Résolution et Graphique des Équations Quadratiques: Concepts, Méthodes

Q: Qu'est-ce qu'une équation quadratique?

Une équation quadratique est une équation polynomiale de degré 2, généralement écrite comme ax^2 + bx + c = 0.

Q: Comment résoudre une équation quadratique?

Pour résoudre une équation quadratique, on peut utiliser la formule quadratique, la factorisation ou la méthode de complétion du carré.

Q: Qu'est-ce qu'un graphique d'une équation quadratique?

Un graphique d'une équation quadratique est une parabole, qui peut ouvrir vers le haut ou vers le bas, selon le signe du coefficient a.

Q: Comment trouver les racines d'une équation quadratique?

On trouve les racines d'une équation quadratique en résolvant l'équation ax^2 + bx + c = 0, généralement avec la formule quadratique x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

Sauter à un chapitre clé

Eh bien, il est toujours pratique de considérer tout ce qui est mathématique de manière visuelle. Cela nous permet d'observer les tendances et donc d'examiner les schémas impliqués. Dans ce cas, nous allons représenter les équations quadratiques sous la forme d'un graphique.

Équations quadratiques

Avant d'entrer dans le vif du sujet, rappelons d'abord la définition d'une équation quadratique.

La forme standard d'une équation quadratique est définie par l'expression y = ^ax2 + bx + c, où a ≠ 0.

Une équation quadratique peut être définie comme une fonction par y = f(x) ⇔ f(x) = ^ax2 + bx + c.

Ici, ax2^estle terme quadratique, bx est le terme linéaire et c est le terme constant.

Comme nous l'avons déjà mentionné, la résolution graphique d'équations quadratiques est une astuce astucieuse qui nous permet de déterminer ses solutions et de remarquer tout comportement significatif présent au sein de l'expression donnée. Le graphique d'une formule quadratique porte un nom spécial défini ci-dessous.

Le graphique de toute équation quadratique est décrit par une parabole.

Tout au long de cette rubrique, nous examinerons les techniques permettant de représenter graphiquement de telles équations. Avant de commencer, examinons les composantes d'une parabole.

Composantes d'une parabole

Graphique d'une équation quadratique

Considère le graphique de y = ^ax2 + bx + c comme indiqué ci-dessous.

Composantes d'une parabole, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Toutes les paraboles ont un axe de symétrie. L'équation de cette ligne se trouve dans la formule suivante $x = - \frac{b}{2 a}$ .

L'axe de symétrie d'une parabole est une ligne verticale qui divise la parabole en deux moitiés égales.

Le sommet est le point où l'axe de symétrie coupe une parabole.
L'ordonnée à l' origine se trouve en introduisant x = 0 dans l'équation quadratique sous la forme y = a(0⁾² + b(0) + c = c.
L'ordonnée à l ' origine est obtenue en ramenant l'équation quadratique à zéro sous la forme ^ax2 + bx + c = 0.
La coordonnée x du sommet est $x = - \frac{b}{2 a}$ .
La coordonnée y du sommet est $y = f (- \frac{b}{2 a})$ .

Valeurs maximales et minimales

La coordonnée y du sommet peut être une valeur maximale ou minimale. Le sommet est connu comme le point d'inflexion de la parabole.

Le point d' inflexion d'une courbe est un point où le graphique change de direction, c'est-à-dire qu'il passe d'une valeur croissante à une valeur décroissante ou d'une valeur décroissante à une valeur croissante.

La valeur maximale est la valeur la plus élevée possible de y que la courbe atteint.

La valeur minimale est la valeur la plus basse possible de y que la courbe atteint.

Considérant l'équation quadratique y = ^ax2 + bx + c, le paramètre qui nous indique à l'avance si le sommet de la parabole respective sera une valeur maximale ou minimale est le signe du coefficient du terme de tête, c'est-à-dire le signe de a. Le tableau ci-dessous décrit le graphique pour deux cas que peut prendre a, c'est-à-dire a > 0 et a < 0.

