Résolution et Graphique des Équations Quadratiques

Considère la fonction f(x) = ^2x2 - 4x - 3.

1. Décide si la fonction a une valeur maximale ou minimale.
2. Évalue la valeur maximale ou minimale de la fonction.
3. Indique le domaine et l'étendue de la fonction.

Solution

Ici, a = 2, b = -4 et c = -3.

1. Puisque a > 0, le graphique s'ouvre et la fonction a une valeur minimale.

2. La valeur minimale de la fonction est la coordonnée y du sommet.

La coordonnée x du sommet est $-\frac{(-4)}{2\left(2\right)}=1$.

Pour trouver la coordonnée y du sommet, nous devons évaluer la fonction à x = 1.

$$\begin{gathered} f\left(1\right)=2{\left(1\right)}^2-4\left(1\right)-3 \\ \Rightarrow f\left(1\right)=-5 \end{gathered}$$

La valeur minimale de la fonction est donc -5.

3. Le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels. L'étendue est l'ensemble de tous les nombres réels supérieurs ou égaux à la valeur minimale, f(x) ≥ -5. En notation d'ensemble, [-5, +∞ [.

Le graphique est représenté ci-dessous.

Exemple 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

1. Détermine l'ordonnée à l'origine, l'équation de l'axe de symétrie et la coordonnée x du sommet.
2. Crée un tableau de valeurs qui inclut le sommet.
3. Trace le graphique de la fonction en te basant sur les résultats des questions 1 et 2.

Solution

Ici, a = 1, b = -6 et c = 3.

1. Pour trouver l'ordonnée à l'origine, nous devons évaluer f à x = 0. Ce faisant, nous obtenons f(0) = c = 3. L'ordonnée à l'origine est donc (0, 3). L'équation de l'axe de symétrie est trouvée en utilisant la formule suivante

$$\begin{gathered} x=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-6)}{2\left(1\right)} \\ \Rightarrow x=3 \end{gathered}$$

Par conséquent, l'équation de l'axe de symétrie est x = 3. Il s'ensuit que la coordonnée x du sommet est 3.

2. Nous allons maintenant établir notre tableau de valeurs. Pour cela, choisis pour x des valeurs inférieures à 3 et d'autres supérieures à 3. Ainsi, les points situés de part et d'autre de l'axe de symétrie seront représentés sur le graphique.

Appliquons le principe de localisation à cet exemple. En regardant le tableau ci-dessus, il se trouve qu'il y a un changement de signe entre x = 0 et x = 1. Cela indique qu'il y a un zéro réel entre ces deux valeurs de x. De même, nous observons un changement de signe entre x = 5 et x = 6, ce qui nous indique à nouveau qu'un zéro réel doit exister entre cette paire de valeurs de x.

3. Le graphique est représenté ci-dessous.

Exemple 2, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Résous l'équation quadratique ^x2 + 5x - 2 = 0 à l'aide d'un graphique. Si des solutions exactes ne peuvent être trouvées, indique les nombres entiers consécutifs entre lesquels se trouvent les solutions.

Solution

Soit f(x) = ^x2 + 5x - 2.

Nous devons maintenant faire un tableau de valeurs pour un domaine x. Nous devons deviner la plage de valeurs x sur laquelle nous voulons appliquer le principe de localisation. Nous choisirons les valeurs entières comprises entre x = -6 et x = 2.

En appliquant le principe de localisation, remarque que les ordonnées à l'origine du graphique suggèrent qu'une solution se situe entre -6 et -5, et que l'autre se situe entre 0 et 1.

Exprime une équation quadratique dont les racines sont $-\frac{1}{3}$ et 4 comme racines. Ecris l'équation sous forme standard.

