Simplification des radicaux: Maths, Algèbre

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Qu'est-ce qu'un radical ?

Un radical est une expression mathématique contenant une racine et est désigné par $\sqrt[n]{x} = y$ . Prendre la racine d'un nombre est l'opération inverse de l'application d'un exposant, en ce sens que

$If \sqrt[n]{x} = y, then y^{n} = x$

Dans cette expression, n est appelé l'indice de la racine, et x est appelé le radicande.

L'indice n d'une racine peut être n'importe quel entier positif (1, 2, 3, 4...), et donne le nom au radical :

Si $n = 1$ on a la racine triviale $\sqrt[1]{x} = x$ .
Si $n = 2$ , $\sqrt[2]{x}$ est appelée racine carrée de x. Souvent, l'indice 2 est omis, et l'on écrit simplement $\sqrt{x}$ . La racine carrée d'un nombre x est un nombre y qui, élevé à la puissance 2, donne x :

$If \sqrt{x} = y, then y^{2} = x$

Si $n = 3$ , $\sqrt[3]{x}$ La racine cubique d'un nombre x est le nombre y qui, élevé à la puissance 3, donne x :

$If \sqrt[3]{x} = y, then y^{3} = x$

Quel nombre y élevé à la puissance 3 donne 8 ? En d'autres termes, résous l'équation

$y^{3} = 8$

Solution :

Pour cela, tu dois appliquer la racine cubique à cette expression pour trouver la valeur de y :

$y^{3} = 8 \sqrt[3]{y^{3}} = \sqrt[3]{8} y = 2$

puisque $2^{3} = 8$

Comme tu peux le voir, les exposants et les radicaux s'annulent. Cela vaut pour n'importe quel exposant, et c'est la règle pratique la plus utile que tu dois garder à l'esprit. Prenons un autre exemple avec une racine carrée :

Pour résoudre $x^{2} = 25$ applique la racine carrée pour trouver la valeur de x :

Solution :

$x^{2} = 25 \sqrt{x^{2}} = \sqrt{25} x = 5$

depuis $5^{2} = 25$

Les exposants et les radicaux s'annulent mutuellement. C'est la règle pratique la plus utile que tu dois garder à l'esprit !

Que signifie "simplifier les radicaux" ?

Simplifier les radicaux signifie les réécrire de la manière la plus simple et la plus fondamentale possible .

Parfois, tu pourras te débarrasser complètement du symbole du radical : par exemple, jette un coup d'œil à l'exemple suivant

$\sqrt{9} = 3$

Sur le côté gauche, nous avons une expression radicale, tandis que sur le côté droit, il s'agit d'un nombre entier. Ces deux expressions sont égales, mais celle de droite est plus simple, car elle ne contient pas de radicaux.

Dans d'autres circonstances, tu auras toujours un radical, mais sous une forme plus simple que celle avec laquelle tu as commencé. Par exemple, considère

$\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

Ce n'est peut-être pas évident au premier coup d'œil, mais dans ce cas aussi, les expressions du côté gauche et du côté droit sont égales. La différence est que l'expression du côté droit est simplifiée.

Après avoir lu cet article, il te sera facile d'effectuer ce genre de simplification ; maintenant, pour voir que ces deux expressions sont effectivement les mêmes, élève-les toutes les deux à la puissance deux :

$\begin{array}{rc} {(\sqrt{8})}^{2} & = & 8 \\ {(2 \sqrt{2})}^{2} & = & 2^{2} {(\sqrt{2})}^{2} = 4 \cdot 2 = 8 \end{array}$

Dans les deux cas, on obtient 8, ce qui montre que ces deux expressions sont les mêmes.

Comment simplifier les radicaux ?

Pour effectuer les manipulations nécessaires à la simplification des radicaux, tu dois connaître les propriétés des radicaux.

Propriétés des radicaux

Les propriétés des radicaux sont des règles algébriques qui t'aident à manipuler les radicaux avec les opérations de base que sont la somme, la différence, le produit et le quotient. Jette un coup d'œil à l'article sur les puissances, racines et radicaux pour les rafraîchir ! En particulier, tu dois garder à l'esprit la règle du produit et la règle du quotient des radicaux :

Propriété du produit : multiplication des radicaux

Tant que l'indice des racines est le même, tu peux multiplier des radicaux avec des nombres différents à l'intérieur de la racine en les combinant simplement en une racine et en multipliant les nombres à l'intérieur de la racine. De même, tu peux diviser une racine en plusieurs racines distinctes à l'aide de facteurs.