Propriété	y = ^ax2 + bx + c, avec a ≠ 0
Valeur du coefficient a	a est positifa > 0	a est négatifa < 0
Ouverture de la parabole	S'ouvre vers le haut	S'ouvre vers le bas
Point de retournement de y	Valeur minimale	Valeur maximale
Fourchette	Tous les nombres réels supérieurs ou égaux au minimum	Tous les nombres réels inférieurs ou égaux au maximum
Exemple de graphique	Valeur minimale, Aishah Amri - StudySmarter Originals	Valeur maximale, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Solutions d'une équation quadratique

Les solutions d'une équation quadratique fixée à zéro sont également les racines ou les zéros de la fonction quadratique correspondante. Ce sont les intersections x de la parabole et on les résout en mettant y à zéro et en résolvant x par ^ax2 + bx + c = 0.

Si l'on considère l'équation quadratique y = ^ax2 + bx + c, comment savoir combien de solutions elle peut avoir ? C'est là que le discriminant entre en jeu ! Une équation quadratique peut avoir soit une solution réelle, soit deux solutions réelles, soit aucune solution réelle, et cela est déterminé par le signe du discriminant.

Le discriminant

Le discriminant est défini par l'expression D = ^b2 - 4ac.

La valeur du discriminant peut être utilisée pour déterminer le nombre et le type de racines d'une équation quadratique donnée. Étant donné l'équation quadratique ax2⁺ bx + c = 0, où a ≠ 0, il y a trois conditions pour D que nous devons prendre en compte. Ceci est expliqué dans le tableau ci-dessous avec leur représentation graphique associée pour chacun de ces cas.

Nombre de racines réelles	Tracé du graphique
Deux racines réelles D > 0, D est un carré parfait	Deux racines réelles, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Une racine réelle D = 0	Une seule racine réelle, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Aucune racine réelle D < 0	Aucune racine réelle, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Résolution d'équations quadratiques par graphique

Pour cette technique de résolution d'équations quadratiques, nous visons à représenter graphiquement de telles expressions en faisant un tableau de valeurs. Les étapes de cette méthode sont expliquées ci-dessous.

Règle y = ^ax2 + bx + c ;
Trouve les ordonnées en introduisant x = 0 dans y ;
Localise l'axe de symétrie et le sommet ;
Insère plusieurs valeurs de x dans y et crée un tableau de valeurs pour cet ensemble de points calculés ;
Détermine les ordonnées à l'origine. Si les solutions ne peuvent pas être trouvées explicitement, nous pouvons les estimer en identifiant les nombres entiers entre lesquels se trouvent les solutions ;
Trace le graphique.

À l'étape 5, nous utiliserons le principe de localisation pour estimer l'emplacement des solutions d'une équation quadratique donnée. Tu trouveras ci-dessous une explication du principe de localisation suivie de trois exemples pratiques.

Le principe de localisation

Supposons que y = f(x) représente une fonction quadratique et que a et b sont deux nombres réels tels que f(a) < 0 et f(b) > 0. Alors f a au moins un zéro réel entre a et b.

Comment fonctionne le principe de localisation ?

L'ordonnée à l'origine d'un graphique croise l'axe des x à y = 0, ce qui modifie le signe des valeurs y qui suivent dans le graphique. Essentiellement, le principe de localisation nous dit que nous recherchons un changement de signe entre deux sorties de y étant donné deux entrées de x.

Principe de localisation, algèbre 2 - Glencoe McGraw-Hill (2008)

Considère la fonction f(x) = ^2x2 - 4x - 3.

Décide si la fonction a une valeur maximale ou minimale.
Évalue la valeur maximale ou minimale de la fonction.
Indique le domaine et l'étendue de la fonction.

Solution

Ici, a = 2, b = -4 et c = -3.

1. Puisque a > 0, le graphique s'ouvre et la fonction a une valeur minimale.

2. La valeur minimale de la fonction est la coordonnée y du sommet.

La coordonnée x du sommet est $- \frac{(- 4)}{2 (2)} = 1$ .

Pour trouver la coordonnée y du sommet, nous devons évaluer la fonction à x = 1.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - 4 (1) - 3 \Rightarrow f (1) = - 5$

La valeur minimale de la fonction est donc -5.

3. Le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels. L'étendue est l'ensemble de tous les nombres réels supérieurs ou égaux à la valeur minimale, f(x) ≥ -5. En notation d'ensemble, [-5, +∞ [.

Le graphique est représenté ci-dessous.

Exemple 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Considère la fonction f(x) = ^x2 - 6x + 3.