Solution

La forme d'ordonnée d'une équation quadratique est donnée par (x - p)(x - q) = 0 où p et q représentent les racines de l'expression. Comme il n'y a pas d'information sur le coefficient de ^x2 dans cette question, on en déduit que a = 1. Ici, on nous donne

$p=-\frac{1}{3}andq=4$

En substituant ceci dans la forme ci-dessus, nous obtenons

$$\begin{gathered} \left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)(x-4)=0 \\ \Rightarrow \left(x+\frac{1}{3}\right)(x-4)=0 \end{gathered}$$

Nous voulons maintenant écrire cette équation sous la forme standard d'une équation quadratique. Pour ce faire, nous devons développer le côté droit de l'expression à l'aide de la méthode FOIL.

$$\begin{gathered} \Rightarrow x^2-4x+\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}=0 \\ \Rightarrow x^2-\frac{11}{3}x-\frac{4}{3}=0 \end{gathered}$$

En multipliant l'ensemble de l'équation par 3, nous obtenons finalement

$\Rightarrow 3x^2-11x-4=0$

Factorise l'équation quadratique ^3x2 = 9x et représente graphiquement la fonction correspondante.

Solution

Nous commençons par réarranger l'équation sous la forme standard d'une équation quadratique

$3x^2-9x=0$

Remarque que nous pouvons factoriser 3x de l'expression ci-dessus comme suit

$3x(x-3)=0$

En vertu de la propriété du produit nul, les racines de cette fonction sont les suivantes

$$\begin{gathered} 3x=0\Rightarrow x=0 \\ x-3=0\Rightarrow x=3 \end{gathered}$$

Puisque le coefficient de ^x2 est a = 3 > 0, la parabole s'ouvre vers le haut. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 3, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Factorise l'équation quadratique ^6x2 = 1 - x et représente graphiquement la fonction correspondante.

Solution

Nous commençons par réarranger l'équation sous la forme standard d'une équation quadratique

$6x^2+x-1=0$

Il s'agit d'un trinôme général que nous pouvons factoriser par (ax + b)(cx + d). Note que le coefficient 6 peut être factorisé sous la forme $6\times 1or2\times 3$ tandis que la constante -1 peut être factorisée comme $-1\times 1$.

N'oublie pas que tu dois tester toutes les paires et positions possibles pour ces deux produits. En procédant par essais et erreurs, nous pouvons factoriser cette équation comme suit

$(3x-1)(2x+1)=0$

Par la propriété du produit nul, les racines de cette fonction sont

$$\begin{gathered} 3x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{3} \\ 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Comme le coefficient de ^x2 est a = 6 > 0, la parabole s'ouvre vers le haut. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 4, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Factorise l'équation quadratique ^x2 - 25 = 0 et représente graphiquement la fonction correspondante.

Solution

Note que $25=5^2$.

Ainsi, l'équation prend la forme de la différence de deux carrés. Par conséquent, nous pouvons factoriser cette équation comme suit

$$\begin{gathered} x^2-25=0 \\ \Rightarrow (x-5)(x+5)=0 \end{gathered}$$

Par la propriété du produit nul, les racines de cette fonction sont

$$\begin{gathered} x-5=0\Rightarrow x=5 \\ x+5=0\Rightarrow x=-5 \end{gathered}$$

Comme le coefficient de ^x2 est a = 1 > 0, la parabole s'ouvre vers le haut. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 5, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Résous l'équation quadratique ^x2 - 12x + 36 = 25 en utilisant la propriété de la racine carrée.

Solution

Remarque que le côté gauche de cette expression prend la forme d'un trinôme carré parfait. En factorisant cette expression, nous obtenons

$$\begin{gathered} x^2-12x+36=25 \\ \Rightarrow {(x-6)}^2=25 \end{gathered}$$

En utilisant la propriété de la racine carrée pour résoudre cette expression, nous obtenons

$$\begin{gathered} \Rightarrow x-6=\pm \sqrt{25} \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt{25}+6 \\ \Rightarrow x=\pm 5+6 \end{gathered}$$

Les deux racines sont donc x = 1 et x = 11. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 6 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

En zoomant sur ce graphique, nous voyons que les racines sont bien x = 1 et x = 11.

Exemple 6 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Résous l'équation quadratique ^x2 + 8x + 16 = 20 en utilisant la propriété de la racine carrée.

