangles, on dit que ces triangles sont congruents. Mais avec le théorème de congruence SAS, nous ne considérons que deux côtés et un angle pour établir la congruence entre les triangles.

Comme son nom l'indique, SAS est l'abréviation de Side-Angle-Side (côté-angle-côté). Lorsque l'on utilise le théorème de congruence SAS, on considère deux côtés adjacents correspondants et l'angle compris entre ces deux côtés.

Les mathématiques sont représentées par la formule suivante : si $AB=XY,\angle A=\angle X,AC=XZ,$ alors $△ABC\cong △XYZ.$

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Si le théorème de congruence SAS est satisfait pour deux triangles quelconques, alors nous pouvons directement dire que tous les côtés et les angles d'un triangle seront respectivement égaux à ceux de l'autre triangle.

Théorème de similitude de SAS

Nous pouvons conclure que deux triangles sont similaires à l'aide du théorème de similitude de SAS. Habituellement, nous avons besoin d'informations sur tous les côtés et les angles des deux triangles pour prouver qu'ils sont semblables. Mais avec l'aide du théorème de similitude de SAS, nous ne prenons en compte que deux côtés et un angle correspondants de ces triangles.

Comme les triangles SAS ont deux côtés, nous pouvons prendre la proportion de ces côtés pour montrer la similitude entre les deux triangles.

Mathématiquement, nous disons que, si $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$ et $\angle B=\angle E,$ alors $△ABC~△DEF.$

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Preuve du théorème SAS

Voyons la preuve du théorème de SAS pour la congruence et la similitude.

Preuve du théorème de congruence du SAS

Réalisons une activité pour prouver le théorème de congruence de SAS. D'après l'énoncé du théorème de congruence de SAS, on sait que $AB=XY,AC=XZ,$ et $\angle A=\angle X.$

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Pour prouver : $△ABC\cong △XYZ$

On prend un triangle $△XYZ$ et on le place au-dessus de l'autre triangle $△ABC.$ On voit maintenant que le B coïncide avec le Y en tant que $AB=XY.$ Comme $\angle A=\angle X$ et lorsque les deux triangles sont placés l'un au-dessus de l'autre, AC et XZ tomberont l'un à côté de l'autre. Comme $AC=XZ,$ le point C coïncide avec Z. De même, BC et YZ coïncideront l'un avec l'autre.

Il est donc évident que les deux triangles $△ABC$ et $△XYZ$ coïncident l'un avec l'autre. D'où $△ABC\cong △XYZ$.

Preuve du théorème de similitude de l'ASA

L'énoncé du théorème de similitude indique que $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$ et $\angle B=\angle E.$

Pour prouver : $△ABC~△DEF$

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Considère un point P sur DE à une distance telle que $AB=EP.$ Joignez ensuite un segment de droite de P à EF au point Q de telle sorte que $PQ\parallel DF.$ Comme $PQ\parallel DF,$ nous obtenons que $△PEQ~△DEF.$

Alors par le théorème de proportionnalité de base,

$\frac{EP}{DE}=\frac{EQ}{EF}\left(1\right)$

On nous a déjà donné cela,

$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\left(2\right)$

Comme $AB=EP$ et de l'équation (1) et de l'équation (2),

$$\begin{gathered} \frac{EP}{DE}=\frac{AB}{DE}=\frac{EQ}{EF}=\frac{BC}{EF} \\ \Rightarrow EQ=BC \end{gathered}$$

Et nous avons aussi que $\angle B=\angle E.$

Donc, en utilisant le théorème de congruence de SAS à partir des informations ci-dessus, nous obtenons que $△ABC\cong △PEQ.$

$\Rightarrow △ABC~△PEQ$

Nous avons déjà que $△PEQ~△DEF.$ Donc, à partir des deux similitudes obtenues, nous obtenons que $△ABC~△DEF.$

Formule du théorème SAS

Le théorème SAS n'est pas seulement utilisé pour montrer la congruence et la similitude entre deux triangles, mais nous en tirons également la formule du théorème SAS. Cette formule SAS peut être très utile en trigonométrie pour calculer l'aire d'un triangle. Cette formule utilise les règles de trigonométrie pour trouver l'aire du triangle.