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a . b}$

Propriété du quotient : division des radicaux

De même, tant que l'indice des racines est le même, tu peux diviser des radicaux avec des nombres différents à l'intérieur de la racine en les combinant en une seule racine et en divisant les nombres à l'intérieur de la racine.

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

Les 3 règles pour simplifier les radicaux

Les trois règles suivantes doivent être respectées pour qu'un radical soit entièrement simplifié :

Il n'y a pas de carrés parfaits (à l'exception de 1) dans le radicande.
Il n'y a pas de fractions dans le radicande.
Il n'y a pas de radicaux au dénominateur d'une fraction.

Erreurs courantes dans la simplification des radicaux

Il est important de pouvoir déterminer si un radical est simplifié ou non, selon les règles ci-dessus :

Le radical $\sqrt{9}$ est-il simplifié ?

La réponse est Non: le radicande contient un carré parfait, 9, donc selon la règle 1, le radical n'est pas simplifié.

Le radical $\sqrt{\frac{1}{3}}$ est-il simplifié ?

La réponse est à nouveau Non: le radicande contient une fraction, donc selon la règle 2, le radical n'est pas simplifié.

Le radical $\frac{1}{\sqrt{3}}$ est-il simplifié ?

La réponse est à nouveau Non: il y a un radical au dénominateur de la fraction, donc selon la règle 3, le radical n'est pas simplifié.

Voyons enfin comment manipuler et simplifier les radicaux en utilisant les propriétés des radicaux, afin que les trois règles pour simplifier les radicaux se vérifient !

Exemples de simplification de radicaux étape par étape

Simplifie le radical suivant : $\sqrt{\frac{20}{9}}$ .

Solution :

Le radicande contient une fraction, donc selon la règle 2. Nous devons nous en débarrasser. Pour ce faire, utilise la propriété du quotient pour réécrire ce radical sous la forme suivante $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{9}}$ .

Nous devons maintenant simplifier séparément le numérateur et le dénominateur.

Pour simplifier le numérateur, nous devons utiliser la propriété du produit pour isoler les carrés parfaits, de sorte que la règle 1 soit respectée. Note que $20 = 4 \cdot 5$ Le numérateur peut donc être réécrit sous la forme suivante

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$

Passons maintenant au dénominateur : la racine carrée de 9 est 3, nous pouvons donc nous débarrasser du radical dans le dénominateur de la fraction, ce qui satisfait à la règle 3.

$\sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$

Ces propriétés peuvent également être utilisées dans l'autre sens, pour exprimer deux radicaux en termes d'un radical, à condition que l'indice des racines soit le même. Prends l'expression $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}$ . Elle peut être réécrite sous la forme $\sqrt{6 \cdot 6} = \sqrt{36} = 6$ .

L'astuce pour simplifier les radicaux au dénominateur

Dans le cas précédent, le dénominateur était un carré parfait. Lorsque ce n'est pas le cas, il est très important d'utiliser cette astuce pour se débarrasser des radicaux au dénominateur des fractions :

Multiplie le numérateur et le dénominateur par le radical apparaissant au dénominateur.

Simplifie le radical suivant: $\frac{2}{\sqrt{3}}$

Solution :

La règle 3 est violée puisqu'il y a un radical au dénominateur. Ce radical ne peut pas être simplifié directement, car 3 n'est pas un carré parfait. Il faut donc multiplier le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{3}$ :

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{9}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Magique ! Le radical au dénominateur a disparu, mission accomplie.

Voyons tous ces exemples en action dans d'autres exemples :

Simplifie le radical suivant: $\sqrt[3]{\frac{24}{125}}$

Solution :

En utilisant la propriété du quotient, nous pouvons diviser ce radical en une fraction avec deux racines cubiques

$\sqrt[3]{\frac{24}{125}} = \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{125}}$

Maintenant, le dénominateur de cette fraction est égal à 5, puisque $5^{3} = 125$ .

