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Évaluation des séries géométriques infinies
Avant de pouvoir évaluer une série géométrique infinie, il est utile de savoir ce qu'est une série géométrique infinie ! Pour ce faire, il peut être utile de décomposer et de comprendre d'abord ce qu'est une séquence.
Une séquence est une liste de nombres qui suivent une règle ou un modèle spécifique. Chaque nombre d'une séquence est appelé un terme.
Il existe de nombreux types de séquences, notamment arithmétiques et géométriques. Lorsque l'on pense aux suites géométriques infinies, il est important de comprendre ce que l'on entend par le terme géométrique.
Une suite géométrique est un type de suite qui augmente ou diminue d'un multiple constant. C'est ce qu'on appelle le rapport commun, \(r\).
Voyons quelques exemples !
Voici quelques exemples de suites géométriques:
- \N(2, 8, 32, 128, 512, \Ndots\N) Ici, la règle est de multiplier par \N(4\N). Remarque que les "\(\dots\)" à la fin signifient que la séquence continue à suivre le même modèle pour toujours.
- \(6, 12, 24, 48, 96) Ici, la règle est de multiplier par 2.
- \N(80, 40, 20, 10, 5\N) Ici, la règle est de multiplier par \N(\Nfrac{1}{2}\N).
Maintenant que tu as compris ce que nous entendons par séquence, tu peux penser à une série.
Une série est la somme des termes d'une séquence.
Voyons quelques exemples.
Voici quelques exemples de séries:
- \N(3+7+11+15+ \Ndots\N) où la séquence originale est \N(3, 7, 11, 15, \Ndots\N). Encore une fois, le "\(\dots\)" signifie que la somme continue à l'infini, tout comme la séquence.
- \N(6+12+24+48\N) où la séquence originale est \N(6, 12, 24, 48\N).
- \N(70+65+60+55\N) où la séquence originale est \N(70, 65, 60, 55\N).
Tu peux maintenant examiner chacune de ces définitions pour bien comprendre ce qu'est une série géométrique infinie.
Une série géométrique infin ie est une série qui additionne une suite géométrique infinie.
Voici quelques exemples.
Revenons à la suite géométrique \ (2, 8, 32, 128, 512, \dots\). Trouve la série géométrique correspondante.
Réponse :
Tout d'abord, tu peux dire qu'il s'agit d'une suite géométrique parce que le rapport commun ici est \(r = 4\), ce qui signifie que si tu divises deux termes consécutifs, tu obtiens toujours \(4\).
Tu pourrais certainement écrire que la série géométrique consiste simplement à additionner tous les termes de la suite, soit
\N[ 2 + 8 + 32 + 128 + 512+ \Ndots\N]
Tu pourrais aussi reconnaître qu'il y a un modèle ici. Chaque terme de la suite est le terme précédent multiplié par \(4\). En d'autres termes :
\[\N- 8 &= 2\cdot 4 \N- 32 &= 8\cdot 4 = 2\cdot 4^2 \N- 128 &= 32\cdot 4 = 2\cdot 4^3 \N- \cvdots \N- end{align}\N].
Cela signifie que tu pourrais aussi écrire la série sous la forme suivante
\[ 2+ 2\cdot 4 + 2\cdot 4^2 + 2\cdot 4^3 + 2\cdot 4^4 + \dots \]
Rappelle-toi que le rapport commun de cette série était \(4\), donc voir une multiplication par \(4\) à chaque fois est logique !
Les séries géométriques infinies ont de nombreuses applications dans la vie réelle. Prends l'exemple de la population. Puisque la population augmente d'un pourcentage chaque année, on peut faire des études pour prédire quelle sera la taille de la population dans 5 ans, 10 ans ou même 50 ans en utilisant des séries géométriques infinies.
Formule pour une série géométrique infinie
Comme tu l'as vu dans le dernier exemple, il existe une formule générale qu'une série géométrique doit suivre. La formule générale se présente comme suit :
\N-[a +a r+ ar^2+a r^3+\dots\]
où le premier terme de la suite est \(a\) et \(r\) est le rapport commun.
Puisque toutes les séries géométriques suivront cette formule, prends le temps de comprendre ce qu'elle signifie. Voyons un exemple de série sous cette forme.
Prends la suite géométrique \ (6, 12, 24, 48, 96, \dots\) . Trouve le premier terme et le rapport commun, puis écris-la sous forme de série.
Réponse :
Le premier terme est simplement le premier nombre de la suite, donc \(a = 6\).
Tu peux trouver le rapport commun en divisant deux termes consécutifs de la séquence. Par exemple
\N[ \Nfrac{48}{24} = 2\N]
et
\[\frac{24}{2} = 2.\N]
Peu importe les deux termes consécutifs que tu divises, tu devrais toujours obtenir le même rapport. Si ce n'est pas le cas, ce n'était pas une suite géométrique au départ ! Donc, pour cette suite, \(r = 2\).