Détermine l'ordonnée à l'origine, l'équation de l'axe de symétrie et la coordonnée x du sommet.
Crée un tableau de valeurs qui inclut le sommet.
Trace le graphique de la fonction en te basant sur les résultats des questions 1 et 2.

Solution

Ici, a = 1, b = -6 et c = 3.

1. Pour trouver l'ordonnée à l'origine, nous devons évaluer f à x = 0. Ce faisant, nous obtenons f(0) = c = 3. L'ordonnée à l'origine est donc (0, 3). L'équation de l'axe de symétrie est trouvée en utilisant la formule suivante

$x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{(- 6)}{2 (1)} \Rightarrow x = 3$

Par conséquent, l'équation de l'axe de symétrie est x = 3. Il s'ensuit que la coordonnée x du sommet est 3.

2. Nous allons maintenant établir notre tableau de valeurs. Pour cela, choisis pour x des valeurs inférieures à 3 et d'autres supérieures à 3. Ainsi, les points situés de part et d'autre de l'axe de symétrie seront représentés sur le graphique.

x	0	1	2	3	4	5	6
f(x)	3	-2	-5	-6	-5	-2	3

Appliquons le principe de localisation à cet exemple. En regardant le tableau ci-dessus, il se trouve qu'il y a un changement de signe entre x = 0 et x = 1. Cela indique qu'il y a un zéro réel entre ces deux valeurs de x. De même, nous observons un changement de signe entre x = 5 et x = 6, ce qui nous indique à nouveau qu'un zéro réel doit exister entre cette paire de valeurs de x.

3. Le graphique est représenté ci-dessous.

Exemple 2, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Résous l'équation quadratique ^x2 + 5x - 2 = 0 à l'aide d'un graphique. Si des solutions exactes ne peuvent être trouvées, indique les nombres entiers consécutifs entre lesquels se trouvent les solutions.

Solution

Soit f(x) = ^x2 + 5x - 2.

Nous devons maintenant faire un tableau de valeurs pour un domaine x. Nous devons deviner la plage de valeurs x sur laquelle nous voulons appliquer le principe de localisation. Nous choisirons les valeurs entières comprises entre x = -6 et x = 2.

En appliquant le principe de localisation, remarque que les ordonnées à l'origine du graphique suggèrent qu'une solution se situe entre -6 et -5, et que l'autre se situe entre 0 et 1.

x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2
f(x)	4	-2	-6	-8	-8	-6	-2	4	12

Résolution d'équations quadratiques par factorisation

Forme en ordonnée d'une équation quadratique

La forme en ordonnée d'une équation quadratique est y = a(x - p)(x - q) où p et q représentent les racines d'une équation quadratique donnée. En d'autres termes, p et q sont les intersections x du graphique correspondant à la fonction.

REMARQUE IMPORTANTE

La forme générale de l'ordonnée à l'origine est y = a(bx + c)(dx + e) où bx + c = 0 et dx + e = 0.

Pour exprimer la forme d'ordonnée d'une équation quadratique sous la forme standard d'une équation quadratique, nous pouvons utiliser la méthode FOIL.

Méthode FOIL

La méthode FOIL utilise la propriété distributive pour multiplier les binômes. Essentiellement, nous développons une forme d'interception donnée pour obtenir l'expression typique d'une équation quadratique. La méthode FOIL stipule que le produit de deux binômes est la somme des produits de F les premiers termes, O les termes extérieurs, I les termes intérieurs et L les derniers termes.

Un binôme est une expression composée de deux termes.

Exprime une équation quadratique dont les racines sont $- \frac{1}{3}$ et 4 comme racines. Ecris l'équation sous forme standard.

Solution

La forme d'ordonnée d'une équation quadratique est donnée par (x - p)(x - q) = 0 où p et q représentent les racines de l'expression. Comme il n'y a pas d'information sur le coefficient de ^x2 dans cette question, on en déduit que a = 1. Ici, on nous donne

$p = - \frac{1}{3} a n d q = 4$

En substituant ceci dans la forme ci-dessus, nous obtenons

$(x - (- \frac{1}{3})) (x - 4) = 0 \Rightarrow (x + \frac{1}{3}) (x - 4) = 0$

Nous voulons maintenant écrire cette équation sous la forme standard d'une équation quadratique. Pour ce faire, nous devons développer le côté droit de l'expression à l'aide de la méthode FOIL.