Solution

Remarque que le côté gauche de cette expression prend la forme d'un trinôme carré parfait. En factorisant cette expression, nous obtenons

$$\begin{gathered} x^2+8x+16=20 \\ \Rightarrow {(x+4)}^2=20 \end{gathered}$$

En utilisant la propriété de la racine carrée pour résoudre cette expression, nous obtenons

$$\begin{gathered} \Rightarrow x+4=\pm \sqrt{20} \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt{20}-4 \\ \Rightarrow x=\pm 2\sqrt{5}-4 \end{gathered}$$

Ainsi, les deux racines sont

$$\begin{gathered} x=-2\sqrt{5}-4\approx -8.47(correcttotwodecimalplaces) \\ x=2\sqrt{5}-4\approx 0.47(correcttotwodecimalplaces) \end{gathered}$$

Une esquisse de ce graphique est présentée ci-dessous.

Exemple 7 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

En zoomant sur ce graphique, nous voyons que les racines sont approximativement x ≈ -8,47 et x ≈ 0,47.

Exemple 7 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Résous l'équation quadratique ^x2 - 10x + 24 = 0 en complétant le carré.

Solution

Soustrais 24 des deux côtés de l'équation comme suit

$$\begin{gathered} x^2-10x+24=0 \\ \Rightarrow x^2-10x=-24 \end{gathered}$$

Pour compléter le carré de cette expression, nous devons trouver les valeurs manquantes de

$x^2-10x+\square =-24+\square$

Puisque

${\left(-\frac{10}{2}\right)}^2={(-5)}^2=25$

nous devons ajouter 25 de chaque côté pour équilibrer l'équation.

$$\begin{gathered} \Rightarrow x^2-10x+25=-24+25 \\ \Rightarrow x^2-10x+25=1 \end{gathered}$$

Réécris le côté gauche comme un carré parfait en le factorisant.

$\Rightarrow {(x-5)}^2=1$

Nous pouvons maintenant utiliser la propriété de la racine carrée

$$\begin{gathered} \Rightarrow x-5=\pm \sqrt{1}=\pm 1 \\ \Rightarrow x=\pm 1+5 \end{gathered}$$

Ainsi, les deux solutions sont x = 4 et x = 6. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 8, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Résous l'équation quadratique ^3x2 + 10x - 8 = 0 en complétant le carré.

Solution

Divise l'équation par le coefficient 3

$$\begin{gathered} 3x^2+10x-8=0 \\ \Rightarrow x^2+\frac{10}{3}x-\frac{8}{3}=0 \end{gathered}$$

Ajoute $\frac{8}{3}$ aux deux côtés

$\Rightarrow x^2+\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$

Pour compléter le carré de cette expression, nous devons trouver les valeurs manquantes de

$x^2+\frac{10}{3}x+\square =\frac{8}{3}+\square$

Puisque

${\left(\frac{10}{2\times 3}\right)}^2={\left(\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{25}{9}$

nous devons ajouter $\frac{25}{9}$ à chaque côté pour équilibrer l'équation

$$\begin{gathered} \Rightarrow x^2+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9} \\ \Rightarrow x^2+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}=\frac{49}{9} \end{gathered}$$

Réécris le côté gauche comme un carré parfait en le factorisant.

$\Rightarrow {\left(x+\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{49}{9}$

Nous pouvons maintenant utiliser la propriété de la racine carrée

$$\begin{gathered} \Rightarrow x+\frac{5}{3}=\pm \sqrt{\frac{49}{9}} \\ \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}-\frac{5}{3} \\ \Rightarrow x=\pm \frac{7}{3}-\frac{5}{3} \end{gathered}$$

Ainsi, les deux solutions sont $x=-4andx=\frac{2}{3}$. Le graphique est affiché ci-dessous.

Exemple 9 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

En zoomant sur ce graphique, nous voyons que les racines sont vraies comme il se doit.

Exemple 9 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Identifie le nombre et le type de racines de l'équation quadratique ^3x2 + 5x + 1 = 0 . Détermine les racines de cette expression à l'aide de la formule quadratique.

