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Les équations quadratiques sont définies comme des équations du second degré où au moins une variable ou un terme est élevé à une puissance de 2. La résolution des équations quadratiques se fait en déterminant les racines de l'équation, également appelées x-intercepts. Il s'agit des valeurs de x auxquelles le graphique passe par l'axe des x, comme on peut le voir ci-dessous.
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Équipe enseignants Résolution d'équations quadratiques
Parabole montrant où se situent les intersections des x ou les racines.
Les équations quadratiques sont résolues à l'aide de l'une des méthodes suivantes :
Prendre les racines carrées est une méthode qui peut être utilisée pour résoudre les équations quadratiques lorsqu'il n'y a qu'un seul terme \(x^2\) dans l'équation. Il s'agit d'isoler le terme \(x^2\) et d'utiliser une racine carrée pour résoudre l'équation en trouvant les valeurs de \(x\).
\( 3x^2 = 48 \).
Étape 1 : isole la variable au carré.
\( 3x^2 = 48 \)
\(x^2 = 16\)
Étape 2 : Résous ton équation quadratique en calculant la racine carrée des deux côtés de l'équation. N'oublie pas que tu auras deux solutions parce que la racine carrée d'un nombre peut être positive ou négative .
\( \sqrt{x^2} = ±\sqrt{16} x = ±4 \)
La factorisation consiste à déterminer les termes qui doivent être multipliés ensemble pour obtenir une expression mathématique. La factorisation des équations quadratiques peut se faire de la façon suivante :
Le plus grand facteur commun (PGCF) est une méthode de factorisation qui consiste à déterminer le terme le plus élevé qui se divise également en tous les autres termes. Voyons comment cette méthode fonctionne à l'aide d'un exemple :
\N( 14x^2 - 35x = 0\N)
Étape 1 : Trouve le plus grand facteur commun en identifiant les nombres et les variables que chaque terme a en commun.
\N- 14x^2 = 2 \N- 7 \N- x \N- x \N- \N)
\N- 35x = 5 \Ncdot 7 \Ncdot x \N)
Comme nous pouvons le voir, les facteurs communs aux deux termes sont 7 et x, par conséquent le GCF = 7x.
Étape 2 : Écris chaque terme comme le produit du plus grand facteur commun et d'un autre facteur, c'est-à-dire les deux parties du terme. L'autre facteur peut être déterminé en divisant ton terme par ton FPG.
\(\frac{14x^2}{7x} = 2x \donc 14x^2 = (2x) \cdot 7x\)
\(\frac{35x}{7x} = 5 \contre 35x = 7x \cdot 5\)
Le symbole ∴ signifie "donc".
Étape 3 : Après avoir réécrit chaque terme, réécris l'équation quadratique sous la forme suivante : ab+ac=0
\( 14x^2 - 35x = 7x \cdot (2x) - 7x(5)\)
Étape 4 : applique la loi de la propriété distributive et élimine le plus grand facteur commun.
\N( 7x(2x) -7x(5) = 7x(2x-5)\N)
Étape 5 : Égalise l'expression factorisée à 0 et trouve les ordonnées à l'origine.
\( x_1 : \begin{split} 7x = 0 \\\N x = 0 \Nend {split} \N)
\N- x_2 : \Nbegin{split}2x - 5= 0 \Nx = \Nfrac{5}{2}\Nend {split}\N)
La méthode du carré parfait consiste à transformer un trinôme carré parfait ,
\N( a^2 + 2ab + b^2\N) ou \N( a^2 - 2ab + b^2\N) en un binôme carré parfait, \N( (a + b)^2\N) ou \N( (a - b)^2\N) . Voyons maintenant comment résoudre des équations quadratiques à l'aide de cette méthode :
Étape 1 : Transforme ton équation de la forme standard, \N- ax^2 + bx + c = 0\N- en un trinôme carré parfait, \N- a^2 + 2ab + b^2\N-.
\N- 9x^2 - 12x +4 = (3x)^2 -2(3x)(2) - 2^2\)
Étape 2 : Transforme le trinôme carré parfait en binôme carré parfait,\N( (a + b)^2 \N)\N- (3x)^2 -2(3x)(2) - 2^2 = (3x-2)^2\)
Etape 3 : Calculer la valeur de l'ordonnée à l'origine en égalant le binôme carré parfait à 0 et en résolvant x. \N- (3x - 2)^2 = 0\N-\N- (\Nsqrt{(3x-2^2} = ±\sqrt{0}) \N- (3x - 2 = 0\N-)\( 3x - 2 = 0\)
\N- x = \Nfrac {2}{3} \N)
Le regroupement consiste à regrouper les termes qui ont des facteurs communs avant de les factoriser. Prenons un exemple :
\N( 2x^2 - 7x - 15\)
Étape 1 : Énumère les valeurs de a, b et c.
\N- a = 2, b = -7, c = -15\N)
Étape 2 : Trouve les facteurs qui, multipliés, sont égaux à \(a \cdot c\), et qui, additionnés, sont égaux à b. T où les nombres qui sont le produit de ac et qui s'ajoutent aussi à b.
