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Taux de variation moyen

Supposons que tu prévoies de partir en voyage et que tu veuilles estimer la quantité de carburant dont ta voiture aura besoin pour ne pas s'arrêter en cours de route. En la conduisant tous les jours, tu obtiens une estimation approximative sur plusieurs jours selon laquelle la distance moyenne parcourue par ta voiture avec 1 litre de carburant est de 15 kms. Mais en quoi cela peut-il être utile ? Tu peux étendre ce taux moyen pour estimer si ta voiture peut faire le trajet en un seul plein d'essence. Ce que nous avons découvert est le taux moyen de variation de la distance par rapport au carburant consommé. Il s'agit d'un scénario assez simple, mais il a aussi des applications ailleurs, comme le calcul du taux moyen de variation du courant électrique traversant un circuit en unité de temps pour déterminer la puissance et la résistance du circuit.

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Last Updated: 01.01.1970
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Nous allons aborder l'aspect mathématique des scénarios ci-dessus, qui peuvent ensuite être appliqués à une pléthore de problèmes du monde réel.

Définition et formule du taux de variation moyen

Le mot "moyenne" suggère que le taux de changement que nous recherchons sera sur un intervalle considérable. La raison pour laquelle le taux de variation moyen est utile est qu'il peut être étendu sur un grand intervalle pour obtenir des résultats assez précis.

Le taux moyen de variation d'une quantité par rapport à une autre est la mesure de la variation de la quantité dans un intervalle donné par unité de variation de l'autre quantité.

Au sens mathématique, les quantités sont remplacées par des "fonctions", mais l'exposé reste le même.

Soit $y = f (x)$ est une fonction définie sur l'intervalle fermé $[a, b]$ où a et b sont des nombres réels. Nous voulons connaître le taux de variation de la fonction sur cet intervalle, la définition plus rigoureuse du taux de variation moyen est la suivante :

Le taux moyen de changement d'une fonction $y = f (x)$ sur un intervalle $[a, b]$ est donné comme le rapport entre le changement de la fonction sur l'intervalle et le changement de la valeur des points d'extrémité.

Si l'on traduit la définition en équation, la première partie de la définition est "le changement de la fonction sur l'intervalle" qui devient $f (b) - f (a)$ et la seconde partie est "le changement de la valeur des points d'extrémité" qui se traduit par $b - a$ . Maintenant, le taux moyen de changement d'une fonction est le rapport de ces deux éléments, ce qui nous donne :

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

Quelle est l'équation permettant de trouver le taux moyen de variation de y par rapport à (abréviation de "par rapport à") x sur l'intervalle $[a, b]$ . Nous pouvons également trouver une expression similaire pour le taux moyen de changement de x par rapport à y sur le même intervalle, qui sera juste la réciproque de ce que nous avons obtenu plus tôt :

$\frac{Δ x}{Δ y} = \frac{b - a}{f (b) - f (a)}$

Mais comment interpréter ce taux moyen de changement de façon plus visuelle ou graphique ? Jetons un coup d'œil.

Taux moyen de changement sur un graphique

Prenons la même fonction familière, $y = f (x)$ sur l'intervalle $[a, b]$ . Traçons maintenant un graphique des points d'extrémité pour mieux comprendre ce qui se passe.

Taux de changement moyen, taux de changement moyen sur deux points, StudySmarter

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Le taux moyen de changement sur deux points, StudySmarter Originals

Soit les deux points d'extrémité A et B qui ont pour coordonnées $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ respectivement. Le taux moyen de changement entre les deux points sera la pente de la ligne passant par A et B. La raison en est que le rapport entre le changement de y et le changement de x n'est rien d'autre que la pente de cette ligne.

En d'autres termes, le taux de variation moyen sur deux points est la pente de la droite sécante qui passe par eux.

Note que le taux moyen de variation d'une fonction peut différer sur différents intervalles puisque la pente sera modifiée respectivement. Pour une fonction linéaire, le taux moyen de variation sera toujours le même pour n'importe quel intervalle, ce qui peut être justifié graphiquement puisque la pente sera toujours la même ligne que la fonction elle-même.

Taux moyen de variation d'une fonction comme gradient

Le taux moyen de variation entre deux points peut également être compris de façon équivalente comme le gradient entre les deux points.

Taux moyen de changement, pente sur deux points dans un triangle droit, StudySmarter

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Le gradient sur deux points en tant que partie d'un triangle droit, StudySmarter Originals

Si nous dessinons le changement des coordonnées y et le changement des coordonnées x, nous obtenons un triangle rectangle comme indiqué ci-dessus. D'après les lois de la trigonométrie, le gradient peut être trouvé comme suit :

$\frac{Δ y}{Δ x} = m = s l o p e$

Ce qui n'est qu'une façon légèrement différente de considérer le taux moyen de changement entre deux points.

Si les deux points A et B sont suffisamment proches, le taux de variation moyen est plus précis sur un intervalle plus long. Plus les points sont proches, plus le taux de variation est précis. Si les points sont suffisamment proches, le taux de variation moyen devient un taux de variation instantané (dont il est question dans l'article d'accompagnement. Comme $Δ y \to 0$ et $Δ x \to 0$ on obtient : $\frac{Δ y}{Δ x} \approx \frac{d y}{d x}$ ).

