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Systèmes Linéaires

Le dîner est prévu une demi-heure après le film. Quand donc le dîner est-il prévu ? Impossible de le savoir, tu n'as pas assez d'informations ! Et si, par contre, on te dit que le film se termine à 18 heures ? Eh bien, tu sais alors probablement intuitivement que le dîner doit avoir lieu à six heures et demie. Tu viens de résoudre instinctivement un système linéaire, et tu ne t'en es probablement même pas rendu compte !

C'est parti

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Last Updated: 01.01.1970
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Un système linéaire est un groupe d'équations linéaires impliquant les mêmes variables. Il n'y a pas de limite au nombre d'équations qu'un système linéaire peut avoir.

Ces systèmes linéaires sont un aspect important des mathématiques, qui peuvent être utilisés pour décrire des scénarios du monde réel ainsi que des problèmes plus abstraits comme en algèbre linéaire. Dans cet article, tu apprendras à utiliser les équations linéaires pour construire des systèmes linéaires et à résoudre ces systèmes.

Considérons les équations $y = x + 2$ et $y = 2 x + 1,$ ensemble, elles forment un système linéaire. En reportant chaque équation sur un graphique, nous pouvons obtenir un aperçu visuel du système linéaire dans son ensemble.

Systèmes linéaires, Exemple de graphique de systèmes linéaires, StudySmarter Exemple de système linéaire, John Hannah - StudySmarter Originals

Comment construire un système linéaire

Il arrive souvent que l'on nous présente un problème ou un scénario du monde réel qui est en fait un système linéaire. Si nous pouvons reconnaître qu'un système linéaire est décrit et que nous disposons des informations correctes, nous pouvons alors le construire en l'exprimant de façon algébrique. Prenons un exemple pour voir comment procéder.

Une femme achète des billets de concert pour ses trois enfants, ainsi qu'un billet adulte pour elle-même. Le coût total de ses billets est de $£ 100 .$ Son ami achète un billet chacun pour lui et son épouse pour le même concert, ainsi que deux billets pour leurs enfants. Son ami a payé $£ 120$ au total pour ses billets.

Solution :

Tout d'abord, comment reconnaître qu'il s'agit d'un système linéaire ? Eh bien, les observateurs peuvent remarquer qu'il y a deux variables dans le scénario, communes aux deux acheteurs : le coût d'un billet d'enfant et le coût d'un billet d'adulte. Après tout, un système linéaire n'est qu'un groupe d'équations linéaires impliquant les mêmes variables.

Maintenant, comment construire notre système linéaire à partir de ces informations ? Nous commençons par étiqueter chaque variable que nous avons discernée. Disons que x est le coût d'un billet pour un enfant, et que $y$ est le coût d'un billet pour adulte. À partir de là, nous construisons simplement deux équations à partir des informations ci-dessus.

Les informations qui nous ont été données indiquent que trois billets d'enfant et un billet d'adulte coûtent $£ 100$ au total, donc...

$3 x + y = 100$

De même, on nous dit que deux billets d'enfant et deux billets d'adulte coûtent $£ 120 in$ au total, donc...

$2 x + 2 y = 120$

Et avec ces équations, nous venons de construire notre premier système linéaire !

$3 x + y = 100$

$2 x + 2 y = 120$

Comment résoudre les systèmes linéaires

Les systèmes linéaires sont utiles parce qu'ils peuvent être résolus. Par exemple, ces solutions peuvent être utilisées pour savoir quand un coureur d'une course peut dépasser l'autre, ou combien ont été payés chacun pour une pomme et une banane au magasin.

La solution d'un système linéaire est l'attribution de valeurs à chaque variable de façon à ce que toutes les équations du système soient vraies. Sur un graphique, c'est le point où les lignes de toutes les équations se croisent.

Considérons le système linéaire que nous venons de construire concernant les billets de concert des adultes et des enfants.

$3 x + y = 100$

$2 x + 2 y = 120$

La solution de ce système, présentée sous la forme d'une paire ordonnée, est la suivante. $(20, 40). This$ communique que le billet d'un enfant coûte $£ 20,$ et que le billet d'un adulte coûte $£ 40 .$ Essaie d'introduire ces valeurs pour $x$ et $y$ pour prouver que les équations sont vraies.

$x = C h i l d' s t i c k e t = £ 20$

$y = A d u l t' s t i c k e t = £ 40$

Types de systèmes linéaires

Tout système linéaire peut être classé dans l'une des deux catégories suivantes en fonction du nombre de solutions qu'il possède ; on dit qu'il est cohérent ou incohérent.

Un système linéaire est dit cohérent s'il possède une ou plusieurs solutions. De plus, un système linéaire dépendant a une infinité de solutions, et un système indépendant a une solution unique.