$\Rightarrow x^{2} - 4 x + \frac{1}{3} x - \frac{4}{3} = 0 \Rightarrow x^{2} - \frac{11}{3} x - \frac{4}{3} = 0$

En multipliant l'ensemble de l'équation par 3, nous obtenons finalement

$\Rightarrow 3 x^{2} - 11 x - 4 = 0$

Techniques de factorisation pour les équations quadratiques

Nous pouvons factoriser les équations quadratiques en identifiant certains modèles dans une expression donnée. La factorisation est une méthode qui consiste à simplifier la forme standard d'une équation quadratique en forme d'ordonnée à l'origine. Cela nous permet de localiser les racines de l'expression et de tracer les ordonnées à l'origine du graphique correspondant. Il existe quatre façons de factoriser les équations quadratiques. Elles sont décrites dans le tableau ci-dessous.

Technique d'affacturage	Cas général
Le plus grand facteur commun (GCF)	$a^{3} b^{2} - 3 a b^{2} = a b^{2} (a^{2} - 3)$
Différence de deux carrés	$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
Trinômes à carré parfait	$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2} a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$
Trinômes généraux	$a c x^{2} + (a d + b c) x + b d = (a x + b) (c x + d)$

Il est utile de noter que la méthode FOIL peut également être utilisée pour factoriser une équation quadratique en produit de deux binômes. Remarque que le produit du coefficient de ^x2 et du terme constant est abcd. De même, la multiplication des deux termes du coefficient de x donne également abcd. Une fois que nous avons factorisé notre équation quadratique donnée, nous pouvons la résoudre en utilisant la propriété du produit nul.

(a x + b) (c x + d) = \underset{F}{\underset{⏟}{a x \times c x}} + \underset{O}{\underset{⏟}{a x \times d}} + \underset{I}{\underset{⏟}{b \times c x}} + \underset{L}{\underset{⏟}{b \times d}} = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d

Propriété du produit nul

Pour tout nombre réel a et b, si ab = 0, alors soit a = 0, soit b = 0, soit a et b sont tous deux égaux à zéro.

Pour la forme de l'ordonnée à l'origine y = a(x - p)(x - q), en fixant y = 0, on obtient x - p = 0 et x - q = 0. En résolvant cela, on obtient x = p, x = q. Le même concept s'applique également à la forme généralisée où y = a(bx + c)(dx + e). Ici, en fixant y = 0, on obtient bx + c = 0 et dx + e = 0. Par conséquent, $x = - \frac{c}{b}, x = - \frac{e}{d}$ .

Voici quelques exemples pratiques qui illustrent ce concept.

Factorise l'équation quadratique ^3x2 = 9x et représente graphiquement la fonction correspondante.

Solution

Nous commençons par réarranger l'équation sous la forme standard d'une équation quadratique

$3 x^{2} - 9 x = 0$

Remarque que nous pouvons factoriser 3x de l'expression ci-dessus comme suit

$3 x (x - 3) = 0$

En vertu de la propriété du produit nul, les racines de cette fonction sont les suivantes

$3 x = 0 \Rightarrow x = 0 x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

Puisque le coefficient de ^x2 est a = 3 > 0, la parabole s'ouvre vers le haut. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 3, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Factorise l'équation quadratique ^6x2 = 1 - x et représente graphiquement la fonction correspondante.

Solution

Nous commençons par réarranger l'équation sous la forme standard d'une équation quadratique

$6 x^{2} + x - 1 = 0$

Il s'agit d'un trinôme général que nous pouvons factoriser par (ax + b)(cx + d). Note que le coefficient 6 peut être factorisé sous la forme $6 \times 1 o r 2 \times 3$ tandis que la constante -1 peut être factorisée comme $- 1 \times 1$ .

N'oublie pas que tu dois tester toutes les paires et positions possibles pour ces deux produits. En procédant par essais et erreurs, nous pouvons factoriser cette équation comme suit

$(3 x - 1) (2 x + 1) = 0$

Par la propriété du produit nul, les racines de cette fonction sont

$3 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} 2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$

Comme le coefficient de ^x2 est a = 6 > 0, la parabole s'ouvre vers le haut. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 4, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Factorise l'équation quadratique ^x2 - 25 = 0 et représente graphiquement la fonction correspondante.

Solution

Note que $25 = 5^{2}$ .