Qu'en est-il du numérateur ? Pour le simplifier, utilise la propriété du produit pour le diviser et isoler un cube parfait :

$\frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3}}{5}$

Nous savons que $\sqrt[3]{8} = 2$ Le résultat final est donc

$\sqrt[3]{\frac{24}{125}} = \frac{2 \sqrt[3]{3}}{5}$

Les radicaux suivants sont-ils entièrement simplifiés ? Si ce n'est pas le cas, simplifie-les davantage.

a) $\sqrt[3]{30}$

b) $\sqrt{8}$

c) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

d) $\sqrt{\frac{9}{16}}$

Solutions :

a) Le radical obéit aux trois règles et ne peut pas être simplifié davantage. Il est entièrement simplifié.

b) Un carré parfait est présent dans le radicande en tant que $8 = 2 \cdot 4$ et 4 est un carré parfait, il faut donc le simplifier davantage : $\sqrt{8} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ .

c) Il y a un radicande au dénominateur d'une fraction, donc cette expression n'est pas entièrement simplifiée. Pour se débarrasser de ce radicande, il faut multiplier le haut et le bas de la fraction par le même radicande, $\sqrt{3}$ . Ce qui donne $\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Cette expression est maintenant entièrement simplifiée.

d) Il y a une fraction à l'intérieur du radicande, tu dois donc utiliser la propriété du quotient pour la séparer :

$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$

Simplifier les radicaux avec des variables et des exposants

Pour simplifier des radicaux avec des variables et des exposants, tu peux suivre les étapes suivantes :

Identifie l'indice de la racine et les exposants de chaque variable du radicande.
Si l'exposant d'une variable du radicande est supérieur ou égal à l'indice de la racine, divise l'exposant par l'indice pour déterminer combien de fois l'indice entre dans l'exposant.
En utilisant le résultat de la division de l'étape 2, écris la variable (à l'extérieur du radical) avec le quotient de la division comme exposant, et si le reste est supérieur à zéro, écris la variable (à l'intérieur du radical) avec le reste comme exposant.
Répète les étapes 2 et 3 pour chaque variable du radicande.

Comme la valeur des variables peut être positive, négative ou nulle, nous devons parfois utiliser la valeur absolue lorsque nous simplifions des radicaux avec des variables. C'est le cas lorsque l'indice de la racine est pair et que l'exposant de la variable est impair après sa sortie du radical.

x3xyPar exemple, si l'on simplifie $\sqrt{x^{7} y}$ , le résultat est $|x^{3}| \sqrt{x y}$

Pour éviter d'utiliser les valeurs absolues, nous pouvons supposer que toutes les variables sont positives.

Voyons cela plus clairement avec quelques exemples, en supposant que toutes les variables sont positives.

a) Simplifie $\sqrt[3]{x^{3} y^{15} z^{20}}$

Solution :

Étape 1 : Dans cet exemple, nous avons une racine cubique, car l'indice est 3. Nous avons 3 variables x , y et z, et leurs exposants correspondants sont 3, 15 et 20.

Étapes 2 et 3:

L'exposant de la variable x est 3, ce qui est égal à l'indice 3. Par conséquent, nous pouvons diviser l'exposant par l'indice.

$3 \div 3 = 1, w i t h a r e m a i n d e r o f 0$

On peut écrire x à l'extérieur du radical avec un exposant de 1, ce qui revient à écrire x, et rien à l'intérieur du radical $\Rightarrow x \sqrt[3]{}$

L'exposant de la variable y est 15, ce qui est supérieur à l'indice 3. On peut donc diviser l'exposant par l'indice.

$15 \div 3 = 5, w i t h a r e m a i n d e r o f 0$

On peut écrire y à l'extérieur du radical avec un exposant de 5, et rien à l'intérieur du radical. $\Rightarrow x y^{5} \sqrt[3]{}$

L'exposant de la variable z est 20, ce qui est supérieur à l'indice 3. Par conséquent, nous pouvons diviser l'exposant par l'indice.

$20 \div 3 = 6, w i t h a r e m a i n d e r o f 2$

On peut écrire z à l'extérieur du radical avec un exposant de 6, et z avec un exposant de 2 à l'intérieur du radical. $\Rightarrow x y^{5} z^{6} \sqrt[3]{z^{2}}$

Ainsi, le radical entièrement simplifié est :

$\sqrt[3]{x^{3} y^{15} z^{20}} = x y^{5} z^{6} \sqrt[3]{z^{2}}$

b) Simplifie $\sqrt{18 x^{7} y^{8} z}$

Solution :

Étape 1 : Dans cet exemple, nous avons une racine carrée, car l'indice est 2. Nous avons 3 variables x , y et z, et leurs exposants correspondants sont 7, 8 et 14.

