Cet article traite de la résolution d'équations simultanéesa> à l'aide de matrices en les écrivant d'abord sous forme de matrice, puis en explorant différentes méthodes pour les résoudre, comme l'utilisation de matrices inversesa> et la réduction des rangées.
Système d'équations sous forme de matrice
Pour résoudre un ensemble d'équations à l'aide de matrices, tu dois être capable de réécrire ces équations sous forme de matrices.
L'exemple suivant explique le processus en détail.
Réécris la série d'équations suivante sous forme de matrice (également connue sous le nom de forme \(Ax = b\)) :\begin{equation}\begin{split}-4x + 4y + z & = 3 \\11y - 7x + z & = 4 \\-5x + 3y + 2z & = 5 \\\end{split}\qquad\begin{matrix}(1) \\\\N- (2) \N- (3)\end{matrix}\end{equation}
Solution
ÉTAPE 1: Assure-toi que les variables sont dans le même ordre pour chaque équation (c'est-à-dire que si l'ordre que tu choisis pour la première équation est \N(x, y, z\N), alors les variables de chaque équation qui suit doivent également être dans l'ordre \N(x, y, z\N)).
L'ordre que nous choisirons pour cet exemple est \N(x, y, z\N).
Les variables de la deuxième équation ne sont pas dans le bon ordre. Pour corriger cela, il suffit de réarranger l'équation de façon à ce que l'ordre des variables soit le même que pour les deux autres équations.
La deuxième équation ressemblera donc à ceci :
\[-7x + 11y + z = 4].
ÉTAPE 2: Réécris les équations sous forme de matrice.
La première matrice dont nous avons besoin est la matrice des coefficients. Il s'agit d'une matrice carrée qui abrite les coefficients de chaque variable, et sa taille dépend du nombre de variables dans les équations données.
Chaque colonne de la matrice des coefficients contient les coefficients d'une variable spécifique. Par exemple, la colonne 1 contient les coefficients de \(x\). Les colonnes 2 et 3 contiennent les coefficients de \(y\) et \(z\) respectivement. C'est pourquoi l'ordre des variables dans les équations données est si important ; si elles sont dans le mauvais ordre, les coefficients se trouveront dans les mauvaises colonnes.
Chaque ligne de la matrice des coefficients correspond à l'une des équations données. Les coefficients de la ligne 1 proviennent tous de l'équation 1, la ligne 2 contient les coefficients de l'équation 2, etc.
Lorsque nous mettons tout ce qui précède ensemble, nous obtenons donc une matrice qui ressemble à ceci :
\[\begin{bmatrix}-4 & 4 & 1 \\\N 11 & -7 & 1 \N -5 & 3 & 2\Nend{bmatrix}\N]
Comme tu peux le voir, les colonnes 1, 2 et 3 contiennent les coefficients de \(x, y\) et \(z\), respectivement, et les lignes 1, 2 et 3 contiennent les coefficients des équations 1, 2 et 3, respectivement.
La deuxième matrice dont nous avons besoin est une matrice 3 x 1 contenant les variables, et elle est connue sous le nom de matrice des variables. Elle doit toujours être placée à droite de la matrice des coefficients.
Les variables de la matrice sont énumérées du haut vers le bas dans l'ordre que tu as choisi pour elles, et elle doit ressembler à ce qui suit :
\[\begin{bmatrix}x \\\ y \ z\end{bmatrix}\]
La dernière matrice nécessaire est une matrice 3 x 1 qui se trouve à droite du signe égal. Elle s'appelle la matrice des constantes et, comme pour la matrice des coefficients, chaque ligne contient la valeur constante appartenant à l'équation correspondante.
Elle se présente comme suit :
\[\begin{bmatrix}3 \\\N4 \N5\Nend{bmatrix}\N]
Notre réponse finale se compose des trois matrices et se présente comme suit :
\[\N-begin{bmatrix}-4 & 4 & 1 \N-11 & -7 & 1 \N--5 & 3 & 2 \N-\N-end{bmatrix}\N-begin{bmatrix}x \N- y \N- z\N-end{bmatrix}=\N-begin{bmatrix}\N- 4 \N- 5 \N-\N-end{bmatrix}\N-]
Que se passerait-il si tu multipliais les matrices ?
