Taux de variation moyen

Trouve le taux moyen de variation de la fonction $f\left(x\right)=2x^2-1$ lorsque x varie de 1 à 3.

Solution :

Étape 1 : Calcule la valeur de la fonction aux points extrêmes, 1 et 3 :

$f\left(1\right)=2{\left(1\right)}^2-3=-1$

$f\left(3\right)=2{\left(3\right)}^2-3=15$

Étape 2 : Trouve la variation de x : $3-1=2$.

Étape 3 : Prends le rapport entre la variation de la fonction et la variation de x :

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(3\right)-f\left(1\right)}{3-1}$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{15+1}{2}=8$

Par conséquent, le taux moyen de changement de la fonction par rapport à x entre les points 3 et 1 est de 8.

Trouve le taux moyen de variation de la fonction$y=e^{2t}-\frac{t^3}{2}$ entre les valeurs de t :$0\mathrm{and}\frac{3}{2}$.

Solution :

Étape 1 : Calcule la valeur de la fonction aux points donnés :

$f\left(0\right)=e^{2\left(0\right)}-\frac{{\left(0\right)}^3}{2}=1-0=1$

$f\left(\frac{3}{2}\right)=e^{2.\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^3=e^3-\frac{27}{16}$

Étape 2 : Calcule la différence entre les coordonnées t : $\frac{3}{2}-0=\frac{3}{2}$.

Étape 3 : Prends le rapport entre la variation de la fonction et les coordonnées x :

$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{f\left(\frac{3}{2}\right)-f\left(0\right)}{\frac{3}{2}-0}$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{e^3-\frac{27}{16}-1}{\frac{3}{2}}$$=\frac{2e^3}{3}-\frac{27}{24}-\frac{2}{3}$$=\frac{16e^3-27-16}{24}$

$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{16e^3-43}{24}$

Par conséquent, le taux moyen de variation de la fonction est de $\frac{16e^3-43}{24}$ entre les points $0\mathrm{and}\frac{3}{2}$.

Un bus parcourt une distance de 60 km entre son premier et son dernier arrêt. Le bus met environ 2 heures pour effectuer l'ensemble du trajet. Le chauffeur du bus dit qu'il a fait plusieurs arrêts entre les deux et qu'il a roulé à différentes vitesses à différents moments. Le chauffeur de bus doit indiquer la vitesse moyenne à laquelle il roulait afin que les autorités puissent être assurées qu'il roulait en moyenne en dessous de la limite de vitesse. La limite de vitesse est de 35 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne en dessous de cette limite ?

Solution :

Étape 1 : convertis les données données en informations mathématiques. Soit d la distance parcourue par le bus et t le temps nécessaire pour parcourir la distance.

Étape 2 : Trouve la variation de la distance nette parcourue : $\Delta d=60-0=60$ km. Et le temps nécessaire pour parcourir cette distance : $\Delta t=2hrs$.

Étape 3 : La vitesse moyenne d'un objet est donnée par le rapport entre la distance nette parcourue par le bus et le temps mis pour parcourir cette distance, donc :

$V_{av}=\frac{\Delta d}{\Delta t}$$=\frac{60}{2}\frac{km}{hr}$

$V_{av}=30km/hr$

Par conséquent, la vitesse moyenne à laquelle le conducteur roulait était de 30 km/h, ce qui est inférieur à la limite de vitesse moyenne de 35 km/h.