Nous avons également le nombre 18 à l'intérieur du radical. En isolant les carrés parfaits, on peut dire que $18 = 9 \cdot 2$ On peut donc écrire $\sqrt{18}$ comme $\sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ . Par conséquent, nous pouvons écrire 3 à l'extérieur du radical et 2 reste à l'intérieur. Concentrons-nous maintenant sur les variables.

Étapes 2 et 3:

L'exposant de la variable x est 7, ce qui est supérieur à l'indice 2. Par conséquent, nous pouvons diviser l'exposant par l'indice.

$7 \div 2 = 3, w i t h a r e m i n d e r o f 1$

Nous pouvons écrire x à l'extérieur du radical avec un exposant de 3, et x avec un exposant de 1 à l'intérieur du radical $\Rightarrow 3 x^{3} \sqrt{2 x}$

L'exposant de la variable y est 8, ce qui est supérieur à l'indice 2. Par conséquent, nous pouvons diviser l'exposant par l'indice.

$8 \div 2 = 4, w i t h a r e m i n d e r o f 0$

On peut écrire y à l'extérieur du radical avec un exposant de 4, et rien à l'intérieur du radical $\Rightarrow 3 x^{3} y^{4} \sqrt{2 x}$

L'exposant de la variable z est 1, ce qui est inférieur à l'indice 2. Par conséquent, nous la laissons à l'intérieur du radical $\Rightarrow 3 x^{3} y^{4} \sqrt{2 x z}$

Notre réponse finale dans ce cas est :

$\sqrt{18 x^{7} y^{8} z} = 3 x^{3} y^{4} \sqrt{2 x z}$

Comme nous supposons que toutes les variables sont positives, nous n'avons pas besoin d'utiliser la valeur absolue.

Si le radical contient une fraction avec des variables et des exposants dans le radicande, tu dois alors utiliser la propriété de division des exposants sur la même base $(x^{a} \div x^{b} = x^{a - b})$ pour simplifier les variables ayant la même base au numérateur et au dénominateur de la fraction.

Simplifie $\sqrt[3]{\frac{8 x^{10} y^{5}}{x^{3} y^{2}}}$

Solution :

Étape 1 : Dans cet exemple, nous avons une racine cubique, car l'indice est 3. Nous avons le nombre 8 à l'intérieur de la racine cubique, mais nous savons que $\sqrt[3]{8} = 2$ Nous pouvons donc écrire 2 à l'extérieur du radical. $\Rightarrow 2 \sqrt[3]{}$

Nous avons également 2 variables x et y. Cependant, les deux variables apparaissent au numérateur et au dénominateur de la fraction.

En utilisant la propriété de division de la même base, nous obtenons ce qui suit :

$2 \sqrt[3]{x^{10 - 3} y^{5 - 2}} = 2 \sqrt[3]{x^{7} y^{3}}$

Nous pouvons maintenant nous concentrer sur la simplification des variables.

Étapes 2 et 3 :

L'exposant de la variable x est 7, ce qui est supérieur à l'indice 3. Par conséquent, nous pouvons diviser l'exposant par l'indice.

$7 \div 3 = 2, w i t h a r e m a i n d e r o f 1$

Nous pouvons écrire x à l'extérieur du radical avec un exposant de 3, et x avec un exposant de 1 à l'intérieur du radical

$\Rightarrow 2 x^{2} \sqrt[3]{x}$

L'exposant de la variable y est 3, ce qui est égal à l'indice 3. Par conséquent, nous pouvons diviser l'exposant par l'indice.

$3 \div 3 = 1, w i t h a r e m a i n d e r o f 0$

Nous pouvons écrire y à l'extérieur du radical avec un exposant de 1, ou juste y, et rien à l'intérieur du radical $\Rightarrow 2 x^{2} y \sqrt[3]{x}$

Le radical entièrement simplifié est :

$\sqrt[3]{\frac{8 x^{10} y^{5}}{x^{3} y^{2}}} = 2 x^{2} y \sqrt[3]{x}$

Simplifier les radicaux négatifs

Jusqu'à présent, nous t'avons montré comment simplifier les radicaux avec des radicandes positifs, mais que faire si le radicande est négatif? La façon de procéder dans ce cas dépend du fait que l'indice de la racine est pair ou impair. Voyons chaque cas plus en détail avec quelques exemples.