Ainsi, l'équation prend la forme de la différence de deux carrés. Par conséquent, nous pouvons factoriser cette équation comme suit

$x^{2} - 25 = 0 \Rightarrow (x - 5) (x + 5) = 0$

Par la propriété du produit nul, les racines de cette fonction sont

$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5$

Comme le coefficient de ^x2 est a = 1 > 0, la parabole s'ouvre vers le haut. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 5, Aishah Amri - StudySmarter Originals

La propriété de la racine carrée

Nous pouvons également résoudre les équations quadratiques en utilisant la propriété de la racine carrée. Cette technique ne peut être utilisée que pour résoudre des équations quadratiques dont l'expression quadratique est un carré parfait.

Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un nombre entier. En particulier, c'est le produit d'un entier par lui-même.

Le nombre imaginaire i est dérivé de ⁱ² = -1. La racine carrée de -1 est donc i.

La propriété de la racine carrée

Pour tout nombre réel n, si ^x2 = n, alors $x = \pm \sqrt{n}$

Voyons quelques exemples pratiques.

Résous l'équation quadratique ^x2 - 12x + 36 = 25 en utilisant la propriété de la racine carrée.

Solution

Remarque que le côté gauche de cette expression prend la forme d'un trinôme carré parfait. En factorisant cette expression, nous obtenons

$x^{2} - 12 x + 36 = 25 \Rightarrow {(x - 6)}^{2} = 25$

En utilisant la propriété de la racine carrée pour résoudre cette expression, nous obtenons

$\Rightarrow x - 6 = \pm \sqrt{25} \Rightarrow x = \pm \sqrt{25} + 6 \Rightarrow x = \pm 5 + 6$

Les deux racines sont donc x = 1 et x = 11. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 6 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

En zoomant sur ce graphique, nous voyons que les racines sont bien x = 1 et x = 11.

Exemple 6 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Résous l'équation quadratique ^x2 + 8x + 16 = 20 en utilisant la propriété de la racine carrée.

Solution

Remarque que le côté gauche de cette expression prend la forme d'un trinôme carré parfait. En factorisant cette expression, nous obtenons

$x^{2} + 8 x + 16 = 20 \Rightarrow {(x + 4)}^{2} = 20$

En utilisant la propriété de la racine carrée pour résoudre cette expression, nous obtenons

$\Rightarrow x + 4 = \pm \sqrt{20} \Rightarrow x = \pm \sqrt{20} - 4 \Rightarrow x = \pm 2 \sqrt{5} - 4$

Ainsi, les deux racines sont

$x = - 2 \sqrt{5} - 4 \approx - 8.47 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s) x = 2 \sqrt{5} - 4 \approx 0.47 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Une esquisse de ce graphique est présentée ci-dessous.

Exemple 7 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

En zoomant sur ce graphique, nous voyons que les racines sont approximativement x ≈ -8,47 et x ≈ 0,47.

Exemple 7 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Compléter le carré

Dans la plupart des cas, les équations quadratiques ne se présentent pas sous la forme de carrés parfaits. Cependant, nous pouvons manipuler l'expression pour qu'elle prenne la forme d'un carré parfait en utilisant la méthode du carré complet. Les étapes de cette technique sont décrites ci-dessous.

1. Définis l'équation quadratique comme ^ax2 + bx + c = 0 ;

2. Divise l'équation par $a$ comme

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

;

3. Apporte la constante $\frac{c}{a}$ au côté droit de l'expression comme

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}

;

4. Divise par deux le coefficient de x et élève le résultat au carré. Ajoute cette valeur à chaque côté de l'équation comme suit

x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

;

5. Complète le carré du côté gauche et évalue la constante du côté droit comme suit

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

;

6. Nous pouvons maintenant utiliser la propriété de la racine carrée pour résoudre cette équation quadratique comme suit

x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{- \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}}

;

7. Ainsi, les solutions de l'équation quadratique donnée sont

x = \pm \sqrt{- \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} - \frac{b}{2 a}

Résous l'équation quadratique ^x2 - 10x + 24 = 0 en complétant le carré.

Solution

Soustrais 24 des deux côtés de l'équation comme suit

$x^{2} - 10 x + 24 = 0 \Rightarrow x^{2} - 10 x = - 24$

Pour compléter le carré de cette expression, nous devons trouver les valeurs manquantes de

$x^{2} - 10 x + □ = - 24 + □$

Puisque

${(- \frac{10}{2})}^{2} = {(- 5)}^{2} = 25$

nous devons ajouter 25 de chaque côté pour équilibrer l'équation.