\N-\N-\N--4 & 4 & 1 \N- 11 & -7 & 1 \N- 5 & 3 & 2\N-\N- \N-x \N- y \N- z \N-& = \N-3 \N- 4 \N- 5\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-\N- espace{1cm}\N-\N -4x & 4y & z \N -11x & -7y & z \N -5x & 3y & 2z\N- & = \N- \N-3 \N- 4 \N- 5 \N- \N- \N- \\N-\Nend{alignement}\N]
Le résultat nous donne les équations originales. C'est la raison pour laquelle ces matrices spécifiques sont présentées d'une manière si particulière.
Matrices augmentées
La méthode la plus courante pour résoudre des équations simultanées avec des matrices consiste à utiliser la réduction des lignes. Pour ce faire, il faut pouvoir écrire les équations données dans une matrice augmentée.
En utilisant les mêmes équations que dans l'exemple précédent, réécris-les dans une matrice augmentée.
\N-[\N-{equation}\N-{split}-4x + 4y + z & = 3 \N-{split}-7x +11y + z & = 4 \N-{split}-5x + 3y + 2z & = 5 \N-{split}\N-{split}\N-{equation} \N]
Solution
ÉTAPE 1: Assure-toi d'abord que tes équations ont toutes le même ordre. Dans ce cas, il n'y a pas d'équation à réarranger.
ÉTAPE 2: Écris les coefficients des variables pour commencer la matrice.
\N-\Ngauche[\Ncommencer{array}{rrr}-4 & 4 & 1 \N 11 & -7 & 1 \N -5 & 3 & 2\Nend{array}\Ndroit.\N]
ÉTAPE 3: Trace une ligne verticale à droite des coefficients.
\N-\N- gauche[\N- début{array}{rrr|}-4 & 4 & 1 \N- 11 & -7 & 1 \N- 5 & 3 & 2\N- fin{array}\N-droit.\N]
ÉTAPE 4: Écris les constantes sur le côté droit de la ligne et ferme les parenthèses.
Ta réponse devrait ressembler à ce qui suit :
\[\left[\begin{array}{rrr|r}-4 & 4 & 1 & 3 \\r11 & -7 & 1 & 4 \r-5 & 3 & 2 & 5 \rend{array}\rright]\r]
Résoudre des équations linéaires simultanées à l'aide de matrices
Interprétation des systèmes d'équations
Il est possible qu'un système d'équations n'ait pas de solution unique. On peut utiliser des matrices augmentées pour déterminer le nombre de solutions, s'il y en a, à un système d'équations.
Si on nous donne un système d'équations avec trois équations dans trois inconnues, nous pouvons modéliser les trois équations comme des plans. Une solution unique se trouverait à l'intersection de tous les plans. Si le système a un nombre infini de solutions, cela signifie que les trois plans se rencontrent sur une ligne d'intersection. Un système sans solution n'aura pas de point d'intersection entre les trois plans.
Nombre infini de solutions
Certains systèmes d'équations peuvent avoir un nombre infini de solutions. Cela est dû au fait qu'une variable libre fait partie des équations.
Une variable libre est une variable dont la valeur peut changer librement.
L'exemple suivant montre comment déterminer le nombre infini de solutions d'un système d'équations.
Calcule la solution du système d'équations suivant :
\[\begin{align}x + 5y - z & = 1 \\\N-2x + 7y - 4z & = 0 \N-4x + 11y -10z & = -2\N- end{align}\N]
Solution
ÉTAPE 1: Écris la matrice augmentée.
\N-[\N-gauche[\N-{begin{array}{rrr|r}1 & 5 & -1 & 1 \N-{ 2 & 7 & -4 & 0 \N-{ 4 & 11 & -10 & -2\N-{end{array}\N-{right]\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-}}]
ÉTAPE 2: Effectuer les calculs sur les lignes.
