Résolution de systèmes d'inégalités

Résous les systèmes d'inégalités suivants.

$\left\{\begin{array}{l}y\le x-1\\ y<–2x+1\end{array}\right.$

Solution

Puisque nous avons déjà isolé la variable y dans les deux inéquations, nous allons tout de suite la représenter graphiquement. Trouvons les points avec lesquels nous devrions les représenter graphiquement. Nous utiliserons ici la méthode de l'ordonnée à l'origine. Quelle sera la valeur de x lorsque y = 0 ? Quelle sera la valeur de y lorsque x = 0 ? Nous pouvons remplacer le signe d'inégalité par un signe d'équation pour faciliter la résolution.

Lorsque $x=0$,

$y=x-1$

$y=0-1$

$y=-1$

$(0,-1)$

Quand $y=0$,

$y=x-1$

$0=x-1$

$x=1$

$(1,0)$

Nous avons maintenant les coordonnées de notre première ligne. Cependant, comme le signe y est ≤, la ligne du graphique sera pleine. Nous pouvons également déterminer quel côté de la ligne devra être ombré mathématiquement en substituant (0, 0) à l'équation pour voir si elle est vraie.

$y\le x-1$

$0\le 0-1$

$0\le -1$

Cela signifie que le point (0, 0) n'est pas inférieur ou égal à -1, par conséquent, nous ombrerons le côté opposé de la ligne où (0, 0) n'existe pas.

Nous allons également représenter graphiquement la deuxième inégalité en trouvant deux points à l'aide de la méthode de l'ordonnée à l'origine. Quelle sera la valeur de x lorsque y = 0 ? Quelle sera la valeur de y lorsque x = 0 ? Nous pouvons remplacer le signe de l'inégalité par le signe de l'équation pour faciliter la résolution.

$y=-2x+1$

Lorsque $x=0$,

$y=-2\left(0\right)+1$

$y=1$

$(0,1)$

Quand $y=0$,

$0=-2\left(x\right)+1$

$-2x=1$

$x=-0.5$

$(-0.5,0)$

Nous avons maintenant les coordonnées de notre deuxième ligne. Cependant, comme le signe à cet endroit est <, la ligne du graphique sera en pointillés. Nous allons également déterminer mathématiquement quel côté de la ligne devra être ombré en substituant (0, 0) à l'équation pour voir si elle est vraie.

$y<-2x+1$

$0<-2\left(0\right)+1$

$0<1$

C'est effectivement vrai, donc nous ombrerons la partie de la ligne qui a le point (0, 0).

La solution du système est l'intersection des deux régions ombrées.

Résous le système d'inéquations suivant.

$\left\{\begin{array}{l}6x-2y\ge 12\\ 3x+4y>12\end{array}\right.$

Solution

Nous allons d'abord représenter graphiquement la première inégalité. Nous trouverons les points en utilisant la méthode de l'ordonnée à l'origine.

$6x-2y=12$

Lorsque $x=0$,

$6\left(0\right)-2y=12$

$y=-6$

$(0,-6)$

Lorsque $y=0$,

$6x-2\left(0\right)=12$

$x=2$

$(2,0)$

Puisque nous avons suffisamment de points pour construire la droite, nous allons tracer notre première inégalité.

Nous allons également tracer le graphique de la deuxième inégalité en trouvant deux points à l'aide de la méthode de l'ordonnée à l'origine.

$3x+4y=12$

Lorsque $x=0$,

$3\left(0\right)+4y=12$

$(0,3)$

Lorsque $y=0$,

$3x+4\left(0\right)=12$

$x=4$

$(4,0)$

La solution du système est l'intersection des deux régions ombrées.

Résous le système d'inéquations suivant.

$\left\{\begin{array}{l}-4x+6y>6\\ 2x-3y>3\end{array}\right.$

Solution

Traçons d'abord le graphique de la première inégalité en utilisant la méthode de l'ordonnée à l'origine.

