Séquences arithmétiques
Une suite arithmétique est une suite qui a une différence commune, ce qui signifie que la suite augmentera ou diminuera par une addition ou une soustraction constante. Elles se présentent comme suit :
3, 7, 11, 15, 19 ... Cette séquence a une différence commune de 4.
78, 72, 66, 60, 54 ... Cette suite a une différence commune de 6
5, 12, 19, 26, 33 ... Cette suite a une différence commune de 7
Il se peut que tu aies besoin de trouver un terme spécifique (nième terme) dans la suite et pour cela, tu peux utiliser cette formule ;
\[u_n = a + (n-1)d\]
un est le nième terme a est le premier terme d est la différence commune
Trouve le 50e terme de la suite suivante 4, 7, 10, 13, 16, 19 ...
Tout d'abord, tu dois identifier tes variables et les substituer dans la formule ;
n - 50
a - 4
d - 3
\[u_{50} = 4 + (50-1)3\]
Tu dois maintenant résoudre l'équation.
\[u_{50} = 4 + (50-1)3\]
\[u_{50} = 151\]
Séquences géométriques
Une suite géométrique est une suite qui a un rapport commun, la suite va soit augmenter, soit diminuer par une multiplication ou une division constante. Voici quelques exemples :
- 3, 9, 27, 81, 243 ... Cette séquence a un rapport commun de 3
- 9, 18, 36, 72, 144 ... Cette suite a un rapport commun de 2
- 4, 6, 9, 13.5, 20.25 ... Cette suite a un rapport commun de 1,5
On peut aussi te demander de trouver un terme spécifique de cette suite, voici la formule dont tu auras besoin ;
\N- [u_n = ar^{n-1}\N]
un est le nième terme a est le premier terme r est le rapport commun
Trouve le15e terme de cette suite 1, 2, 4, 8, 16...
Tu dois d'abord identifier tes variables et les substituer dans la formule ;
n - 15
a - 1
r - 2
\[u_{15} = (1)2^{15-1}\]
Maintenant, tu résous ton équation.
\[u_{15} = (1)2^{15-1}\]
\[u_{15} = 16384\]
Relations de récurrence
Tu es capable de trouver chaque terme de la suite si tu connais la règle qu'elle suit et le premier terme à l'aide d'une relation de récurrence. Tu peux utiliser chaque terme précédent pour t'aider à trouver le suivant, et la formule pour cela est la suivante ;
\[u_{n+1} = f(u_n)\]
Il se peut que l'on te donne cette fonction et que l'on te demande de trouver le premier nombre de termes. Voyons comment tu peux aborder ce type de question ;
Trouve les cinq termes suivants de la suite \(u_{n+1} = u_n + 3, u_1 = 7\).
Pour ce faire, tu dois substituer le nième terme dans la formule ;
terme 1 - \N(u_2 = u_1 +3\N) \N(u_2 = 7 + 3\N) \N(u_2 = 10\N)
terme 2 - \N-(u_3 = u_2 +3\N) \N-(u_3 = 10 + 3\N) \N-(u_3 = 13\N)
term 3 - \N-( u_4 = u_3 +3\N) \N-(u_4 = 13 + 3\N) \N- (u_4 = 16\N)
terme 4 - \N-(u_5 = u_4 +3\N) \N-(u_5 = 16 + 3\N) \N-(u_5 = 19\N)
terme 5 - \N-(u_6 = u_5 +3\N) \N-(u_6 = 19 + 3\N) \N-(u_6 = 122\N)
Séquences croissantes et décroissantes
Les séquences peuvent être décrites commecroissantes si chaque terme est plus élevé que le précédent, ce qui peut être illustré par \(u_{n+1} > u_n\). Elles peuvent être décrites comme décroissantes si chaque terme est inférieur au précédent, ce qui se traduit par \(u_{n+1} < u_n\). Une séquence peut également être décrite comme périodique si les termes de la séquence se répètent ou créent un cycle, ce qui peut être illustré par \(u_{n+k} = u_n\).
Exemple de suite croissante 7, 15, 23, 31, 39, 47
Exemple de suite décroissante 15, 10, 5, 0, -5, -10
Exemple de suite périodique 8, 9, 10, 8, 9, 10, 8, 9, 10
Comment modéliser des scénarios de la vie réelle avec des suites
Les séquences peuvent être utilisées pour modéliser de nombreux scénarios de la vie réelle, comme les économies et les salaires. Si le modèle augmente du même montant, il créera une suite arithmétique ; s'il augmente du même pourcentage, il créera une suite géométrique.
Une femme a 2000 livres sterling sur son compte d'épargne, et chaque mois, elle ajoute 200 livres sterling. Combien d'argent aurait-elle sur son compte d'épargne au bout d'un an ?
Décomposons la question. Tout d'abord, nous devons identifier le type de séquence dont il s'agit. Comme la constante augmente du même montant chaque mois, il s'agit d'une suite arithmétique. Ensuite, nous devons trouver la formule correcte à utiliser pour nous aider à trouver combien d'argent il y a sur le compte après 1 an, ce qui signifie que tu dois trouver le 12e terme ;
\N- [u_n = a + (n-1)d\N]
Ensuite, tu dois remplacer les informations que tu connais par les suivantes
a - 2000
n - 12
d - 200
\[u_{12} = 2000 + (12-1)200\]
Résous maintenant l'équation que tu as créée.
\[u_{12} = 2000 + (12-1)200\]
\[u_{12} = 4200\]
Tu sais maintenant que la femme aura 4200 £ sur son compte d'épargne après 12 mois.
Séquences - points clés à retenir
Une suite est un ensemble de nombres qui suivent une règle et un ordre spécifiques.
Il existe deux types de séquences, les séquences arithmétiques et les séquences géométriques.
Une séquence arithmétique augmente et diminue par addition et soustraction.
Une suite géométrique augmente et diminue par multiplication et division.
Tu peux utiliser une formule pour trouver un terme spécifique dans la suite.
Les suites peuvent être utilisées pour modéliser des scénarios de la vie réelle.
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