Nous effectuons les opérations suivantes sur les lignes :
\[\begin{align}R_{3} - 2R_{2} & \Nà R_{3} \\N-R_{2} - 2R_{1} & \Nà R_{2} \\R_{3} - R_{2} & \Nà R_{3} \Nend{align}\N]
pour obtenir la matrice augmentée :
\[\N- gauche[\N- début{array}{rrr|r}1 & 5 & -1 & 1 \N- 0 & -3 & -2 & -2 \N- 0 & 0 & 0 & 0\N- fin{array}\N-droit]\N]
Sous la forme \N(Ax = B\N), cela se présente comme suit :
\[\begin{bmatrix}1 & 5 & -1 \\N 0 & -3 & -2 \N 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \N y \N z \Nend{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \N -2 \N 0\Nend{bmatrix}\N]
Nous savons donc que \(x + 5y - z = 1\) et \(-3y - 2z = -2\).
Nous simplifions maintenant les équations pour obtenir ce qui suit :
\[\begin{align}y & = \frac{2}{3} -\frac{2}{3}z \\N-\hspace{1cm} \\N-x & = -5y + 1 + z \N- \Nquad \N- \N-text{Substitute} \N ; y \N ; \Ntext{into} \N ; x \N\Nhspace{1cm} \N-\Ndonc x & = -\frac{7}{3} + \frac{7}{3}z\end{align}\N]
Soit \(\frac{z}{3}\) la variable libre \(t\).
Les équations ressembleront donc à ceci :
\[\begin{align}x & = -\frac{7}{3}} + 7t \\N-y & = \frac{2}{3} - 2t\end{align}\]
et, sous forme de matrice, nous donne
\[\bgin{bmatrix}x \n y \n z \nend{bmatrix} =\bgin{bmatrix}-\frac{7}{3} \\ \frac{2}{3} \N- 0\N- \N- \N- \N- \N- \N-{bmatrix} +\begin{bmatrix}7 \\\N -2 \N 3\Nend{bmatrix} t\N]
\N- \N- \N(x\N) et \N(y\N) dépendent tous deux de \N(z\N), c'est pourquoi nous pouvons les introduire dans le système. \(z\) is a free variable, meaning it can change its value freely, and since \(x\) and \(y\) are dependent on \(z\), this means that there are an infinite number of solutions to this system of equations.
Rappelle-toi que nous avons désigné \(\frac{z}{3} = t\), donc \(z = 3t\).
Voici un exemple de ce à quoi pourrait ressembler un système d'équations avec un nombre infini de solutions :
Fig. 1. Un ensemble d'équations avec un nombre infini de solutions modélisé sous forme de plans. Les plans se rencontrent sur une ligne d'intersection.
Pas de solutions
L'exemple suivant montre comment déterminer si un système d'équations n'a pas de solutions.
Montre que le système d'équations suivant n'a pas de solutions :
\[\begin{align}x + 2y - z = -8 \\ 2x - y + z = 4 \\ 8x + y + z = 2\end{align}\]
Solution
ÉTAPE 1: Écris la matrice augmentée.
\[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & -1 & -8 \\\N 2 & -1 & 1 & 4 \N 8 & 1 & 1 & 2\Nend{array}\N]
ÉTAPE 2: Effectue les calculs de lignes jusqu'à ce que tu obtiennes les zéros nécessaires.
\(R_{3} - R_{2} \Nà R_{3}, \N ; R_{2} + R_{1} \vers R_{2}, \N ; R_{3} - 2R_{2} \Nà R_{3}\N) sont effectuées pour obtenir :
\[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & -1 & -8 \\N 3 & 1 & 0 & 4 \N 0 & 0 & 0 & -6\end{array}\right]\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp ;]
Si tu regardes la dernière ligne, tu verras qu'elle indique que \(0 = -6\). Ce n'est absolument pas vrai, et le système n'a donc pas de solution.
Lorsqu'il est modélisé à l'aide de plans, un système sans solution peut ressembler à ceci :
Fig. 2. Un système de trois équations simultanées sans solution modélisé par des plans.