$\Rightarrow x^{2} - 10 x + 25 = - 24 + 25 \Rightarrow x^{2} - 10 x + 25 = 1$

Réécris le côté gauche comme un carré parfait en le factorisant.

$\Rightarrow {(x - 5)}^{2} = 1$

Nous pouvons maintenant utiliser la propriété de la racine carrée

$\Rightarrow x - 5 = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \Rightarrow x = \pm 1 + 5$

Ainsi, les deux solutions sont x = 4 et x = 6. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 8, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Résous l'équation quadratique ^3x2 + 10x - 8 = 0 en complétant le carré.

Solution

Divise l'équation par le coefficient 3

$3 x^{2} + 10 x - 8 = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{8}{3} = 0$

Ajoute $\frac{8}{3}$ aux deux côtés

$\Rightarrow x^{2} + \frac{10}{3} x = \frac{8}{3}$

Pour compléter le carré de cette expression, nous devons trouver les valeurs manquantes de

$x^{2} + \frac{10}{3} x + □ = \frac{8}{3} + □$

Puisque

${(\frac{10}{2 \times 3})}^{2} = {(\frac{5}{3})}^{2} = \frac{25}{9}$

nous devons ajouter $\frac{25}{9}$ à chaque côté pour équilibrer l'équation

$\Rightarrow x^{2} + \frac{10}{3} x + \frac{25}{9} = \frac{8}{3} + \frac{25}{9} \Rightarrow x^{2} + \frac{10}{3} x + \frac{25}{9} = \frac{8}{3} + \frac{25}{9} = \frac{49}{9}$

Réécris le côté gauche comme un carré parfait en le factorisant.

$\Rightarrow {(x + \frac{5}{3})}^{2} = \frac{49}{9}$

Nous pouvons maintenant utiliser la propriété de la racine carrée

$\Rightarrow x + \frac{5}{3} = \pm \sqrt{\frac{49}{9}} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} - \frac{5}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{7}{3} - \frac{5}{3}$

Ainsi, les deux solutions sont $x = - 4 a n d x = \frac{2}{3}$ . Le graphique est affiché ci-dessous.

Exemple 9 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

En zoomant sur ce graphique, nous voyons que les racines sont vraies comme il se doit.

Exemple 9 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

La formule quadratique

Une autre façon de résoudre les équations quadratiques consiste à utiliser la formule quadratique. Cet outil est très utile lorsqu'il s'agit d'équations quadratiques qui produisent des racines irrationnelles. Cependant, nous pouvons utiliser cette formule pour résoudre toutes les formes d'équations quadratiques. Cela signifie que nous pouvons également utiliser cette formule pour trouver des solutions rationnelles !

Formule quadratique

Les racines d'une équation quadratique de la forme ax2⁺ bx + c = 0, où a ≠ 0, peuvent être trouvées par la formule suivante.

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Identifie le nombre et le type de racines de l'équation quadratique ^3x2 + 5x + 1 = 0 . Détermine les racines de cette expression à l'aide de la formule quadratique.

Solution

Ici , $a = 3, b = 5 a n d c = 1 .$

Nous commençons par trouver la valeur du discriminant comme suit

$D = b^{2} - 4 a c = {(5)}^{2} - 4 (3) (1) \Rightarrow D = 25 - 12 \Rightarrow D = 13$

Puisque D > 0, nous devons avoir deux racines réelles. Note également que D n'est pas un carré parfait et que les racines de cette équation quadratique doivent donc être irrationnelles. Nous allons maintenant utiliser la formule quadratique pour déterminer ces racines.

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (5) \pm \sqrt{13}}{2 (3)} \Rightarrow x = \frac{- 5 \pm \sqrt{13}}{6}$

Les deux racines sont donc

$x = \frac{- 5 - \sqrt{13}}{6} \approx - 1.43 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s) x = \frac{- 5 + \sqrt{13}}{6} \approx - 0.23 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 10, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Détermine le nombre et le type de racines de l'équation quadratique ^x2 - 6x + 10 = 0 . Détermine les racines de cette expression à l'aide de la formule quadratique.

