Signification des relations de récurrence de second ordre
Chaque fois que tu décris une relation d'événements nécessitant des informations provenant de différentes positions temporelles, tu parles de relations de récurrence. Or, les relations de récurrence de second ordre sont des relations qui nécessitent des informations deux pas en arrière pour obtenir l'information que tu veux.
Les relations de récurrence de deuxième ordre sont des relations de récurrence de la forme \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\] pour tous les entiers \(n\) supérieurs à un entier fixe, \(A\) et \(B\) sont des constantes et \(f(n)\) est un polynôme.
Voici des exemples de relations de récurrence du deuxième ordre,
- \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}+3\),
- \(u_{n}=u_{n-1}-4u_{n-2}\),
- \(u_{n+1}=-4u_{n}+7u_{n-1}+n^2\).
Les relations de récurrence du second ordre sont classées en relations de récurrence homogènes et non homogènes.
Relations de récurrence homogènes du second ordre
Les relationshomogènes du second ordre sont des relations qui montrent uniquement une relation entre les termes de la séquence à différentes itérations.
Les relations de récurrence homogènes du second ordre sont de la forme suivante : [u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}] pour tous les entiers \(n\) supérieurs à un certain entier fixe, \(A\) et \(B\) étant des constantes.
Voici des exemples de relations de récurrence homogènes du second ordre,
- \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}\),
- \(u_{n}=u_{n-1}-4u_{n-2}\),
- \(u_{n+1}=-4u_{n}+7u_{n-1}\).
Relations de récurrence du second ordre non homogènes
Les relations d'ordre 2 non homogènes sont des relations qui montrent une relation entre les termes de la séquence à différentes itérations ayant un peu d'information supplémentaire, généralement un polynôme en termes de \(n\N). En fait, il s'agit de la définition générale introduite dans le tout premier paragraphe de cet article.
Les relations de récurrence non homogènes du second ordre sont des relations de récurrence de la forme \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\] pour tous les entiers \(n\) supérieurs à un certain entier fixe, \(A\) et \(B\) sont des constantes et \(f(n)\) est un polynôme.
Voici des exemples de relations de récurrence non homogènes du second ordre,
- \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}+3\),
- \(u_{n}=u_{n-1}-4u_{n-2}+n+1\),
- \(u_{n+1}=9u_{n}+3u_{n-1}-7n^2\)
Résolution des relations de récurrence du second ordre
Lors de la résolution d'une relation de récurrence du second ordre de la forme
\[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\]
nous recherchons une expression du terme \(n^{\text{th}}\), qui prend la forme de
\N-[u_{n}=c(n)+p(n),\N]
où \N(c(n)\Nest la fonction complémentaire et \N(p(n)\Nest la fonction particulière.
La toute première étape de la résolution des relations de récurrence du second ordre consiste à résoudre sa partie homogène, également appelée équation réduite. En cachant \(f(n)\), tu obtiendras la partie homogène d'une relation de récurrence,
\[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}, \]
et pour résoudre cette partie, tu dois trouver ce que nous appelons la fonction complémentaire \(c(n).\N).
Maintenant, pour trouver la fonction complémentaire, nous procédons comme suit. Nous cherchons une expression de la forme \N(u_{n}=r^n\N) où \N(u_{n}\N) satisfait à
\N- u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}. \N- [u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}. \N]
En substituant, on obtient
\[\begin{align} u_{n+2}&=Au_{n+1}+Bu_{n} \N- r^{n+2}&=Ar^{n+1}+Br^{n}\N- r^2-Ar-B&=0\Nend{align}\N]
\(r^2-Ar-B=0\) est appelée l'équation caractéristique et le nombre de solutions qu'elle possède déterminera la forme générale de la fonction complémentaire \(c(n).\).
Nous distinguons trois cas pour l'équation caractéristique \(r^2-Ar-B=0.\N-)
- Si \(r^2-Ar-B=0\) a deux solutions réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\), alors \[u_n=Cr_{1}^n+Dr_{2}^n,\] pour certaines constantes \(C\) et \(D\).
- Si \(r^2-Ar-B=0\) a une racine double \(r\), alors \[u_n=Cr^n+Dnr^n.\]
- Si \(r^2-Ar-B=0\) a deux racines complexes \(z_1\) et \(z_2\), alors \[u_n=C z_1^n+Dz_2^n,\] pour certaines constantes \(C\) et \(D\).