Le système linéaire suivant est dit cohérent et indépendant car il a une solution unique, qui est (1, 3). On peut dire que ce système a une solution car on voit clairement qu'il y a un point où les trois lignes se croisent.

$\{\begin{cases} y = 4 x - 1 \\ y = x + 2 \\ y = 2 x + 1 \end{cases}$

Systèmes linéaires, systèmes linéaires graphique d'un système linéaire indépendant cohérent, StudySmarter Graphique d'un système linéaire cohérent et indépendant, John Hannah - StudySmarter Originals

Le système linéaire suivant est dit cohérent et dépendant, car il a un nombre infini de solutions. Lorsqu'il est représenté graphiquement, il apparaît comme une seule ligne, mais il y a deux équations dans ce système et elles sont égales en tout point.

$\{\begin{cases} y = x + 1 \\ y = x + 1 \end{cases}$

Systèmes linéaires, systèmes linéaires Graphique d'un système linéaire cohérent et dépendant, StudySmarter Graphique d'un système linéaire cohérent et dépendant, John Hannah - StudySmarter

Un système linéaire est dit inconsistant s'il n'a pas de solutions.

Le système linéaire suivant est dit incohérent car il n'a pas de solution. Nous pouvons dire que ce système n'a pas de solution car nous pouvons clairement voir qu'il n'y a pas de point où les trois lignes se croisent. C'est parce qu'il n'y a pas de valeurs de $x$ et $y$ pour lesquelles les trois équations sont vraies.

$\{\begin{cases} y = 4 x - 3 \\ y = x + 2 \\ y = 2 x + 1 \end{cases}$

Systèmes linéaires, systèmes linéaires Graphique d'un système linéaire incohérent, StudySmarter Graphique d'un système linéaire incohérent, John Hannah - StudySmarter Originals

Exemples de systèmes linéaires

Lesquels des éléments suivants sont des systèmes linéaires ?

(a)

$\{\begin{cases} y = 2 x + 4 \\ y = 3 x^{2} - 5 \\ y = 4 x + 3 \end{cases}$

(b)

$\{\begin{cases} y = 3 x + 1 \\ y = 5 x - 2 \\ y = x + 3 \end{cases}$

(c)

$\{\begin{cases} y = 3 \\ y = 4 x + 2 \\ y = x - 5 \end{cases}$

(d)

$\{\begin{cases} y = 4 x \\ y = x - 10 \\ y = 6 x + 3 \\ y = 2 x - 12 \\ y = 4 x + 12 \\ y = 3 x - 2 \end{cases}$

Solutions :

(a ) Système non linéaire (b) Système linéaire (c ) Système linéaire (d) Système linéaire

Classe les systèmes linéaires suivants comme dépendants cohérents, indépendants cohérents ou incohérents.

(a)

Systèmes linéaires, exemple de systèmes linéaires incohérents, StudySmarter Exemple de types de systèmes linéaires, John Hannah - StudySmarter Originals

(b)

Systèmes linéaires, exemple de systèmes linéaires cohérents, StudySmarter Exemple de types de systèmes linéaires, John Hannah - StudySmarter Originals

(c)

Systèmes linéaires, exemple de systèmes linéaires cohérents, StudySmarter Exemples de systèmes linéaires, John Hannah - StudySmarter Originals

Solutions :

(a ) Inconsistant (b ) Cohérent, indépendant (c ) Cohérent, dépendant

Systèmes linéaires - Points clés

Les systèmes linéaires sont des collections d'équations linéaires qui partagent les mêmes variables.
Il n'y a pas de limite au nombre d'équations ou de variables que ces systèmes linéaires peuvent contenir.
Si l'on dispose de suffisamment d'informations, il est possible de construire un système linéaire à partir d'un scénario du monde réel.
La solution d'un système linéaire est l'attribution de valeurs à chaque variable de sorte que toutes les équations du système soient vraies.
Un système linéaire peut avoir une solution, un nombre infini de solutions ou aucune solution.

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Questions fréquemment posées en Systèmes Linéaires

Qu'est-ce qu'un système linéaire en mathématiques?

Un système linéaire en mathématiques est un ensemble d'équations linéaires que l'on peut résoudre simultanément pour trouver les valeurs inconnues.

Comment résoudre un système linéaire?

Pour résoudre un système linéaire, on peut utiliser plusieurs méthodes comme la substitution, l'élimination de Gauss ou les matrices.

Quand un système linéaire a-t-il une solution unique?

Un système linéaire a une solution unique si les équations sont indépendantes et les lignes du coefficient ne sont pas parallèles.

Que signifie le déterminant d'une matrice dans un système linéaire?

Le déterminant d'une matrice dans un système linéaire indique si le système a une solution unique (déterminant non nul) ou pas (déterminant nul).

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