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Soustraction et Addition de Fractions

Supposons que tu aies terminé une fraction de tes devoirs hier et une autre fraction aujourd'hui. Il devrait y avoir un moyen de calculer la part restante de tes devoirs et la part totale que tu as faite, n'est-ce pas ? Tu peux effectuer des opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division sur les fractions comme sur les nombres entiers ! Dans cet article, nous allons voir exactement comment effectuer la soustraction et l'addition de fractions.

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Last Updated: 01.01.1970
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Règles et étapes : Addition et soustraction de fractions

Une fraction est un nombre exprimé sous forme de quotient. De nombreux nombres sont représentés de cette façon, et cela signifie que ce ne sont pas des entiers entiers. Le quotient est composé d'un nombre supérieur, le numérateur, sur un nombre inférieur, le dénominateur.

Comme tu peux le voir ci-dessous, le numérateur se trouve au sommet d'une ligne horizontale sous laquelle se trouve le dénominateur. En mathématiques, cette ligne horizontale équivaut à un symbole de division. Par conséquent, la fraction représente simplement le nombre du haut (le numérateur) divisé par le nombre du bas (le dénominateur).

$Notions de fractions, fraction en tant que quotient, numérateurs et dénominateurs, StudySmarter$ Exemple de fraction, avec indication du numérateur et du dénominateur - StudySmarter Originals

Fractions avec le même dénominateur

Lors de l'addition et de la soustraction de fractions, il y a une règle importante à garder à l'esprit : Si les fractions à ajouter ou à soustraire ont les mêmes dénominateurs, leurs numérateurs peuvent être ajoutés ou soustraits tout en gardant le dénominateur constant. Cette règle est la base de toutes les opérations d'addition et de soustraction sur les fractions.

Illustrons ce processus de façon un peu plus détaillée. Supposons que nous voulions calculer $\frac{5}{9} - \frac{4}{9}$ . Comme les dénominateurs sont identiques, nous pouvons simplement effectuer la soustraction sur les numérateurs tout en gardant le dénominateur constant (c'est-à-dire, dénominateur = 9). En d'autres termes, nous effectuons 5 - 4 = 1 sur les numérateurs. La réponse finale est $\frac{1}{9 .}$ Les étapes peuvent être écrites comme suit :

$\frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5 - 4}{9} = \frac{1}{9}$

Fractions avec des dénominateurs différents

Avant d'additionner ou de soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, nous devons manipuler les fractions pour qu'elles aient les mêmes dénominateurs. Pour ce faire, nous devons d'abord trouver le plus petit dénominateur commun (PDC).

Le plus petit dénominateur commun (PDC) de deux fractions est le plus petit dénominateur possible qui peut être partagé par chaque fraction, tout en gardant la même valeur numérique pour chaque fraction.

Pour trouver le plus petit dénominateur commun de deux fractions, il est important de s'assurer que chaque fraction est sous sa forme la plus simplifiée. Cela signifie qu'il faut s'assurer que tous les facteurs communs au numérateur et au dénominateur ont été éliminés. L'étape suivante consiste à considérer ou à énumérer tous les multiples de chaque dénominateur. Nous pouvons alors choisir le plus petit multiple partagé par les deux listes. C'est le plus petit dénominateur commun ! Examinons de plus près ce processus dans l'exemple suivant.

Trouve le plus petit dénominateur commun des fractions $\frac{32}{64}$ et $\frac{7}{10} .$

1. Assure-toi que chaque fraction est sous sa forme la plus simplifiée.

La première fraction que nous voyons n'est pas sous sa forme la plus simplifiée. Nous pouvons simplifier cette fraction en enlevant un facteur de 32 en haut et en bas.

$\frac{32}{64} = \frac{32 (1)}{32 (2)} = \frac{1}{2}$

La deuxième fraction est déjà dans sa forme la plus simplifiée, car il n'y a pas de facteurs qui peuvent être enlevés en haut et en bas. Il nous reste donc les fractions $\frac{1}{2}$ et $\frac{7}{10} .$

2. Énumère les multiples de chaque dénominateur.

Les multiples de 2 sont : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14...

Les multiples de 10 sont : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70...

Nous pouvons voir dans chacune de ces listes que 10 est le plus petit multiple commun aux deux dénominateurs. Il s'agit donc du plus petit dénominateur commun.

Après avoir trouvé l'ACL, la procédure suivante peut être utilisée pour additionner ou soustraire des fractions dont les dénominateurs ne sont pas identiques :

Étape 1 : Définis le dénominateur de chaque terme avec le plus petit dénominateur commun (PDC).