Solution

Ici , $a = 1, b = - 6 a n d c = 10 .$

Nous commençons par trouver la valeur du discriminant sous la forme suivante

$D = {(- 6)}^{2} - 4 (1) (10) \Rightarrow D = 36 - 40 \Rightarrow D = - 4$

Puisque D < 0, nous devons avoir deux racines complexes conjuguées. Nous allons maintenant utiliser la formule quadratique pour déterminer ces racines.

$x = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{- 4}}{2 (1)} \Rightarrow x = \frac{6 \pm i \sqrt{4}}{2} \Rightarrow x = \frac{6 \pm 2 i}{2} \Rightarrow x = 3 \pm i$

Ainsi, les deux racines complexes conjuguées sont $x = 3 - i a n d x = 3 + i .$

Le graphique est représenté ci-dessous.

Exemple 11, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Analyse des graphiques d'équations quadratiques

Dans cette section, nous allons nous familiariser avec la forme du sommet d'une équation quadratique. Nous nous référerons ici à l'équation quadratique standard, c'est-à-dire y = x2^{, et nous}observerons comment la manipulation de certains coefficients peut modifier la forme de ce graphique simple. Commençons par la définition suivante.

La forme du sommet d'une équation quadratique est décrite par l'expression y = a(x - h⁾² + k où (h, k) est le sommet de la parabole et x = h est l'axe de symétrie.

Traduction

La forme du sommet est une façon intelligente d'exprimer les équations quadratiques de sorte que nous puissions traduire le graphique en conséquence sur la base de l'équation quadratique standard. Tout d'abord, définissons ce qu'est une translation.

Une translation fait glisser une figure sans en changer la forme ou la taille.

Nous pouvons appliquer ce concept à la représentation graphique des équations quadratiques en modifiant les coefficients ou les constantes d'une expression donnée. Le graphique de la fonction quadratique de base est f(x) = ^x2_.Il est illustré ci-dessous.

Graphique quadratique standard, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Le sommet est ici l'origine, (0, 0) et l'axe de symétrie est x = 0. Disons qu'on nous donne une équation quadratique sous forme de sommet, y = a(x - h⁾² + k. Il y a trois façons de transformer ce graphique. Cela est illustré dans le tableau ci-dessous.

Forme du sommet	Changement de valeur	Tracé du graphique
y = a(x - h⁾² + k	Si a est grand, le graphique devient plus raide (ligne rouge) Si a est petit, le graphique devient plus plat (ligne bleue) Si a est négatif, le graphique s'inverse (ligne verte).	Varier a, Aishah Amri - StudySmarter Originals
La variation de a modifie la fonction dans la direction des y, (le coefficient a affecte la pente du graphique)
y = a(x - h⁾² + k	Si h est négatif, le graphique se déplace de h unités vers la gauche de l'axe des x (ligne rouge). Si h est positif, le graphique se déplace de h unités vers la droite de l'axe des x (ligne bleue).	Variation de h, Aishah Amri - StudySmarter Originals
En faisant varier h, la fonction se déplace de h unités le long de l'axe des x.
y = a(x - h⁾² + k	Si k est négatif, le graphique descend de k unités sur l'axe des y (ligne rouge). Si k est positif, le graphique monte de k unités sur l'axe des ordonnées (ligne bleue).	Variation de k, Aishah Amri - StudySmarter Originals
En faisant varier k, la fonction monte ou descend de k unités sur l'axe des ordonnées.

Exprime l'équation y = ^x2 + 4x + 6 sous forme de sommet et trace le graphique de la fonction.

Solution

Remarque que y = ^x2 + 4x + 6 n'est pas un carré parfait. Nous commençons par compléter le carré de cette expression.

$y = (x^{2} + 4 x + □) + 6 - □$

Pour trouver les valeurs manquantes, nous ajoutons ${(\frac{4}{2})}^{2} = 4$ et équilibrons l'équation en soustrayant 4 comme suit

$y = (x^{2} + 4 x + 4) + 6 - 4$

En écrivant l'équation comme un carré parfait, nous obtenons

$\Rightarrow y = {(x + 2)}^{2} + 2$

Puisque h = -2 et k = 2, le sommet se trouve à (-2, 2). L'axe de symétrie est x = -2. Puisque a = 1, le graphique s'ouvre et a la même forme que le graphique de y = ^x2. De plus, le graphique est translaté de 2 unités vers la gauche et de 2 unités vers le haut.

