Simplification des fractions

La fraction $\frac{8}{11}$ est sous sa forme la plus simple.

En effet, les facteurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8, et les facteurs de 11 sont 1 et 11.

Nous constatons que 1 est le plus grand (et le seul) facteur du numérateur et du dénominateur.

D'où le fait que$\frac{8}{11}$ est bien dans sa forme la plus simple.

Cependant, la fraction $\frac{20}{88}$ n'est pas sous sa forme la plus simple.

En effet, les facteurs de 20 sont 1,2,4,5,10 et 20, et les facteurs de 88 sont 1,2,4,22,44 et 88. Nous remarquons qu'il y a deux facteurs communs entre 20 et 88 qui sont 2 et 4. Nous en déduisons donc que notre fraction n'est pas sous sa forme la plus simple et qu'elle peut donc être simplifiée davantage.

Nous verrons cela en détail plus loin dans l'article.

Simplifie $\frac{45}{144}$.

Solution

Méthode 1. Utilise la division répétée pour simplifier les fractions.

Les facteurs de 45 sont : 1,3,5,9, 15 et 45.

Les facteurs de 144 sont : 1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72 et 144.

Nous remarquons que le plus petit nombre premier qui est un facteur commun du numérateur et du dénominateur est 3. Nous divisons donc le numérateur et le dénominateur par 3, ce qui donne

$\frac{45}{144}=\frac{3\times 15}{3\times 48}=\frac{15}{48}$

15 et 48 sont tous deux divisibles par 3, donc en divisant par 3, on obtient ,

$\frac{15}{48}=\frac{3\times 5}{3\times 16}=\frac{5}{16}$

Il n'y a plus de facteurs premiers communs entre le numérateur 5 et le dénominateur 16.

D'où $\frac{5}{16}$ est la forme la plus simple de l'expression.

Méthode 2. En utilisant le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur.

Le plus grand commun diviseur de 45 et 144 est 9.

Nous divisons le numérateur et le dénominateur par 9 pour obtenir

$\frac{45}{144}=\frac{9\times 5}{9\times 16}=\frac{5}{16}$.

Simplifier $\frac{48}{216}$

Solution

Utilisation de la division répétée pour simplifier les fractions.

Nous remarquons d'abord que le numérateur 48 et le dénominateur 216 sont tous deux des nombres pairs, donc divisibles par 2,

$\frac{48}{216}=\frac{2\times 24}{2\times 108}$

Nous divisons par 2 pour obtenir

$\frac{48}{216}=\frac{\cancel{2}\times 24}{\cancel{2}\times 108}=\frac{24}{108}$

Il en va de même pour 24 et 108, les deux nombres sont pairs, ils sont donc divisibles par 2,

$\frac{24}{108}=\frac{2\times 12}{2\times 54}$

On divise par 2 pour obtenir

$\frac{24}{108}=\frac{\cancel{2}\times 12}{\cancel{2}\times 54}=\frac{12}{54}$

12 et 54 sont tous deux des nombres pairs, ils sont donc divisibles par 2 également.

$\frac{12}{54}=\frac{2\times 6}{2\times 27}$

Nous divisons par 2 pour obtenir,

$\frac{12}{54}=\frac{\cancel{2}\times 6}{\cancel{2}\times 27}=\frac{6}{27}$

Maintenant, 6 et 27 ont 3 comme facteur premier commun le plus bas. En divisant par 3, on obtient

$\frac{6}{27}=\frac{2\times 3}{3\times 9}$

En divisant par 3, on obtient

$\frac{6}{27}=\frac{\cancel{3}\times 2}{\cancel{3}\times 9}=\frac{2}{9}$

Il n'y a plus de facteurs premiers communs entre le numérateur 2 et le dénominateur 9.

Donc $\frac{2}{9}$ est la fraction exprimée sous sa forme la plus simple.

Méthode 2. En utilisant le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur.

Les facteurs de 48 sont : 1,2,4,6,24 et 48.

Les facteurs de 216 sont : 1,2,3,4,6,8,9, 12, 18, 24,27,36,54, 72, 108 et 216.

Ainsi, le plus grand commun diviseur de 48 et 216 est 24.