Si l'indice n de la racine est pair (c'est-à-dire 2, 4, 6, ...), et que le radicande est négatif, alors il n'y a pas de solution réelle . Les nombres imaginaires sont nécessaires dans ce cas. Seuls les radicandes positifs peuvent être simplifiés à l'aide des étapes déjà mentionnées dans cet article lorsque l'indice de la racine est pair.

$\sqrt{- 25} \neq - 5$ Pas de solution réelle!

Pour pouvoir simplifier les radicaux à indice pair et à radicande négatif, nous devons utiliser des nombres imaginaires. Pour ce faire, nous disons que $\sqrt{- 1} = i$ .

En règle générale, on a :

$\sqrt{- a} = \sqrt{- 1 \cdot a} = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{a} = i \cdot \sqrt{a} = i \sqrt{a}$

Tu peux aussi écrire le résultat dans l'autre sens, $i \sqrt{a} = \sqrt{a} i$ .

a) Simplifie $\sqrt{- 25}$

$\sqrt{- 25} = \sqrt{- 1 \cdot 25} = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25} = i \cdot 5 \sqrt{- 25} = 5 i$

b) Simplifie $\sqrt{- 50}$

\sqrt{- 50} = \sqrt{- 1 \cdot 50} = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{50}

Dans ce cas, nous devons utiliser la propriété du produit pour isoler les carrés parfaits. Note que, $50 = 25 \cdot 2$ , donc $\sqrt{50}$ peut être réécrite sous la forme $\sqrt{25 \cdot 2}$ . Nous remplaçons également $\sqrt{- 1}$ par $i .$

= i \cdot \sqrt{25 \cdot 2} = i \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = i \cdot 5 \cdot \sqrt{2} \sqrt{- 50} = 5 i \sqrt{2} = 5 \sqrt{2} i

Si l'indice n de la racine est impair (c'est-à-dire 3, 5, 7, ...), et que le radicande est négatif, alors il existe une solution réelle. Les racines impaires de radicandes négatifs peuvent être simplifiées à l'aide de nombres réels.

a) Simplifie $\sqrt[3]{- 8}$

Solution :

$\sqrt[3]{- 8} = - 2$

Puisque ${(- 2)}^{3} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8$

Lorsque tu multiplies trois fois un nombre négatif par lui-même, le résultat est également négatif.

Par conséquent, tu peux en fait simplifier la racine cubique des nombres négatifs à l'aide de nombres réels !

b) Simp lifier $\sqrt[3]{- 27}$

Solution :

$\sqrt[3]{- 27} = - 3$

Puisque ${(- 3)}^{3} = (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = - 27$

Simplifier les radicaux - Principaux enseignements

Un radical est une expression mathématique contenant une racine de la forme $\sqrt[n]{x}$ .
Simplifier les radicaux signifie les réécrire de la manière la plus simple et la plus fondamentale possible.
Les radicaux peuvent être simplifiés en utilisant les propriétés du produit ou du quotient.
Les trois règles suivantes doivent être respectées pour qu'un radical soit entièrement simplifié : 1) Pas de carré parfait dans le radicande, 2) Pas de fractions dans le radicande, et 3) Pas de radicaux au dénominateur d'une fraction.
Pour se débarrasser des radicaux au dénominateur des fractions : Multiplie le numérateur et le dénominateur par le radical apparaissant au dénominateur.
Lorsque tu simplifies des radicaux avec des variables et des exposants, suppose que toutes les variables sont positives pour éviter d'utiliser des valeurs absolues.
Lors de la simplification de radicaux négatifs, si l'indice de la racine est pair, il n'y a pas de solution réelle. Les nombres imaginaires sont nécessaires dans ce cas. Si l'indice de la racine est impair, les radicandes négatifs peuvent être simplifiés en utilisant des nombres réels.

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Questions fréquemment posées en Simplification des radicaux

Qu'est-ce que la simplification des radicaux ?

La simplification des radicaux consiste à réduire une expression radicale à sa forme la plus simple possible en éliminant les racines inutiles ou en combinant les termes similaires.

Comment simplifier un radical avec des entiers ?

Pour simplifier un radical avec des entiers, trouvez les facteurs premiers du nombre sous la racine et retirez les carrés parfaits.

Pourquoi simplifions-nous les radicaux ?

Nous simplifions les radicaux pour rendre les expressions mathématiques plus compréhensibles et plus faciles à manipuler dans les calculs.

Comment simplifier √50 ?

Pour simplifier √50, nous cherchons les carrés parfaits dans 50 : √50 = √(25 × 2) = 5√2.

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