La formule du théorème de SAS pour le triangle s'exprime comme suit :

Surface du triangle$=\frac{1}{2}\times a\times b\times \sin x,$ où a et b sont les deux côtés du triangle SAS et x est la mesure de l'angle inclus.

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Dérivons la formule du théorème SAS. Dans le SAS $△ABC$ construis une perpendiculaire du point A à la ligne BC en D. Maintenant que $△ABD$ forme un triangle droit, nous pouvons utiliser les rapports trigonométriques avec $\angle B$ comme angle.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sin x=\frac{AD}{AB} \\ \Rightarrow p=a\times \sin x\left(1\right) \end{gathered}$$

De plus, nous savons que la formule générale pour calculer un triangle quelconque est la suivante

Aire $=\frac{1}{2}\times base\times height$

Maintenant, dans la formule $△ABC,$ b est la base et p est la hauteur. En substituant cette valeur à la formule de l'aire, nous obtenons,

Surface $=\frac{1}{2}\times b\times p\left(2\right)$

D'après l'équation (1), nous connaissons la valeur de p, alors nous la remplaçons dans l'équation (2) de la surface obtenue ci-dessus.

Surface $=\frac{1}{2}\times b\times a\times \sin x$

La formule de l'aire du triangle à l'aide du théorème SAS est donc la suivante $\mathit{A}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{a}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathit{a}\mathbf{\times }\mathit{b}\mathbf{\times }\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{}\mathit{x}.$

Exemples de théorèmes SAS

Voici quelques exemples du théorème de SAS pour mieux comprendre le concept.

Détermine si les triangles donnés sont similaires ou non.

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Exemple de triangles semblables, www.ck12.org

Solution:

D'après la figure, nous pouvons voir que deux côtés et une mesure d'angle sont fournis pour chaque triangle. Les côtés sont adjacents et l'angle est l'angle compris entre les deux côtés. Le triangle donné peut donc être considéré comme un triangle SAS.

Ici, nous devons déterminer la similitude entre $△ABC$ et $△XYZ.$ Mais pour cela, nous devons vérifier le théorème de similitude du SAS.

Comme $\angle B$ et $\angle Z$ sont tous deux des triangles rectangles. Cela implique donc que $\angle B\cong \angle Z.$

Nous devons également vérifier la proportion entre les côtés donnés.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{XZ}{AB}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}, \\ \frac{YZ}{BC}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3} \\ \Rightarrow \frac{AB}{XZ}=\frac{BC}{YZ} \end{gathered}$$

Ainsi, d'après ce qui précède, nous pouvons voir que les deux côtés et un angle satisfont à la condition du théorème de similitude de SAS. Par conséquent, les deux triangles $△ABC$ et $△XYZ$ sont des triangles semblables.

Trouve l'aire du triangle donné$△DEF$ en utilisant la formule du théorème de SAS, si $EF=12cm,DF=10cm,$ et $\angle F=30°.$

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Triangle SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Solution :

On nous donne ici $EF=12cm,DF=10cm,\angle F=30°.$. Considère donc $a=10cm,b=12cm,x=30°.$

Alors l'aire du triangle ci-dessus en utilisant la formule du théorème de SAS est,

Surface $=\frac{1}{2}\times a\times b\times \sin x$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{2}\times 10\times 12\times \sin 30° \\ =\frac{1}{2}\times 10\times 12\times \frac{1}{2} \\ =5\times 6 \end{gathered}$$

$\therefore \mathit{A}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{a}\mathbf{=}\mathbf{30}\mathbf{}\mathit{c}{\mathit{m}}^{\mathbf{2}}$

Par conséquent, l'aire du triangle en utilisant la formule du théorème de SAS est de 30 ^cm2.