En fait, en divisant le numérateur et le dénominateur par 24, on obtient

$\frac{48}{216}=\frac{2\times 24}{9\times 24}=\frac{2}{9}$

Simplifier $\frac{240}{90}$

Solution

Méthode 1. Utilisation de la division répétée pour simplifier les fractions.

Nous remarquons tout d'abord que 240 et 90 sont tous deux divisibles par 10, donc en divisant par 10, nous obtenons,

$\frac{240}{90}=\frac{24\times 10}{9\times 10}=\frac{24}{9}$

Maintenant, 24 et 9 sont tous deux divisibles par 3, donc en divisant par 3, on obtient ,

$\frac{24}{9}=\frac{3\times 8}{3\times 3}=\frac{8}{3}$

Ensuite, 8 et 3 n'ont aucun facteur commun, donc $\frac{8}{3}$est la forme la plus simple de la fraction donnée.

Méthode 2. En utilisant le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur.

Les facteurs de 240 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120 et 240.

Les facteurs de 90 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 et 90.

Nous remarquons que le plus grand commun diviseur de 240 et 90 est 30.

En divisant le numérateur et le dénominateur par 30, on obtient

$\frac{240}{90}=\frac{8\times 30}{3\times 30}=\frac{8}{3}$.

Simplifie $3\frac{10}{15}$

Solution

Tout d'abord, nous devons transformer $3\frac{10}{15}$ en fraction impropre. Nous pouvons le faire en écrivant la partie entière de la fraction mixte comme une fraction avec le même dénominateur que la partie fractionnaire.

$3\frac{10}{15}=\frac{3\times 15}{15}+\frac{10}{15}=\frac{45}{15}+\frac{10}{15}=\frac{55}{15}$

La dernière étape consiste à simplifier la fraction impropre en utilisant soit la méthode de la division répétée, soit la méthode du plus grand diviseur commun. En utilisant l'une ou l'autre de ces méthodes, nous constatons que la fraction simplifiée est la suivante $\frac{11}{3}.$

Simplifier $4\frac{32}{60}$

Solution

Tout d'abord, nous devons transformer $4\frac{32}{60}$ en fraction impropre. Pour ce faire, nous pouvons à nouveau exprimer la partie entière de la fraction mixte sous la forme d'une fraction ayant le même dénominateur que la partie fractionnaire.

$4\frac{32}{60}=\frac{4\times 60}{60}+\frac{32}{60}=\frac{240}{60}+\frac{32}{60}=\frac{272}{60}$

Encore une fois, la dernière étape consiste à simplifier la fraction impropre en utilisant soit la méthode de la division répétée, soit la méthode du plus grand diviseur commun. En utilisant l'une ou l'autre de ces méthodes, nous constatons que la fraction simplifiée est la suivante $\frac{68}{15}$.

Par conséquent ,

$4\frac{32}{60}=\frac{68}{15}$

Simplifier $12\frac{12}{30}$

Tout d'abord, nous transformons $12\frac{12}{30}$ en fraction impropre. Pour ce faire, nous exprimons la partie entière de la fraction mixte sous la forme d'une fraction ayant le même dénominateur que la partie fractionnaire.

$12\frac{12}{30}=\frac{12\times 30}{30}+\frac{12}{30}=\frac{360}{30}+\frac{12}{30}=\frac{372}{30}$

Enfin, nous simplifions la fraction impropre à l'aide de la méthode du diviseur répété ou de la méthode du plus grand diviseur commun. En utilisant l'une ou l'autre de ces méthodes, nous constatons que la fraction simplifiée est la suivante $\frac{62}{5}$.

Par conséquent,

$12\frac{12}{30}=\frac{62}{5}$

Simplifie $\frac{2^8{3}^2{7}^5{11}^2}{2^5{3}^2{5}^5{11}^3}$.

Solution

Comme indiqué plus haut dans l'article, lorsque l'on simplifie des fractions avec des exposants au numérateur et au dénominateur, on utilise la méthode du plus grand diviseur commun.

Lorsque les fractions ont la même base, l'exposant le plus faible est le facteur commun à prendre en compte.

Par conséquent, le plus grand commun diviseur de $2^8{3}^2{7}^5{11}^2$ et $2^5{3}^2{5}^5{11}^3$ est $2^5{3}^2{11}^2$.