Solution

Ici , $a=3,b=5andc=1.$

Nous commençons par trouver la valeur du discriminant comme suit

$$\begin{gathered} D=b^2-4ac={\left(5\right)}^2-4\left(3\right)\left(1\right) \\ \Rightarrow D=25-12 \\ \Rightarrow D=13 \end{gathered}$$

Puisque D > 0, nous devons avoir deux racines réelles. Note également que D n'est pas un carré parfait et que les racines de cette équation quadratique doivent donc être irrationnelles. Nous allons maintenant utiliser la formule quadratique pour déterminer ces racines.

$$\begin{gathered} x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-\left(5\right)\pm \sqrt{13}}{2\left(3\right)} \\ \Rightarrow x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{6} \end{gathered}$$

Les deux racines sont donc

$$\begin{gathered} x=\frac{-5-\sqrt{13}}{6}\approx -1.43(correcttotwodecimalplaces) \\ x=\frac{-5+\sqrt{13}}{6}\approx -0.23(correcttotwodecimalplaces) \end{gathered}$$

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 10, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Détermine le nombre et le type de racines de l'équation quadratique ^x2 - 6x + 10 = 0 . Détermine les racines de cette expression à l'aide de la formule quadratique.

Solution

Ici , $a=1,b=-6andc=10.$

Nous commençons par trouver la valeur du discriminant sous la forme suivante

$$\begin{gathered} D={(-6)}^2-4\left(1\right)\left(10\right) \\ \Rightarrow D=36-40 \\ \Rightarrow D=-4 \end{gathered}$$

Puisque D < 0, nous devons avoir deux racines complexes conjuguées. Nous allons maintenant utiliser la formule quadratique pour déterminer ces racines.

$$\begin{gathered} x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{-4}}{2\left(1\right)} \\ \Rightarrow x=\frac{6\pm i\sqrt{4}}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{6\pm 2i}{2} \\ \Rightarrow x=3\pm i \end{gathered}$$

Ainsi, les deux racines complexes conjuguées sont $x=3-iandx=3+i.$

Exemple 11, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Exprime l'équation y = ^x2 + 4x + 6 sous forme de sommet et trace le graphique de la fonction.

Solution

Remarque que y = ^x2 + 4x + 6 n'est pas un carré parfait. Nous commençons par compléter le carré de cette expression.

$y=(x^2+4x+\square )+6-\square$

Pour trouver les valeurs manquantes, nous ajoutons ${\left(\frac{4}{2}\right)}^2=4$ et équilibrons l'équation en soustrayant 4 comme suit

$y=(x^2+4x+\mathbf{4})+6-\mathbf{4}$

En écrivant l'équation comme un carré parfait, nous obtenons

$\Rightarrow y={(x+2)}^2+2$

Puisque h = -2 et k = 2, le sommet se trouve à (-2, 2). L'axe de symétrie est x = -2. Puisque a = 1, le graphique s'ouvre et a la même forme que le graphique de y = ^x2. De plus, le graphique est translaté de 2 unités vers la gauche et de 2 unités vers le haut.

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 12, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Écris l'équation y = ^-2x2 - 12x + 17 sous forme de sommet et trace le graphique de la fonction.

Solution

Remarque que y = ^-2x2 - 12x + 17 n'est pas un carré parfait. Nous commençons par factoriser les deux premiers termes du côté droit sous la forme suivante

$y=-2(x^2+6x)+17$

Ensuite, nous compléterons le carré de cette expression.

$y=-2(x^2+6x+\square )+17-(-2)\square$

Pour trouver les valeurs manquantes, nous ajoutons ${\left(\frac{6}{2}\right)}^2=9$ et équilibrons l'équation en soustrayant -2(9) comme suit

$y=\mathbf{-}\mathbf{2}(x^2+6x+\mathbf{9})+17-\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{\left(}\mathbf{9}\mathbf{\right)}$

En écrivant cette équation comme un carré parfait, nous obtenons

$\Rightarrow y={-2(x+3)}^2+35$

Le sommet se trouve à (-3, 35), et l'axe de symétrie est x = -3. Puisque a = -2, le graphique s'ouvre vers le bas et est plus étroit que le graphique de y = ^x2. De plus, le graphique est translaté de 1 unité vers la droite et de 2 unités vers le haut.

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 13, Aishah Amri - StudySmarter Originals