Théorème CCC

Théorème de congruence SSS

Le théorème de congruence SSS donne la relation de congruence entre deux triangles en se basant sur leurs côtés.

Mathématiquement, si $AB=XY,BC=YZ,$ et id="5311185" role="math" $AC=XZ$, alors $△ABC\cong △XYZ.$

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Ainsi, si nous pouvons remplacer les trois côtés d'un triangle par tous les côtés d'un autre triangle, alors les deux triangles sont congruents selon le critère SSS. Dans cette situation, les deux triangles sont représentés par un symbole de congruence.

Tel qu'il est donné, nous savons que les trois côtés des deux triangles $△ABC$ et $△XYZ$ sont de la même taille et de la même longueur l'un par rapport à l'autre. Nous pouvons donc superposer les côtés XY sur AB, YZ sur BC et XZ sur AC en superposant les deux triangles. Cela donne donc $AB=XY,BC=YZ,AC=XZ.$ Donc $△ABC\cong △XYZ.$

Exemples de triangles de congruence SSS

Nous allons voir ici quelques exemples de congruence SSS pour mieux comprendre.

Montre que les triangles donnés sont congruents entre eux.

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Exemples de triangles congruents utilisant la congruence SSS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Solution:

Nous pouvons voir sur la figure $AB=DE=7,BC=EF=11,AC=DF=15.$ Comme les trois côtés des deux triangles sont respectivement égaux, nous pouvons directement utiliser le théorème de congruence SSS.

D'où, $△ABC\cong △DEF.$

Théorème de similitude SSS

Dans les triangles, si les angles correspondants sont congruents et les côtés correspondants sont proportionnels, alors les deux triangles sont similaires. Mais pour vérifier cela, nous n'avons pas nécessairement besoin de considérer tous les côtés et tous les angles. Nous pouvons simplement utiliser le théorème de similitude SSS et la connaissance des côtés proportionnels pour prouver que les triangles sont semblables.

Preuve : On nous donne que les côtés correspondants de deux triangles sont proportionnels.

C'est-à-dire , $\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NO}=\frac{AC}{MO}\left(1\right)$

Prouver : $△ABC~△MNO$

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Tout d'abord, nous considérons deux points P et Q sur les lignes MN et MO respectivement tels que $MP=AB$ et $MQ=AC$. Nous joignons maintenant ces points et formons une ligne PQ telle que PQ est parallèle à NO.

Ensuite, nous remplaçons AB et AC par MP et MQ respectivement dans l'équation 1.

$\Rightarrow \frac{MP}{MN}=\frac{MQ}{MO}$

Maintenant, comme $PQ\parallel NO,\angle MPQ=\angle N$ et $\angle MQP=\angle O$ sont respectivement les angles correspondants. Par conséquent, en appliquant AA - Similitude, nous obtenons $△MPQ~△MNO.$

D'après la définition des triangles semblables sur $△MPQ$ et $△MNO,$ nous obtenons que

$\frac{MP}{MN}=\frac{MQ}{MO}=\frac{PQ}{NO}\left(2\right)$

En remplaçant à nouveau id="5311200" role="math" $MP=AB$ et id="5311199" role="math" $MQ=AC$ dans l'équation 1, nous obtenons

$\frac{MP}{MN}=\frac{BC}{NO}=\frac{MQ}{MO}\left(3\right)$

Donc en comparant l'équation 2 et l'équation 3. $\frac{PQ}{NO}=\frac{BC}{NO}\Rightarrow PQ=BC.$

Finalement, nous savons que id="5311201" role="math" $AB=MP,BC=PQ,AC=MQ$. Donc par le théorème de congruence SSS, on obtient id="5311202" role="math". $△ABC\cong △MPQ.$Et nous avons aussi que id="5311203" role="math" $△MPQ~△MNO.$ Par conséquent, à partir de ces deux similitudes, nous obtenons id="5311204" role="math" $△ABC~△MNO.$

Exemples de théorèmes de similarité SSS

Jetons un coup d'œil aux exemples de théorèmes de similarité SSS.

Vérifie si les triangles donnés sont similaires ou non.

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Exemple de théorème de similitude SSS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Solution:

Ici, pour déterminer les triangles semblables, nous devons vérifier les côtés proportionnels. Nous allons donc d'abord trouver les rapports des côtés correspondants.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \\ \frac{EF}{BC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \\ \frac{DF}{AC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Ainsi, tous les côtés correspondants des deux triangles sont égaux.

$\Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}$

En utilisant le théorème de similitude SSS, les deux triangles id="5311205" role="math" $△ABC$ et id="5311206" role="math" $△DEF$ sont similaires.

Trouve la valeur de x en utilisant le théorème de similitude SSS.

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Exemple de théorème de similarité SSS, static.bigideasmath.com

Solution:

Nous trouvons d'abord la proportion des côtés correspondants. Pour cela, nous prenons en compte n'importe lequel des côtés dont la valeur est inconnue. Considérons les côtés AB et BC dans $△ABC$ et les côtés DE et EF dans $△DEF.$

La proportion des côtés sera donc de 7,

$$\begin{gathered} \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF} \\ \Rightarrow \frac{4}{12}=\frac{x-1}{18} \\ \Rightarrow 4\times 18=(x-1)\times 12 \\ \Rightarrow 72=12x-12 \\ \Rightarrow 12x=72+12 \\ \Rightarrow 12x=84 \\ \Rightarrow x=\frac{84}{12} \\ \Rightarrow x=7 \end{gathered}$$

La valeur de x est donc 7. Mais confirmons-la en la substituant aux valeurs inconnues des côtés et en vérifiant les proportions.

$$\begin{gathered} BC=x-1=7-1=6 \\ DF=3(x+1)=3(7+1)=3\times 8=24 \end{gathered}$$

Nous allons maintenant vérifier les proportions des côtés correspondants.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{AB}{DE}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \\ \frac{BC}{EF}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3} \\ \frac{AC}{DF}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Comme les triangles donnés sont des triangles semblables, leurs côtés correspondants proportionnels devraient être égaux. Et nous voyons clairement qu'ils sont égaux. Par conséquent, notre valeur de $x=7$ est correcte.