Lorsque $x=0$,

$-4\left(0\right)+6y=6$

$y=1$

$(0,1)$

Lorsque $y=0$,

$-4x+6\left(0\right)=6$

$x=-1.5$

$(-1.5,0)$

Puisque nous avons suffisamment de points pour construire la droite, nous allons tracer notre première inégalité.

Nous allons également tracer le graphique de la deuxième inégalité en trouvant deux points à l'aide de la méthode de l'ordonnée à l'origine.

$2x-3y=3$

Lorsque $x=0$,

$2\left(0\right)-3y=3$

$y=-1$

$(0,-1)$

Lorsque $y=0$,

$2x-3\left(0\right)=3$

$x=1.5$

$(1.5,0)$

Nous remarquons ici que les deux droites sont parallèles, il n'y a donc pas de région qui se croise. C'est ce qu'on appelle des systèmes sans solution.

Résous l'inégalité ci-dessous et représente-la sur une droite numérique.

$\left\{\begin{array}{l}2x+3\ge 1\\ -x+2\ge -1\end{array}\right.$

Solution

Comme indiqué précédemment, nous allons résoudre chaque inégalité séparément. Nous allons donc prendre la première inégalité.

Nous allons maintenant la résoudre de façon algébrique, en essayant d'isoler la variable x. Pour cela, nous allons soustraire 3 de chaque côté de l'inégalité.

$2x+3-3\ge 1-3$

$2x\ge -2$

Divise les deux côtés de l'inégalité par 2 pour isoler la variable x.

$\frac{2x}{2}\ge \frac{-2}{2}$

$x\ge -1$

La notation de l'intervalle s'écrira comme suit $[-1,\infty )$

Nous avons maintenant une solution pour la première inégalité. Procédons de la même façon pour la deuxième.

$-x+2\ge -1$

Nous voudrons également isoler la variable x dans cette inégalité. Nous allons soustraire 2 de chaque côté de l'inégalité.

$-x+2-2\ge -1-2$

$-x\ge -3$

Nous pouvons maintenant simplement multiplier chaque côté de l'inégalité par -1. Cependant, une règle sur le traitement des inégalités dit que le signe change pour être l'opposé une fois que les deux côtés sont multipliés par un nombre négatif. Par conséquent, ≥ deviendra ≤ .

$-1(-x)\ge -1(-3)$

$x\le 3$

Tu as remarqué que le signe change ci-dessus ?

La notation de l'intervalle s'écrira comme suit $(\infty ,3]$

L'intersection de ces ensembles de solutions est l'ensemble ;

$[-1,3]$

Résous l'inégalité ci-dessous et écris la notation d'intervalle de celle-ci.

$\left\{\begin{array}{l}2x+3<1\\ -x+6<3\end{array}\right.$

Solution

Nous allons résoudre les deux inégalités séparément. Nous commencerons par la première.

$2x+3<1$

Nous tenterons d'isoler les y en soustrayant d'abord 3 de chaque côté de l'inégalité.

$$\begin{gathered} 2x+3-3<1-3 \\ 2x<-2 \end{gathered}$$

Nous diviserons chaque côté de l'inégalité par 2.

$$\begin{gathered} \frac{2x}{2}<\hspace{0.17em}\frac{-2}{2} \\ x<-1 \end{gathered}$$

L'ensemble des solutions en notation d'intervalle est $(\infty ,-1)$.

Nous allons maintenant résoudre la deuxième inégalité.

$-x+6<3$

Nous allons isoler x en soustrayant 6 de chaque côté de l'équation

$$\begin{gathered} -x+6-6<3-6 \\ -x<-3 \\ -1(-x)<-1(-3) \end{gathered}$$

Nous allons multiplier chaque côté de l'inégalité par -1. Le signe change pour être l'opposé une fois que les deux côtés sont multipliés par un nombre négatif. Par conséquent, < deviendra>.

$x>3$

La solution en notation d'intervalle est $(3,\infty )$.