\N- ac = -30, b = -7\N)
\N- (1 \Ncdot 30 = 30 \N)
\N- 2 \N- 15 = 30
\N(3 \Ncdot 10 = 30 \Nquad 3-10 = -7\N)
\N- (5 \Ncdot 6 = 30 \N)
Les deux nombres sont donc 3 et -10, car leur somme est égale à -7. Les autres facteurs de 30 ne peuvent pas être arrangés de façon à ce qu'ils soient égaux à -7 .
Étape 3 : Utilise ces facteurs pour réécrire le terme x (bx) dans l'expression/équation originale.
\N- 2x^2 - 7x - 15 = 2x^2 + 3x - 10x - 15\N)
Étape 4 : Utilise le regroupement pour factoriser l'expression. Groupe les deux premiers termes et les deux derniers termes ensemble, puis retire les facteurs communs des deux groupes et combine les termes semblables.
\N-( \N- Début{split} (2x^2 + 3x) - (10x - 15) = x (2x + 3) - 5(2x + 3) \N- = (x-5)(2x-3)\N- Fin{split} \N-)
Étape 5 : Égalise l'expression factorisée à 0 et résous les ordonnées à l'origine.
\N( (x - 5) (2x - 3)\N)
\( x_1: \begin{split} x - 5 = 0 \\ x = 5 \end {split} \)
\N- x_2 : \Nbegin{split}2x + 3= 0 \Nx = \Nfrac{-3}{2}\Nend {split}\N)
Compléter le carré, c'est transformer la forme standard de l'équation quadratique en un carré parfait avec une constante supplémentaire. Cela signifie que l'on change \N ( ax^2 + bx + c = 0 \N) en \N(a(x + m)^2 + n \N), où m est un nombre réel et n une constante. Elles sont calculées de la manière suivante : \( m = \frac{b}{2a}\) et \(n = c - \frac{b^2}{4a}\).
\N- 3x^2 - 5x - 7 = 0 \N-Étape 1 : Énumère les valeurs de a, b et c.
\N(a = 3, b = -5, c = -7 \N)
Étape 2 : Calcule la valeur de m à l'aide de l'équation suivante : \( m = \frac{b}{2a}\)
\( \frac{5}{2(3)} m = \frac{-5}{2(3)} \\N = -\frac{5}{6}\end{split}) \)
Étape 3 : calcule la valeur de n à l'aide de l'équation suivante : \( n = c - \frac{b^2}{4a}\)
\N(n = -7 - \Nfrac {(-5)^2}{4(3)}\N)
\(\begin{split} n = -7 - \frac {25}{12} \\\N = - \frac{109}{12} \Nend{split}\N)
Étape 4 : Substitue tes valeurs calculées et la valeur de a dans l'équation suivante : \(a(x + m)^2 + n\)\(3(x - \frac {5}{6})^2 - \frac{109}{12}) \N-Étape 5 : Fais en sorte que ton équation soit égale à 0 et résous ainsi l'équation.\(3(x - \frac{5}{6})^2 - \frac{109}{12} = 0)
\(3(x - \frac{5}{6})^2 = \frac{109}{12}\)
\(x - \frac{5}{6}^2 = \frac{109}{36}\)
\(\sqrt{(x - \frac{5}{6}^2} = ±\sqrt{\frac{109}{36}}\)
\(x - \frac {5}{6} = \pm \frac {\sqrt{109}}{6}\)
\(x_{1,2} = \pm \frac {\sqrt{109}}{6} + \frac{5}{6}\)
\(x_{1} : x = \frac{5 + \sqrt{109}}{6} = 2.57\)
\(x_2 : x = \frac {5-\sqrt{109}}{6} = -0.91 \N-)
La formule quadratique est une formule qui utilise les coefficients et les constantes d'une équation quadratique pour résoudre l'équation en déterminant ses intersections/racines. La formule quadratique est utilisée pour résoudre les équations quadratiques qui sont très difficiles à factoriser. La formule quadratique est la suivante : \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).
\N(b^2 - 4ac\N)est ce que nous appelons le discriminant. En fonction de son signe, on sait combien de solutions a l'équation quadratique donnée. Il est représenté par le symbole suivant :
Représentation graphique de ce que montre le discriminant
Les étapes suivantes vont nous montrer comment résoudre une équation quadratique en utilisant la formule quadratique :
\N( x^2 - 7x + 12 = 0 \N)
Étape 1 : Énumère les valeurs de a, b et c.
\N(a = 1, b = -7, c = 12 \N)
Étape 2 : Calcule la valeur du discriminant.
\N- (\N- Début{split}) \Delta =(-7)^2 -4(1)(12) \\N = 1 \Nend{split}\N)
Étape 3 : Substitue les valeurs de a,b et c dans la formule quadratique et résous les deux racines/solutions.
\(\N- Début{alignement}x_{1} : x&= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}) \\N- &=\Nfrac{-(-7)+\sqrt{1}}{2(1)} \N &= 4 \Nend{align}\N)
\N- (\N- début{align}x_{2} : x&= \frac{-b - \sqrt{\NDelta}}{2a}) \N- &=\Nfrac{-(-7)-\sqrt{1}}{2(1)} \N &= 3 \Nend{align}\N)
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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