Résolution d'équations simultanées à l'aide de matrices inverses
Les matrices inverses peuvent être utilisées pour résoudre des équations simultanées en multipliant les deux côtés de l'équation par l'inverse de la matrice des coefficients et en simplifiant pour calculer les valeurs des variables.
Il y a deux choses importantes à retenir lorsque tu résous des équations simultanées à l'aide de matrices inverses :
\N(A^{-1} \Nfois A = I\N) où \N(I\N) est la matrice d'identité. Multiplier par \(I\) aura le même effet que de multiplier la matrice par 1 ;
La matrice inverse, \(A^{-1}\), doit se trouver à gauche des autres matrices ; sinon, tu ne pourras pas les multiplier.
L'exemple suivant montre comment résoudre des équations simultanées à l'aide de matrices inverses.
Résous les équations suivantes simultanément en utilisant l'algèbre matricielle :
\[\begin{align}4x + y & = -7 \\N3x-2y & = 3 \N\Nend{align}\N]
Solution
ÉTAPE 1: Réécris les deux équations sous la forme d'une équation matricielle. Ta réponse devrait ressembler à ceci :
\[\begin{bmatrix}4 & 1 \\\N3 & -2 \Nend{bmatrix}\Nbegin{bmatrix}x \Ny\Nend{bmatrix}=\Nbegin{bmatrix}-7 \N3\Nend{bmatrix}\N]
ÉTAPE 2: Calcule l'inverse de la matrice des coefficients.
Nous voulons résoudre \N(x\N) et \N(y\N), nous devons donc isoler ces deux variables d'un côté de l'équation. Pour ce faire, nous devons faire intervenir la matrice d'identité. Pour ce faire, nous multiplions les deux côtés de l'équation par l'inverse de la matrice des coefficients.
Rappelle-toi que \(A^{-1} \times A = I\) et \(I\) multiplié par n'importe quelle matrice compatible aura le même effet que de multiplier n'importe quel nombre par 1.
Soit la matrice des coefficients, \N(\Ncommencement{bmatrix} 4 & 1 \N 3 & -2 \Nfin{bmatrix} = A\N). Par conséquent ,
\[A^{-1} =-\frac{1}{11}\begin{bmatrix}-2 & -1 \\\N -3 & 4\end{bmatrix}\N]
ÉTAPE 3: Multiplie les deux côtés de l'équation par \(A^{-1}\).
L'ordre dans lequel tu multiplies les matrices est important. Dans ce cas, nous voulons que le résultat soit la matrice d'identité, et nous devons donc multiplier les deux côtés de l'équation par \(A^{-1}\) du côté gauche pour obtenir ce résultat.
Ton résultat sera le suivant :
\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\\N 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \N y\end{bmatrix} =-\frac{1}{11}\Nbegin{bmatrix}-2 & -1 \N -3 & 4\Nend{bmatrix}\begin{bmatrix}-7 \N 3 \Nend{bmatrix} \]
ÉTAPE 4: Simplifie pour obtenir les solutions pour \(x\N) et \N(y\N).
\N-\N-\N-x \N-\N-& =-\Nfrac{1}{11}} \N-times\N-gin{bmatrix}11 \N- 33\N-end{bmatrix}\N-\N- espace{1cm}\N-\N-gin{bmatrix}x \N- y \N-end{bmatrix}& = \N-gin{bmatrix} -1 \\N -3 \Nend{bmatrix}\Nend{align}\N]\N(\Ndonc \Nquad x = -1\Net \Ny = -3\N)
L'exemple suivant montre comment utiliser les matrices inverses pour résoudre des équations simultanées contenant trois variables.