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 12, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Écris l'équation y = ^-2x2 - 12x + 17 sous forme de sommet et trace le graphique de la fonction.

Solution

Remarque que y = ^-2x2 - 12x + 17 n'est pas un carré parfait. Nous commençons par factoriser les deux premiers termes du côté droit sous la forme suivante

$y = - 2 (x^{2} + 6 x) + 17$

Ensuite, nous compléterons le carré de cette expression.

$y = - 2 (x^{2} + 6 x + □) + 17 - (- 2) □$

Pour trouver les valeurs manquantes, nous ajoutons ${(\frac{6}{2})}^{2} = 9$ et équilibrons l'équation en soustrayant -2(9) comme suit

$y = - 2 (x^{2} + 6 x + 9) + 17 - (- 2) (9)$

En écrivant cette équation comme un carré parfait, nous obtenons

$\Rightarrow y = {- 2 (x + 3)}^{2} + 35$

Le sommet se trouve à (-3, 35), et l'axe de symétrie est x = -3. Puisque a = -2, le graphique s'ouvre vers le bas et est plus étroit que le graphique de y = ^x2. De plus, le graphique est translaté de 1 unité vers la droite et de 2 unités vers le haut.

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 13, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Graphique et résolution d'équations quadratiques - Points clés à retenir

La forme standard d'une équation quadratique est ^ax2 + bx + c = 0 où a ≠ 0.
L'ordonnée à l'origine se trouve en introduisant x = 0 dans la fonction quadratique.
L'ordonnée à l'origine se trouve en mettant la fonction quadratique en équation avec zéro, f(x) = 0
Si a > 0, le graphique a un point minimum et la parabole s'ouvre vers le haut.
Si a < 0, le graphique a un point maximum et la parabole s'ouvre vers le bas.
La coordonnée x du sommet est $x = - \frac{b}{2 a}$
La coordonnée y du sommet est $y = f (- \frac{b}{2 a})$
Il existe quatre façons de factoriser les équations quadratiques
1. Le plus grand facteur commun (GCF)
2. Différence de deux carrés
3. Trinômes parfaits
4. Trinômes généraux
Nous utilisons la propriété du produit nul pour résoudre les équations quadratiques factorisées.
La formule quadratique est utilisée pour trouver les racines d'une équation quadratique et est donnée par la formule suivante $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
Le discriminant est utilisé pour déterminer le nombre et le type de racines d'une équation quadratique donnée et est donné par D = ^b2-4ac.
- Si D > 0, il y a deux racines réelles.
- Si D = 0, il n'y a qu'une seule racine
- Si D < 0, il y a deux racines complexes conjuguées.
La forme d'une équation quadratique est y = a(x - p)(x - q) où p et q sont les racines de l'expression.
La propriété de la racine carrée stipule que pour tout nombre réel n, si ^x2 = n, alors $x = \pm \sqrt{n}$
La méthode du carré complet est utilisée pour résoudre les équations quadratiques en écrivant l'équation sous la forme d'un carré parfait.
La forme du sommet d'une équation quadratique est décrite par l'expression y = a(x - h⁾² + k où (h, k) est le sommet de l'expression.
Nous pouvons utiliser les translations pour représenter graphiquement une fonction quadratique.
Pour la forme du sommet y = a(x - h⁾²⁺ k
- La variation de a modifie la fonction dans le sens des y
- La variation de h modifie la fonction le long de l'axe des x de h unités
- Varier k fait monter ou descendre la fonction sur l'axe des y de k unités.

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Questions fréquemment posées en Résolution et Graphique des Équations Quadratiques

Qu'est-ce qu'une équation quadratique?

Une équation quadratique est une équation polynomiale de degré 2, généralement écrite comme ax^2 + bx + c = 0.

Comment résoudre une équation quadratique?

Pour résoudre une équation quadratique, on peut utiliser la formule quadratique, la factorisation ou la méthode de complétion du carré.

Qu'est-ce qu'un graphique d'une équation quadratique?

Un graphique d'une équation quadratique est une parabole, qui peut ouvrir vers le haut ou vers le bas, selon le signe du coefficient a.

Comment trouver les racines d'une équation quadratique?

On trouve les racines d'une équation quadratique en résolvant l'équation ax^2 + bx + c = 0, généralement avec la formule quadratique x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

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