Étape 2 : Règle le numérateur de chaque terme à $(o r i g i n a l n u m e r a t o r) \times \frac{L C M o f d e n o m i n a t o r s}{O r i g i n a l d e n o m i n a t o r}$ .

Étape 3 : Maintenant que tous les dénominateurs sont identiques, tu peux additionner ou soustraire les termes du numérateur pour obtenir ta réponse.

Additionne les fractions $\frac{32}{64}$ et $\frac{7}{10} .$

D'après notre exemple précédent, nous savons que le plus petit multiple commun de $\frac{32}{64}$ et $\frac{7}{10}$ est 10.

1. Définis le dénominateur de chaque terme avec le plus petit dénominateur commun (PDC).

$\frac{a}{10}$ et $\frac{b}{10}$

2. Fixe le numérateur de chaque terme à $(o r i g i n a l n u m e r a t o r) \times \frac{L C M o f d e n o m i n a t o r s}{O r i g i n a l d e n o m i n a t o r} .$

$a = 32 \times \frac{10}{64} = 5$

Comme le dénominateur original de la deuxième fraction était déjà 10, son numérateur n'a pas besoin d'être converti.

Les fractions restantes sont $\frac{5}{10}$ et $\frac{7}{10} .$

3. Maintenant que tous les dénominateurs sont identiques, tu peux additionner les termes du numérateur pour obtenir la réponse.

$\frac{5}{10} + \frac{7}{10} = \frac{5 + 7}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Cet exemple utilise une façon plus longue d'effectuer le calcul ; cependant, une fois que tu as compris les bases, il peut être beaucoup plus simple d'effectuer le calcul de cette façon :

$\frac{1 \times 5}{2 \times 5} + \frac{7}{10} = \frac{5}{10} + \frac{7}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Exemples d'addition et de soustraction de fractions

(1) Évaluer

$\frac{5}{3} - \frac{7}{3}$

Solution :

Puisque les dénominateurs sont les mêmes, nous pouvons directement soustraire les numérateurs.

$\frac{5}{3} - \frac{7}{3} = \frac{5 - 7}{3} = - \frac{2}{3}$

(2) Évaluer

$\frac{25}{18} + \frac{14}{12}$

Solution :

Le LCM des dénominateurs (18 et 12) est 36. Donc ,

$\frac{25}{18} + \frac{14}{12} = \frac{25 \times 2 + 3 \times 14}{36} = \frac{92}{36} = \frac{23}{9} (simplest form)$

(3) Évaluer

$\frac{13}{20} - \frac{6}{12} + \frac{51}{30} - \frac{2}{3}$

Solution :

Le LCM des dénominateurs (20, 12, 30 et 3) est 60.

$\frac{13}{20} - \frac{6}{12} + \frac{51}{30} - \frac{2}{3} = \frac{13 \times 3 - 6 \times 5 + 51 \times 2 - 2 \times 30}{60} = \frac{51}{60} = \frac{17}{20}$

Pour ajouter ou soustraire des fractions mixtes, il faut d'abord les convertir en fractions impropres, puis continuer avec le processus standard.

Addition et soustraction de fractions mixtes

Une fraction mixte est un nombre qui est représenté par un nombre entier et un quotient, par ex. $5 \frac{3}{4} .$

Pour ajouter et soustraire des fractions mixtes, il faut les convertir en fractions impropres. Ensuite, nous pouvons effectuer le processus standard d'addition et de soustraction de fractions, comme nous le faisions auparavant. Une fraction impropre est une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal à son dénominateur.

Pour convertir une fraction mixte en fraction impropre, nous devons convertir la partie entière de la fraction mixte en une fraction ayant le même dénominateur que la partie quotient. Ensuite, il suffit de les additionner. Prenons un exemple.

Convertis la fraction mixte suivante en une fraction impropre.

$5 \frac{3}{4}$

Solution :

1. Convertis la partie entière de la fraction impropre en une fraction ayant le même dénominateur que la partie quotient.

$5 = \frac{5 \times 4}{4} = \frac{20}{4}$

2. Ajoute cette nouvelle fraction à la partie quotient de la fraction mixte d'origine pour obtenir la fraction impropre.

$\frac{20}{4} + \frac{3}{4} = \frac{23}{4}$

Et c'est ainsi que nous obtenons le résultat :

$5 \frac{3}{4} = \frac{23}{4}$

Évaluer

$4 \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - 3 \frac{5}{12}$

Solution :

En convertissant les fractions mixtes en fractions impropres, nous obtenons :

$4 \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - 3 \frac{5}{12} = \frac{13}{3} + \frac{1}{4} - \frac{41}{12}$

Le LCM des dénominateurs (3, 4 et 12) est 12.