Utilise les matrices inverses pour résoudre les équations simultanées suivantes :
\[\begin{align}x - y - z & = 4 \\\N-2x + 3y - z & = 2 \N-- x - 2y + 3z & = -3\N- end{align}\N]
Solution
ÉTAPE 1: Réécris les équations sous forme de matrice.
\[\begin{bmatrix}1 & -1 & -1 \\N 2 & 3 & -1 \N-1 & -2 & 3 \N\Nend{bmatrix}\Nbegin{bmatrix}x \Ny \Nz \Nend{bmatrix}=\Nbegin{bmatrix}\N2 \N -3\Nend{bmatrix}\N]
ÉTAPE 2: Laisse la matrice des coefficients égale à A et calcule son inverse, \(A^{-1}\).
\[A^{-1} =\frac{1}{13} \begin{bmatrix}\tag{*}7 & 5 & 4 \\N--5 & 2 & -1 \N--1 & 3 & 5\N- end{bmatrix}\N]
*Le fonctionnement complet n'est pas montré ici. Reporte-toi à la section Inversion des matrices pour savoir comment calculer l'inverse d'une matrice 3 x 3.
ÉTAPE 3: Multiplie par \(A^{-1}\) à gauche des deux côtés de l'équation.
\[\frac{1}{13} \begin{bmatrix}7 & 5 & 4 \\N--5 & 2 & -1 \N--1 & 3 & 5\Nend{bmatrix}\Nbegin{bmatrix}1 & -1 & -1 \N- 2 & 3 & -1 \N--1 & -2 & 3 \N-\N- end{bmatrix}\N-begin{bmatrix}x \N- y \N- z \N-end{bmatrix} =\Nfrac{1}{13} \begin{bmatrix}7 & 5 & 4 \\N--5 & 2 & -1 \N--1 & 3 & 5\N-end{bmatrix} \begin{bmatrix}4 \\\N- 2 \N- 3\N-end{bmatrix}\N]
ÉTAPE 4: Simplifie.
\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\N 0 & 1 & 0 \N 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \N y \N z \Nend{bmatrix}= \frac{1}{13} \begin{bmatrix}26 \\\N-13 \N-12 \Nend{bmatrix}\N]
\[\begin{bmatrix}x \\ y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 \\N -1 \N -1 \Nend{bmatrix}\N]
\(\Ndonc \Nquad x = 2,\Nquad y = -1\Nquad) et \N(\Nquad z = -1\N).
Bien qu'il soit possible de résoudre trois inconnues à l'aide de matrices inverses (comme indiqué ci-dessus), cette méthode n'est pas recommandée car elle devient rapidement fastidieuse et trop compliquée. Il est préférable d'utiliser la réduction des lignes, qui sera abordée en détail dans la section suivante.
Résolution d'équations simultanées à l'aide de la réduction des lignes
Laréduction des lignes est une autre méthode de résolution d'équations simultanées à l'aide de matrices. Également connue sous le nom d'élimination gaussienne, la réduction des lignes utilise les calculs de lignes au sein d'une matrice augmentée pour résoudre les inconnues d'un ensemble d'équations simultanées.
Tu veux obtenir une ligne avec deux zéros pour pouvoir calculer la valeur de l'une des variables, puis une ligne avec un zéro pour pouvoir calculer la valeur de la deuxième variable.
Il y a quelques points importants à ne pas oublier lorsque tu effectues ces calculs de lignes :
Le deuxième zéro que tu calcules doit toujours se trouver dans la même colonne que le premier zéro, et doit être soit directement au-dessus, soit au-dessous du premier zéro ;
Tu dois toujours utiliser les rangées contenant déjà des zéros pour calculer le troisième zéro ;
Les zéros que tu calcules doivent se trouver dans les trois premières colonnes de la matrice augmentée. Un zéro dans la quatrième colonne n'aide à résoudre aucune des inconnues ;
Les calculs de ligne sont appliqués à la ligne entière, y compris la quatrième colonne.
L'exemple ci-dessous montre comment procéder.