Exemples de taux de changement moyen

Trouve le taux moyen de variation de la fonction $f (x) = 2 x^{2} - 1$ lorsque x varie de 1 à 3.

Solution :

Étape 1 : Calcule la valeur de la fonction aux points extrêmes, 1 et 3 :

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - 3 = - 1$

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - 3 = 15$

Étape 2 : Trouve la variation de x : $3 - 1 = 2$ .

Étape 3 : Prends le rapport entre la variation de la fonction et la variation de x :

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (3) - f (1)}{3 - 1}$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{15 + 1}{2} = 8$

Par conséquent, le taux moyen de changement de la fonction par rapport à x entre les points 3 et 1 est de 8.

Trouve le taux moyen de variation de la fonction $y = e^{2 t} - \frac{t^{3}}{2}$ entre les valeurs de t : $0 and \frac{3}{2}$ .

Solution :

Étape 1 : Calcule la valeur de la fonction aux points donnés :

$f (0) = e^{2 (0)} - \frac{{(0)}^{3}}{2} = 1 - 0 = 1$

$f (\frac{3}{2}) = e^{2 . \frac{3}{2}} - \frac{1}{2} {(\frac{3}{2})}^{3} = e^{3} - \frac{27}{16}$

Étape 2 : Calcule la différence entre les coordonnées t : $\frac{3}{2} - 0 = \frac{3}{2}$ .

Étape 3 : Prends le rapport entre la variation de la fonction et les coordonnées x :

$\frac{Δ y}{Δ t} = \frac{f (\frac{3}{2}) - f (0)}{\frac{3}{2} - 0}$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{e^{3} - \frac{27}{16} - 1}{\frac{3}{2}}$ $= \frac{2 e^{3}}{3} - \frac{27}{24} - \frac{2}{3}$ $= \frac{16 e^{3} - 27 - 16}{24}$

$\frac{Δ y}{Δ t} = \frac{16 e^{3} - 43}{24}$

Par conséquent, le taux moyen de variation de la fonction est de $\frac{16 e^{3} - 43}{24}$ entre les points $0 and \frac{3}{2}$ .

Un bus parcourt une distance de 60 km entre son premier et son dernier arrêt. Le bus met environ 2 heures pour effectuer l'ensemble du trajet. Le chauffeur du bus dit qu'il a fait plusieurs arrêts entre les deux et qu'il a roulé à différentes vitesses à différents moments. Le chauffeur de bus doit indiquer la vitesse moyenne à laquelle il roulait afin que les autorités puissent être assurées qu'il roulait en moyenne en dessous de la limite de vitesse. La limite de vitesse est de 35 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne en dessous de cette limite ?

Solution :

Étape 1 : convertis les données données en informations mathématiques. Soit d la distance parcourue par le bus et t le temps nécessaire pour parcourir la distance.

Étape 2 : Trouve la variation de la distance nette parcourue : $Δ d = 60 - 0 = 60$ km. Et le temps nécessaire pour parcourir cette distance : $Δ t = 2 h r s$ .

Étape 3 : La vitesse moyenne d'un objet est donnée par le rapport entre la distance nette parcourue par le bus et le temps mis pour parcourir cette distance, donc :

$V_{a v} = \frac{Δ d}{Δ t}$ $= \frac{60}{2} \frac{k m}{h r}$

$V_{a v} = 30 k m / h r$

Par conséquent, la vitesse moyenne à laquelle le conducteur roulait était de 30 km/h, ce qui est inférieur à la limite de vitesse moyenne de 35 km/h.

Taux de variation moyen - Principaux enseignements

Le taux moyen de variation d'une quantité par rapport à une autre est la mesure de la variation de la quantité dans un intervalle donné par unité de variation de l'autre quantité.
Au sens mathématique, le taux moyen de variation d'une fonction $y = f (x)$ sur un intervalle $[a, b]$ est donné comme le rapport entre le changement de la fonction sur l'intervalle et le changement de la valeur des points d'extrémité.
Le taux de variation d'une fonction entre deux points est égal à la pente de la droite formée en joignant les deux points.
La formule du taux moyen de variation d'une fonction entre deux points est donnée par $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .

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Questions fréquemment posées en Taux de variation moyen

Qu'est-ce que le taux de variation moyen?

Le taux de variation moyen est le quotient de la variation de la grandeur (y) par la variation de la variable (x).

Comment calculer le taux de variation moyen?

Pour calculer le taux de variation moyen, utilisez la formule (y2 - y1) / (x2 - x1).

Quelle est l'utilité du taux de variation moyen?

Le taux de variation moyen permet de mesurer le changement moyen d'une grandeur par rapport à une autre sur un intervalle donné.

Quelle est la différence entre taux de variation moyen et dérivée?

Le taux de variation moyen mesure le changement sur un intervalle, tandis que la dérivée mesure le changement instantané en un point.

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