$\frac{13}{3} + \frac{1}{4} - \frac{41}{12} = \frac{13 \times 4 + 1 \times 3 - 41 \times 1}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$

Addition et soustraction de fractions positives et négatives

Comme tous les autres nombres que tu rencontreras, les fractions peuvent être positives ou négatives. Heureusement, les règles d'addition et de soustraction des fractions positives et négatives sont les mêmes que pour n'importe quel autre nombre ! Prenons quelques exemples pour voir comment cela fonctionne.

(1) Évalue

$\frac{3}{4} - \frac{- 1}{4}$

Solution :

Soustraire un négatif revient à faire une addition. Notre somme devient donc :

$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(2) Évaluer

$- \frac{23}{19} + \frac{54}{19}$

Solution :

Puisque ajouter un négatif est la même chose que soustraire, notre somme devient :

$\frac{54}{19} - \frac{23}{19} = \frac{54 - 23}{19} = \frac{31}{19}$

(3) Évaluer

$\frac{- 12}{5} - \frac{3}{5}$

Solution :

Lorsque l'on soustrait un négatif d'un négatif, on additionne les nombres mais on garde le signe négatif. Ainsi ,

$\frac{- (12 + 3)}{5} = \frac{- 15}{5} = - 3$

Addition et soustraction de fractions décimales

Les fractions décimales sont des fractions dont le dénominateur est un multiple de dix, par ex. $\frac{26}{100}$ .

Les fractions décimales s'ajoutent et se soustraient de la même façon que les autres fractions abordées précédemment. Elles doivent d'abord être converties en une forme avec le plus petit dénominateur commun, puis les numérateurs peuvent être ajoutés ou soustraits selon les besoins. Ce qui est bien avec l'addition et la soustraction de fractions décimales, c'est que le plus petit dénominateur commun est toujours le plus grand dénominateur de la somme ! Voyons d'autres exemples.

(1) Évalue

$\frac{5}{10} + \frac{23}{100}$

Solution :

Tout d'abord, nous convertissons chacune des fractions au plus petit dénominateur commun, qui, nous le voyons, est 100.

$\frac{5}{10} + \frac{23}{100} = \frac{10 \times 5}{10 \times 10} + \frac{23}{100} = \frac{50}{100} + \frac{23}{100}$

Ensuite, nous effectuons l'addition.

$\frac{50}{100} + \frac{23}{100} = \frac{50 + 23}{100} = \frac{73}{100}$

(1) Évalue

$\frac{234}{1000} - \frac{32}{100}$

Solution :

Tout d'abord, nous convertissons chacun d'eux au plus petit dénominateur commun, qui est, on le voit, 1000.

$\frac{234}{1000} - \frac{32}{100} = \frac{234}{1000} - \frac{32 \times 10}{100 \times 10} = \frac{234}{1000} - \frac{320}{1000}$

Puis nous effectuons la soustraction.

$\frac{234}{1000} - \frac{320}{1000} = \frac{234 - 320}{1000} = \frac{- 86}{1000}$

Soustraction et addition de fractions - Principaux enseignements

Si les fractions à ajouter ou à soustraire ont les mêmes dénominateurs, leurs numérateurs peuvent simplement être ajoutés ou soustraits tout en gardant le dénominateur constant.
Si nous devons ajouter ou soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, nous manipulons d'abord les fractions pour qu'elles aient finalement les mêmes dénominateurs.
Pour additionner ou soustraire des fractions mixtes, il faut d'abord les convertir en fractions impropres.
L'addition et la soustraction de fractions positives et négatives s'effectuent de la même manière que pour n'importe quel autre nombre.

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Questions fréquemment posées en Soustraction et Addition de Fractions

Comment additionner des fractions avec des dénominateurs différents ?

Pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents, trouvez un dénominateur commun, puis ajustez les fractions afin qu'elles aient ce même dénominateur avant de les additionner.

Comment soustraire des fractions avec des dénominateurs différents ?

Pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, trouvez un dénominateur commun, ajustez les fractions à ce dénominateur, puis effectuez la soustraction.

Comment simplifier une fraction après une addition ou une soustraction ?

Pour simplifier une fraction après une addition ou une soustraction, divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

Pourquoi il est nécessaire de trouver un dénominateur commun ?

Trouver un dénominateur commun permet de rendre les fractions comparables et facilite les opérations d'addition et de soustraction.

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