Résolution des équations trigonométriques

$2{\sin }^{2}a+3\sin a-1=0$

Étape 1 : remplace ta fonction trigonométrique par une variable de ton choix.

Dans notre exemple, nous dirons que sin (a) = x

$2x^2+3x-1=0$

Étape 2 : Utilise la formule quadratique pour résoudre ta variable.

$$\begin{gathered} a=2b=3c=-1 \\ x=\frac{-\left(3\right)\pm \sqrt{3^2-4\left(2\right)(-1)}}{2\left(2\right)} \\ =\frac{-3\pm \sqrt{17}}{4} \end{gathered}$$

Étape 3 : Remplace ta variable par la fonction et prends l'inverse de la fonction pour résoudre l'équation +. ( $\pm ,meansthereare2solutions$)

$$\begin{gathered} {\sin }^{-1}\left(\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\right)=18.11° \\ x=\sin (18.11)=0.28 \end{gathered}$$

Étape 4 : Utilise le cercle unitaire pour déterminer la solution de l'équation - car le domaine de la fonction inverse est $\left[-1,1\right]$.

Le sinus étant positif dans les premier et deuxième quadrants, la deuxième solution serait :

$$\begin{gathered} x=\mathrm{\pi }-0.28 \\ =2.86 \end{gathered}$$

$\cos x\cos \left(2x\right)+\sin x\sin \left(2x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1 : simplifie ton équation à l'aide d'une identité connue.

Dans cet exemple, il s'agit de la formule de différence pour le cosinus : $\cos a\cos b+\sin a\sin b=\cos (a-b)$

$$\begin{gathered} \cos x\cos \left(2x\right)+\sin x\sin \left(2x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ c\mathrm{os}(x-2x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos (-x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos \left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},inthispartweusedthenegativeangletrigidentity:\cos (-x)=\cos \left(x\right) \end{gathered}$$

Étape 2 : Utilise le cercle unitaire pour déterminer les valeurs de ton angle (x).

Dans notre exemple, nous nous concentrerons sur les 4e et 1er quadrants car le cosinus est positif dans ces quadrants.

Par conséquent , $x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}andx=\frac{11\mathrm{\pi }}{6}$

$\cos \left(2x\right)=\frac{1}{2}on[0,2\mathrm{\pi })$

Étape 1 : Détermine les quadrants de tes solutions initiales et les angles possibles en utilisant le cercle unitaire.

$$\begin{gathered} {\cos }^{\_1}\left(\frac{1}{2}\right)=60° \\ \therefore possibleanglesare2x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}and2x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

Étape 2 : Calcule la valeur de tes solutions initiales en divisant l'angle possible par le nombre d'angles.

$$\begin{gathered} 2x=\frac{\mathrm{\pi }}{3} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{6} \\ 2x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3} \\ x=\frac{5\mathrm{\pi }}{6} \end{gathered}$$

Étape 3 : Détermine tes autres solutions en tournant autour du cercle par le nombre d'angles et en ne sélectionnant que les réponses qui se trouvent dans ta fourchette.

$$\begin{gathered} Firstquadrant2x=\frac{\mathrm{\pi }}{3} \\ \mathrm{First}\mathrm{rotation}:2x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi } \\ =\frac{7\mathrm{\pi }}{3} \\ \mathrm{x}=\frac{7\mathrm{\pi }}{6} \\ \mathrm{This}\mathrm{value}\mathrm{is}\mathrm{between}0\mathrm{and}2\mathrm{\pi }\mathrm{and}\mathrm{is}\mathrm{therefore}\mathrm{a}\mathrm{solution} \\ \mathrm{Second}\mathrm{Rotation}:2\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi } \\ =\frac{13\mathrm{\pi }}{3} \\ \mathrm{x}=\frac{13\mathrm{\pi }}{6} \\ \mathrm{This}\mathrm{value}\mathrm{is}\mathrm{greater}\mathrm{than}2\mathrm{\pi }\mathrm{and}\mathrm{is}\mathrm{therefore}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{solution}. \\ \mathrm{Fourth}quadrant:2x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3} \\ FirstRotation:2x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi } \\ =\frac{11\mathrm{\pi }}{3} \\ \mathrm{x}=\frac{11\mathrm{\pi }}{6} \\ \mathrm{This}\mathrm{value}\mathrm{is}\mathrm{between}\mathrm{the}\mathrm{range}\mathrm{and}\mathrm{is}\mathrm{therefore}\mathrm{a}\mathrm{solution}. \\ \mathrm{Second}\mathrm{Rotation}:2\mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi } \\ 2\mathrm{x}=\frac{17\mathrm{\pi }}{3} \\ \mathrm{x}=\frac{17\mathrm{\pi }}{6} \\ \mathrm{This}\mathrm{value}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{within}\mathrm{your}\mathrm{range}\mathrm{and}\mathrm{thefore}\mathrm{cant}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{solution}. \end{gathered}$$