Utilise la réduction des rangs pour résoudre le système d'équations suivant :
\[\begin{align}2x + y - 3z = -11 \\N-x - 2y + z = -3 \N--3x + 4y - 2z = 9 \N- end{align}\N-qquad \N-qquad \N-begin{matrix}(1) \N- (2) \N- (3) \N-end{matrix}\N-]
Solution
ÉTAPE 1: Écris la matrice augmentée pour ces équations. Elle devrait ressembler à ce qui suit :
\[\left[\begin{array}{rrr|r}2 & 1 & -3 & -11 \\ 1 & -2 & 1 & -3 \\ -3 & 4 & -2 & 9\end{array}\r}\qquad \quad \quad \begin{array}{r}(1) \\N- (2) \N- (3)\end{array}\N-]
ÉTAPE 2: Effectuer les calculs de lignes.
Tout d'abord, écris ta matrice augmentée.
\[\left[\begin{array}{rrr|r}2 & 1 & -3 & -11 \\ 1 & -2 & 1 & -3 \\-3 & 4 & -2 & 9\end{array}\right]\]
Quel calcul pouvons-nous faire pour obtenir notre premier zéro ?
\[\left[\begin{array}{rrr|r}5 & 0 & -5 & -25 \\ 1 & -2 & 1 & -3 \\-3 & 4 & -2 & 9\end{array}\right]\quad \begin{array}{r}2 \times R_{1} + R_{2} \Nà R_{1} \N- \N- \N espace{1cm} \\ \hspace{1cm}\end{array}\]
Nous écrivons toujours les calculs de ligne que nous effectuons à côté de la matrice.
Le deuxième zéro doit se trouver dans la même colonne que le premier.
\[\left[\begin{array}{rrr|r}5 & 0 & -5 & -25 \\ -1 & 0 & 0 & 3 \\-3 & 4 & -2 & 9\end{array}\right]\quad \begin{array}{r}\hspace{1cm} \\N- 2 \N- fois R_{2} + R_{3} \Nà R_{2} \\ \hspace{1cm}\end{array}\]
Il se trouve que le deuxième et le troisième zéro ont été obtenus par ce calcul de deuxième rangée. Ce n'est pas toujours le cas, et tu devras souvent effectuer un calcul de troisième rangée pour obtenir le troisième zéro.
ÉTAPE 3: Calcule les valeurs des inconnues.
À partir de la rangée 2 :
\[\begin{align}-x & = 3 \\\N-\Ndonc \Nquad x & = -3 \Nend{align}\N]
A partir du rang 1 (remplacer \(x\) dans) :
\[\N- \N-5x - 5z & = -25 \N-5(-3) - 5z & = -25 \N--5z & = -10 \N-\N- Donc \N- \Nquad z & = 2\N- end{align}\N]
A partir du rang 3 (remplace \N(x\N) et \N(z\N) par) :
\[\N--3x + 4y - 2z & = 9 \N--3(-3) + 4y - 2(2) & = 9 \N-4y & = 4 \N-\Ndonc \Nquad y & = 1 \N- end{align}\N]
\N(\Ndonc \Nquad x = -3 ; \Ny = 1\N) et \N(z = 2\N)
Il existe de nombreuses façons de résoudre des équations simultanées en utilisant la réduction des rangs, et les calculs de rangs que tu choisis d'effectuer peuvent être différents de ceux utilisés ici.
Exemples de résolution d'équations simultanées à l'aide de matrices 2x2
Les exemples suivants se concentrent sur la résolution d'équations simultanées d'ordre 2, ce qui signifie que tu devras utiliser des matrices 2 x 2.
Résous \(x\) et \(y\) en utilisant les matrices inverses.
\[\begin{align}6x - 5y & = 7 \\\N-12x + 20y & = -4 \Nend{align}\N]
Solution
Tout d'abord, nous devons réécrire les équations sous forme de matrice.