Utilise ensuite la formule de la série géométrique,
\[a +a r+ ar^2+a r^3+\dots = 6 + 6\cdot 2 + 6\cdot 2^2 + 6\cdot 2^3 +\dots\].
Cette formule peut t'aider à comprendre exactement ce qui arrive à chaque terme pour te donner le terme suivant.
Rapport commun des séries géométriques infinies
Tu sais maintenant comment trouver le rapport commun d'une suite ou d'une série géométrique, mais à part écrire une formule, à quoi cela sert-il ?
- Le rapport commun \(r\) est utilisé pour trouver le terme suivant d'une suite et peut avoir un effet sur la façon dont les termes augmentent ou diminuent.
- Si \(-1
nombre réel. Dans ce cas, la série est dite convergente. - Si \(r > 1\) ou \(r < -1\), la somme de la série ne sera pas un nombre réel. Dans ce cas, la série est dite divergente.
Somme d'une série géométrique infinie
Avant de passer à la somme d'une série géométrique infinie, il est utile de se rappeler ce qu'est la somme d'une série géométrique finie. Rappelle-toi que si tu appelles ta série \N( a, ar, ar^2, ar^3 , \Npoints, ar^{n-1} \N) alors la somme de cette série géométrique finie est la suivante
\[ \begin{align} S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \\N- &= \sum\Nlimites_{i=0}^{n-1} ar^i. \N- [end{align}\N]
Lorsque tu as la série géométrique infinie \N( a, ar, ar^2, ar^3 , \dots \N), alors la somme est
\N- [\N- Début{align}] S &= \sum\limites_{i=0}^\infty ar^i \\N &= a\frac{1}{1-r}.\Nend{align} \]
Mais n'oublie pas que le seul cas où \(S\) est un nombre est lorsque \ (-1<r<1\) !
Exemples de séries géométriques infinies
Voyons quelques exemples dans lesquels tu dois déterminer si la formule est appropriée et comment utiliser la formule de la somme des séries géométriques infinies.
Si possible, trouve la somme de la série géométrique infinie qui correspond à la séquence \(32, 16, 8, 4, 2, \dots \).
Réponse :
Pour commencer, il est important d'identifier le rapport commun car il te permet de savoir si la somme de la série infinie peut être calculée ou non. Si tu divises deux termes consécutifs comme
\[ \frac{16}{32} = \frac{1}{2},\]
tu obtiens toujours le même nombre, donc \(r = \frac{1}{2}\). Puisque \ (-1<r<1\) tu sais que tu peux en fait trouver la somme de la série.
Le premier terme de la série est \N(32\N), donc \N(a = 32\N). Cela signifie que
\[ \begin{align} S &= a\frac{1}{1-r} \\N- &= 32\frac{1}{1-\frac{1}{2}} \N- &= 32 \frac{1}{\frac{1}{2}} \N- &= 32\Ncdot 2 = 64. \N- [end{align}\N]
Jetons un coup d'œil à un autre exemple.
Si possible, trouve la somme de la série géométrique infinie qui correspond à la séquence \(3 , 6 , 12 , 24 , 48, \dots\N).
Réponse :
Une fois de plus, tu dois commencer par identifier le rapport commun. En divisant deux termes consécutifs quelconques, tu obtiens \(r = 2\). Puisque \(r > 1\), il n'est pas possible de calculer la somme de cette série géométrique infinie. Cette série serait qualifiée de divergente.
Examinons-en une autre.
Si possible, trouve la somme de la série géométrique infinie,
\[\sum^\infty_{n=0}10(0.2)^n.\]
Réponse :
Celle-ci est déjà sous forme de somme ! Comme précédemment, la première chose à faire est de trouver le rapport commun. Ici, tu peux voir que le rapport commun est \(r=0,2\). Tu peux donc compléter la somme. Il te suffit d'entrer les informations dans la formule :
\[ \begin{align} S &= a\frac{1}{1-r} \\N- &= 10\frac{1}{1-0.2} \N- &= 10 \N-{1}{0,8} \\ &= 10(1.25) = 12.5. \N- [\N-]
Séries géométriques infinies - Points clés à retenir
- Une série géométrique infinie est la somme d'une suite géométrique infinie.
- Lorsque \(-1<r<1\), tu peux utiliser la formule \[S=\frac{a_1}{1-r}\]pour trouver la somme de la série géométrique infinie.
- Une série géométrique infinie converge (a une somme) lorsque \ (-1<r<1\), et diverge (n'a pas de somme) lorsque \(r< -1\) ou \(r>1\).
- En notation de la somme, une série géométrique infinie peut être écrite [\sum^\infty_{n=0}a r^n.\N].
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