Quant à la solution particulière \N(p(n)\N), elle prend la forme du polynôme \N(f(n).\N).
Maintenant, passons à l'action et récapitulons les étapes du calcul !
Étape 1. Trouve l'équation réduite en fixant \(f(n)=0\).
Pour les relations de récurrence homogènes, l'équation réduite est la même que l'équation de la relation de récurrence. Cela te donne une équation de la forme \(u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}\).
Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résous-la pour \(r\).
Étape 3. Trouve la fonction complémentaire en utilisant les valeurs de \(r\).
| Racines réelles et distinctes \ (r_{1}\) et \ (r_{2}\) | \(c(n)=Cr_{1}^{n}+D r_{2}^{n}\) |
| Racines réelles répétées \N (r_{1}=r_{2}=r\N) | \(c(n)=Cr^{n}+Dnr^{n}\) |
| Racines complexes \ (r_1=z_1\) et \(r_{2}=z_2\) | \N(c(n)=C z_1^n+D z_2^n \N) |
Étape 4. Trouve la forme générale de la solution particulière et substitue \(p(n)=u_{n}\) à l'équation originale et résous les inconnues.
Étape 5. En utilisant la valeur initiale donnée dans la question, trouve la valeur de \(C\) et \(D\).
Les exemples sont toujours une bonne idée pour comprendre le sujet, alors c'est parti !
Exemple de résolution d'une relation de récurrence non homogène du second ordre avec des racines réelles distinctes
Résous la relation de récurrence \ (u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_{n}+4n+12\) avec les valeurs initiales \(u_{1}=-1\) et \(u_{2}=16\).
Solution
Étape 1. Trouve l'équation réduite en fixant \(f(n)=0\), pour obtenir
$$u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n.$$
Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résous pour \(r\).
L'équation caractéristique est donnée par \N(r^2-2r-3=0,\N). En la résolvant, on obtient \N(r_1=-1) et \N(r_2=3.\N).
Étape 3. Trouve la fonction complémentaire \(c(n).\N-)
\[c(n)=Cr_1^{n}+Dr_2^{n}=C(-1)^n+D 3^n\]
Étape 4. Trouve la forme de la solution particulière et substitue \(p(n)=u_{n}\) à l'équation originale et résous les inconnues.
Puisque \(f(n)=4n+12\), la solution particulière prend la forme \(p(n)=an+b\).
Avec \(p(n)=u_n=an+b\), \(p(n+1)=u_{n+1}=a(n+1)+b\) et \(p(n+2)=u_{n+2}=a(n+2)+b\).
En les substituant à l'équation originale, on obtient
\N- [\N- u_{n+2}&=2u_{n+1}+3u_n+4n+12 \N- a(n+2)+b&=2(a(n+1)+b)+3(an+b)+4n+12 \N- an+2a+b&=2an+2a+2b+3an+3b+4n+12 \N- end{align}\N].
Pour résoudre \(a\) et \(b\), tu dois comparer les coefficients.
En comparant les coefficients de \(n\), on obtient ,
\N- [\N- a&=2a+3a+4 \N- a&=-1 \Nend{align}\N]
La comparaison des termes constants donne,
\[\N- 2a+b&=2a+2b+3b+12 \N- b&=-3 \Nend{align}\N].
Par conséquent, la solution particulière est \N(p(n)=-n-3.\N)
La solution générale est donc \(u_n=C(-1)^n+D3^{n}-n-3.\N-)
Étape 5. En utilisant les valeurs initiales données dans la question, trouve les valeurs de \(C\N) et \N(D\N).
Puisque les valeurs initiales sont \(u_{1}=-1\) et \(u_{2}=16\), nous avons
\[\N- Début{align} u_1=-1&=C(-1)+D(3)-1-3 \N -C+3D&=3\NFin{align}\N]
\N- [\N- u_2=16&=C(-1)^2+3^2D-2-3 \N- C+9D&=21 \Nend{align}\N]
En résolvant simultanément les équations ci-dessus, nous obtenons \(C=3\) et \(D=2\).
Par conséquent, la solution est l'équation en forme fermée,
$$u_n=3\Nfois (-1)^n+2\Nfois 3^n -n-3.$$
Exemple de résolution d'une relation de récurrence homogène du second ordre avec des racines répétées
Résous la relation de récurrence \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_{n}\) avec les valeurs initiales \(u_{1}=1\) et \(u_{2}=4\).