\[\begin{bmatrix}6 & -5 \\N 12 & 20 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \N y\Nend{bmatrix}=\Nbegin{bmatrix}7 \N -4\Nend{bmatrix}\N]
Ensuite, nous devons calculer l'inverse de la matrice des coefficients
\N-\N-\N-6 & -5 \N- 12 & 20\N-= (6)(20) - (-5)(12)= 180 \N-\N- \Nhspace{1cm} \\N-\N donc \Nquad \Nbegin{bmatrix}6 & -5 \N12 & 20 \Nend{bmatrix}^{-1}=\Nfrac{1}{180}\Nbegin{bmatrix}20 & 5 \N- 12 & 6\Nend{bmatrix}\Nend{align}\N]
Multiplie par la matrice inverse à gauche des deux côtés de l'équation pour obtenir :
\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\\N 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \N y \end{bmatrix}= \frac{1}{180} \begin{bmatrix}20 & 5 \\\N-12 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7 \N -4\Nend{bmatrix}\N]
Simplifie encore pour obtenir le résultat final :
\[\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=\frac{1}{180}\begin{bmatrix}120 \\N -108\end{bmatrix}\N]
\N(\Ndonc \Nquad x = \frac{2}{3} \N ; \Ntext{and} \N ; y = -\frac{3}{5}\N)
Il est également possible de résoudre un ensemble de problèmes simultanés avec seulement 2 inconnues en utilisant la réduction de ligne. L'exemple suivant montre comment procéder.
Résolvez \(x\N) et \N(y\N) en utilisant la réduction de ligne.
\[\N- Début{alignement}8x - 3y & = 6 \N--16x + y & = -\frac{31}{3}\N- Fin{alignement}\N]
Solution
Écris la matrice augmentée pour le système.
\N-[\N-[\N-[début{array}{rr|r}8 & -3 & 6 \N-[-16 & 1 & -\frac{31}{3}\N-[fin{array}\N-[droit]\N-[\N]
Ensuite, effectue des opérations sur les lignes jusqu'à ce que tu obtiennes un zéro dans l'une des lignes. Comme il n'y a que deux variables à résoudre, nous n'avons besoin que d'un zéro car cela nous permettra de calculer la valeur de l'une des variables. Nous pouvons ensuite utiliser la variable calculée pour trouver la valeur de l'autre inconnue en la replaçant dans l'équation.
\[\left[\begin{array}{rr|r}8 & -3 & 6 \\\\N- 0 & -5 & \frac{5}{3}\end{array}\right]\qquad\begin{matrix}\hspace{1cm} \\ R_{2} + 2R_{1} \Nà R_{2}\Nend{matrix}\N]
Solve for \N(x\N) and \N(y\N).
\N-[\N-{align}-5y & = \Nfrac{5}{3}} \\N-y & = -\Nfrac{1}{3} \\\hspace{1cm} \N-\N donc \Nquad8x - 3y & = 6 \N-8x - 3(-\Nfrac{1}{3}) & = 6 \N-x & = \Nfrac{5}{8}\N- end{align}\N]
Exemples de résolution d'équations simultanées à l'aide de matrices 3x3
Dans certains cas, il est impossible d'éviter de faire des calculs qui aboutissent à de grands nombres. L'exemple suivant l'illustre.
Résous le système d'équations suivant en utilisant la réduction des lignes :
\[\begin{align}-4x - 5y +3z & = 7\\\N--2x + 3y - z & = -25 \N-3x - 2y - 4z & = -6\N- end{align}\N]
Solution
ÉTAPE 1: Écris la matrice augmentée.
\[\N- gauche[\N- début{array}{rrr|r}-4 & - 5 & 3 & 7 \N- -2 & 3 & -1 & -25 \N- 3 & -2 & -4 & -6 \N- fin{array}\N-droit]\N]
ÉTAPE 2: Effectuer les calculs sur les lignes.
\N-\N- gauche[\N- début{array}{rrr|r}-10 & 4 & 0 & -68 \N- -2 & 3 & -1 & -25 \N- 3 & -2 & -4 & -6\N- fin{array}\N-droit]\N- quadrature\N- début{array}{r}R_{1} + 3R_{2} \Nà R_{1} \\N-\N- espace{1cm} \N-\N-\N-\N-\N-\N-\N--10 & 4 & 0 & -68 \N- -11 & 14 & 0 & -94 \N- 3 & -2 & -4 & -6\N-\N- \N-\N-\N- \N-{r}{r}4R_{2} - R_{3} \Nà R_{2}\Nend{array}\N]\N[\Nleft[\Nbegin{array}{rrr|r}-48 & 0 & 0 & -288 \N- 11 & 14 & 0 & -94 \N- 3 & -2 & -4 & -6\Nend{array}\Nright]\Nquad\Nbegin{array}{r}7R_{1} - 2R_{2} \Nà R_{1} \N-\N- espace{1cm} \N-\N-\Nend{array}\N]
ÉTAPE 3: Calcule les valeurs des variables.