Ensuite, en divisant le numérateur et le dénominateur par le plus grand diviseur commun, on obtient

$\frac{2^8{3}^2{7}^5{11}^2}{2^5{3}^2{5}^5{11}^3}=\frac{\frac{2^8{3}^2{7}^5{11}^2}{2^5{3}^2{11}^2}}{\frac{2^5{3}^2{5}^5{11}^3}{2^5{3}^2{11}^2}}=\frac{2^3{7}^5}{5^5{11}^1}=\frac{2^3{7}^5}{5^{5}11}$

Ainsi, la forme la plus simple de la fraction donnée est

$\frac{2^3{7}^5}{5^{5}11}$.

Simplifier $\frac{3^4{5}^2{8}^4{9}^8}{3^2{8}^{2}5}$

Solution

Le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur est $3^2{8}^{2}5$. En divisant le numérateur et le dénominateur par le plus grand commun diviseur, on obtient

$3^2{8}^2{9}^{8}5$

Simplifie $\frac{4^{15}{3}^4{10}^3{5}^4}{4^{12}{3}^2{10}^2{9}^3}$

Solution

Le plus grand commun diviseur du numérateur et du dénominateur dans ce cas est $4^{12}{3}^2{10}^2$. En divisant le numérateur et le dénominateur par le plus grand commun diviseur, on obtient

$\frac{4^3{3}^2{5}^{4}10}{9^3}$

Simplifier $\frac{12b^5{c}^2}{30a{b}^{3}c}$

Solution

Comme indiqué plus haut dans l'article, lorsque l'on simplifie des fractions avec des variables au numérateur et au dénominateur, on utilise la méthode du plus grand diviseur commun.

Lorsque les fractions ont la même base, l'exposant le plus bas est le facteur commun à prendre en compte.

Par conséquent, le plus grand commun diviseur de $12{\mathrm{b}}^5{\mathrm{c}}^2$ et $30{\mathrm{ab}}^3\mathrm{c}$ est $6{\mathrm{b}}^3\mathrm{c}$.

Ensuite, en divisant le numérateur et le dénominateur par $6{\mathrm{b}}^3\mathrm{c}$on obtient

$\frac{12b^5{c}^2}{30a{b}^{3}c}=\frac{\frac{12b^5{c}^2}{6b^{3}c}}{\frac{30a{b}^{3}c}{6b^{3}c}}=\frac{2b^{2}c}{5a}$

Ainsi, la forme la plus simple de la fraction donnée est

$\frac{2b^{2}c}{5a}$

Simplifier $\frac{14a^{3}b}{21ac}$

Solution

Comme indiqué plus haut dans l'article, lorsque l'on simplifie des fractions avec des variables au numérateur et au dénominateur, on utilise la méthode du plus grand diviseur commun.

Lorsque les fractions ont la même base, l'exposant le plus bas est le facteur commun à prendre en compte.

Par conséquent, le plus grand diviseur commun de$14{\mathrm{a}}^3\mathrm{b}$et $21\mathrm{ac}$ est $7a$.

Ensuite, en divisant le numérateur et le dénominateur par $7a$ on obtient ,

$\frac{14a^{3}b}{21ac}=\frac{\frac{14a^{3}b}{7a}}{\frac{21ac}{7a}}=\frac{2a^{2}b}{3c}$

Par conséquent, la forme la plus simple de la fraction donnée est,

$\frac{2a^{2}b}{3c}$

Simplifier $\frac{49x^2{y}^3}{35y^2{z}^2}$

Solution

Comme indiqué plus haut dans l'article, lorsque l'on simplifie des fractions avec des variables au numérateur et au dénominateur, on utilise la méthode du plus grand diviseur commun.

Lorsque les fractions ont la même base, l'exposant le plus faible est le facteur commun à prendre en compte.

Par conséquent, le plus grand commun diviseur de $49{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^3$et $35{\mathrm{y}}^2{\mathrm{z}}^2$est $7{\mathrm{y}}^2.$

En divisant le numérateur et le dénominateur par le plus grand diviseur commun, on obtient

$\frac{49x^2{y}^3}{35y^2{z}^2}=\frac{\frac{49x^2{y}^3}{7y^2}}{\frac{35y^2{z}^2}{7y^2}}=\frac{7x^{2}y}{5z^2}$

Par conséquent, la forme la plus simple de la fraction donnée est,

$\frac{7x^{2}y}{5z^2}$