Solution
Étape 1. Trouve l'équation réduite.
Comme il s'agit d'une équation homogène, nous avons $$u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_{n}.$$
Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résous pour \(r\).
L'équation caractéristique est donnée par,
\N-[r^2-6r-9=0\N]
Par conséquent, \N(r_1=r_2=r=3.\N)
Étape 3. Trouve la fonction complémentaire.
Puisque nous avons des racines répétées, la fonction complémentaire est donnée par ,
\[\N- Début{align} c(n)&= Cr^n+Dnr^n=C\Nfois 3^n+D n\Nfois 3^n \NFin{align}\N].
Étape 4. Puisque \(f(n)=0\) il n'y a pas de solution particulière.
Par conséquent, la solution générale est \N(u_{n}=(C+Dn)\Nfois3^{n}\N).
Étape 5. En utilisant les valeurs initiales données, nous trouvons les valeurs de \(C\N) et \N(D\N).
Puisque \(u_{1}=1\N) et \N (u_{2}=4\N), nous avons
\[\begin{align} u_1&=1=3(C+D)=3C+3D\\ u_{2}&=4=9(C+2D)=9C+18D\end{align}\]
La résolution simultanée donne,
$$C=\frac{2}{9}, D=\frac{1}{9}.$$ Par conséquent,
$$ u_{n}=\left(\frac{2}{9}+\frac{n}{9}\right)\times3^{n}.$$
Exemple de résolution d'une relation de récurrence homogène du second ordre avec des racines complexes
Résous la relation de récurrence \(u_{n+2}=8u_{n+1}-41u_{n}\) avec les valeurs initiales \(u_{1}=24\) et \(u_{2}=-54\).
Solution
Etape 1. Trouve l'équation réduite.
Comme il s'agit d'une équation homogène, nous avons $$u_{n+2}=8u_{n+1}-41u_n.$$
Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résous pour \(r\).
L'équation caractéristique est donnée par \N[r^2-8r-41=0,\N] donc \N(r_1=z_1=4+5i\N) et \N(r_2=z_2=4-5i\N).
Étape 3. Trouve la fonction complémentaire.
\[\begin{align} c(n)&=Cz_{1}^{n}+Dz_{2}^{n} \N- &=C(4+5i)^n+D(4-5i)^n. \N- [end{align}\N]
Étape 4. Trouve la solution particulière.
Puisque \(f(n)=0\), il n'y a pas de solution particulière.
Nous avons maintenant une solution générale, \(u_n=C(4+5i)^n+D(4-5i)^n\).
Étape 5. En utilisantles valeurs initiales données dans la question, trouve les valeurs de \(C\N) et \N(D.\N).
Puisque les valeurs initiales sont \(u_{1}=24\) et \(u_{2}=-54\), nous avons
\[\begin{align}u_1&=24=C(4+5i)+D(4-5i)\\ u_2&=-54=C(4+5i)^2+D(4-5i)^2 \end{align}\]
En résolvant simultanément, on obtient \(C=3\) et \(D=3\).
Par conséquent, la solution est l'équation en forme fermée,
$$u_n=3(4+5i)^n+3(4-5i)^n.$$
Relation de récurrence du second ordre - Principaux enseignements
- Les relations de récurrence du deuxième ordre sont celles dans lesquelles chaque terme de la séquence est une fonction des deux termes précédents et sont de la forme \(u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}+f(n)\) où \(f(n)\) est un polynôme et \(A\) et \(B\) sont des constantes.
- Les relations de récurrence du second ordre sont dites homogènes si \(f(n)=0\) et non homogènes dans le cas contraire.
- La résolution des relations de récurrence du deuxième ordre consiste à trouver la solution sous forme fermée.
- La méthode que nous utilisons pour résoudre ces relations de récurrence s'appelle la technique des caractéristiques et se résume aux étapes suivantes,
- Étape 1. Trouve l'équation réduite en fixant \(f(n)=0\).
- Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résout \(r\).
- Étape 3. Trouve la fonction complémentaire.
- Étape 4. Trouve la solution particulière et substitue \(p(n)=u_{n}\) à l'équation originale et résout l'inconnue.
- Étape 5. Maintenant que tu as une forme générale pour la solution, utilise les valeurs initiales données dans la question pour trouver les inconnues restantes.
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