Le dîner est prévu une demi-heure après le film. Quand donc le dîner est-il prévu ? Impossible de le savoir, tu n'as pas assez d'informations ! Et si, par contre, on te dit que le film se termine à 18 heures ? Eh bien, tu sais alors probablement intuitivement que le dîner doit avoir lieu à six heures et demie. Tu viens de résoudre instinctivement un systèmelinéaire, et tu ne t'en es probablement même pas rendu compte !
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Un système linéaire est un groupe d'équations linéaires impliquant les mêmes variables. Il n'y a pas de limite au nombre d'équations qu'un système linéaire peut avoir.
Ces systèmes linéaires sont un aspect important des mathématiques, qui peuvent être utilisés pour décrire des scénarios du monde réel ainsi que des problèmes plus abstraits comme en algèbre linéaire. Dans cet article, tu apprendras à utiliser les équations linéaires pour construire des systèmes linéaires et à résoudre ces systèmes.
Considérons les équations etensemble, elles forment un système linéaire. En reportant chaque équation sur un graphique, nous pouvons obtenir un aperçu visuel du système linéaire dans son ensemble.
Exemple de système linéaire, John Hannah - StudySmarter Originals
Comment construire un système linéaire
Il arrive souvent que l'on nous présente un problème ou un scénario du monde réel qui est en fait un système linéaire. Si nous pouvons reconnaître qu'un système linéaire est décrit et que nous disposons des informations correctes, nous pouvons alors le construire en l'exprimant de façon algébrique. Prenons un exemple pour voir comment procéder.
Une femme achète des billets de concert pour ses trois enfants, ainsi qu'un billet adulte pour elle-même. Le coût total de ses billets est de Son ami achète un billet chacun pour lui et son épouse pour le même concert, ainsi que deux billets pour leurs enfants. Son ami a payé au total pour ses billets.
Solution :
Tout d'abord, comment reconnaître qu'il s'agit d'un système linéaire ? Eh bien, les observateurs peuvent remarquer qu'il y a deux variables dans le scénario, communes aux deux acheteurs : le coût d'un billet d'enfant et le coût d'un billet d'adulte. Après tout, un système linéaire n'est qu'un groupe d'équations linéaires impliquant les mêmes variables.
Maintenant, comment construire notre système linéaire à partir de ces informations ? Nous commençons par étiqueter chaque variable que nous avons discernée. Disons que x est le coût d'un billet pour un enfant, et que est le coût d'un billet pour adulte. À partir de là, nous construisons simplement deux équations à partir des informations ci-dessus.
Les informations qui nous ont été données indiquent que trois billets d'enfant et un billet d'adulte coûtent au total, donc...
De même, on nous dit que deux billets d'enfant et deux billets d'adulte coûtent au total, donc...
Et avec ces équations, nous venons de construire notre premier système linéaire !
Comment résoudre les systèmes linéaires
Les systèmes linéaires sont utiles parce qu'ils peuvent être résolus. Par exemple, ces solutions peuvent être utilisées pour savoir quand un coureur d'une course peut dépasser l'autre, ou combien ont été payés chacun pour une pomme et une banane au magasin.
La solution d'un système linéaire est l'attribution de valeurs à chaque variable de façon à ce que toutes les équations du système soient vraies. Sur un graphique, c'est le point où les lignes de toutes les équations se croisent.
Considérons le système linéaire que nous venons de construire concernant les billets de concert des adultes et des enfants.
La solution de ce système, présentée sous la forme d'une paire ordonnée, est la suivante. communique que le billet d'un enfant coûte et que le billet d'un adulte coûte Essaie d'introduire ces valeurs pour et pour prouver que les équations sont vraies.
Types de systèmes linéaires
Tout système linéaire peut être classé dans l'une des deux catégories suivantes en fonction du nombre de solutions qu'il possède ; on dit qu'il est cohérentou incohérent.
Un système linéaire est dit cohérent s'il possède une ou plusieurs solutions. De plus, un système linéaire dépendant a une infinité de solutions, et un système indépendant a une solution unique.
Le système linéaire suivant est dit cohérent et indépendant car il a une solution unique, qui est (1, 3). On peut dire que ce système a une solution car on voit clairement qu'il y a un point où les trois lignes se croisent.
Graphique d'un système linéaire cohérent et indépendant, John Hannah - StudySmarter Originals
Le système linéaire suivant est dit cohérent et dépendant, car il a un nombre infini de solutions. Lorsqu'il est représenté graphiquement, il apparaît comme une seule ligne, mais il y a deux équations dans ce système et elles sont égales en tout point.
Graphique d'un système linéaire cohérent et dépendant, John Hannah - StudySmarter
Un système linéaire est dit inconsistants'il n'a pas de solutions.
Le système linéaire suivant est dit incohérent car il n'a pas de solution. Nous pouvons dire que ce système n'a pas de solution car nous pouvons clairement voir qu'il n'y a pas de point où les trois lignes se croisent. C'est parce qu'il n'y a pas de valeurs deet pour lesquelles les trois équations sont vraies.
Graphique d'un système linéaire incohérent, John Hannah - StudySmarter Originals
Exemples de systèmes linéaires
Lesquels des éléments suivants sont des systèmes linéaires ?
(a)
(b)
(c)
(d)
Solutions :
(a ) Système non linéaire (b) Système linéaire (c ) Système linéaire (d) Système linéaire
Classe les systèmes linéaires suivants comme dépendants cohérents, indépendants cohérents ou incohérents.
(a)
Exemple de types de systèmes linéaires, John Hannah - StudySmarter Originals
(b)
Exemple de types de systèmes linéaires, John Hannah - StudySmarter Originals
(c)
Exemples de systèmes linéaires, John Hannah - StudySmarter Originals
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Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
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