\[\begin{align}-48x & = - 288 \\\N-x & = 6\N- end{align}\N]
\[\N-begin{align}-11x + 14y & = -94 \N-\N-qquad -11(6) + 14y & = -94 \N-14y & = -28 \N-y & = -2\N-end{align}\N- \N]
\N-\N-3x - 2y - 4z & = -6 \N-3(6) - 2(-2) - 4z & = -6 \N--4z & = -28 \N-z &= 7\N-\N- \N- \N- \N]
\(Par conséquent, x = 6, y = -2) et z = 7.
Certaines équations ne contiennent que deux variables. Dans ce cas, tu utilises simplement zéro comme coefficient pour la variable manquante.
Résous les équations simultanées suivantes en utilisant la réduction de ligne :
\[\begin{align}2b + c & = - 8 \\a - 2b - 3c & = 0 \\-a + b + 2c & = 3\end{align}\]
Solution
ÉTAPE 1: Écris la matrice augmentée.
\N(2b + c= - 8\N) revient à dire \N(0a + 2b + c\N) et nous disons donc que le coefficient de \N(a\N) est 0 pour l'équation 1.
\N-\N- gauche[\N- début{array}{rrr|r}0 & 2 & 1 & -8 \N- 1 & -2 & -3 & 0 \N- -1 & 1 & 2 & 3\N- fin{array}\N-droit]\N- \N]
ÉTAPE 2: Effectue les calculs de ligne.
Le zéro facilite en fait la résolution du système d'équations, car il y a moins d'étapes à suivre pour obtenir les trois zéros nécessaires.
\N-\N- gauche[\N- début{array}{rrr|r}0 & 2 & 1 & -8 \N- 0 & -1 & -1 & 3 \N- -1 & 1 & 2 & 3 \N- fin{array}\Ndroite]\Nquad\N- début{array}{r}\Nhspace{1cm} \\N-R_{2} + R_{3} \Nà R_{2} \N-\N- espace{1cm}\N- espace{1cm}\N- espace{1cm}\N- espace{1cm}\N- espace{1cm}\N- espace{1cm}0 & 1 & 0 & -5 \N- espace{1cm} 0 & -1 & -1 & 3 \N- espace{1cm}\N- espace{1cm}\N- espace{1cm} \N- espace{1cm}\N- espace{1cm}\N- espace{1cm}{1cm}R_{1} + R_{2} \Nà R_{1} \\N-\N- espace{1cm} \\N-\N-\Nend{array}\N]
ÉTAPE 3: Calcule les valeurs des variables.
\[\begin{align}b & = -5 \end{align}\]
\N-\N--b - c & = 3 \N--(-5) - c & = 3 \N-c & = 2 \N-\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
\N-\N--a + b + 2c & = 3 \N--a + (-5) + 2(2) & = 3 \N-a & = -4 \N-\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
\N( \Ndonc \Nquad a = -4, \N ; b = -5\N) et \N(c = 2\N)
Résoudre des équations simultanées à l'aide de matrices - Principaux enseignements
- Pour écrire des équations simultanées sous forme de matrice, tu dois d'abord écrire la matrice carrée contenant les coefficients, suivie de la matrice variable et, à droite du signe égal, tu dois écrire la matrice constante.
- Les matrices augmentées ne contiennent que les coefficients et les constantes.
- Les matrices inverses peuvent être utilisées pour résoudre des équations simultanées en multipliant la matrice des coefficients inverses à gauche des deux côtés de l'équation matricielle et en simplifiant.
- La réduction des rangs est la méthode préférée pour résoudre les équations simultanées à trois inconnues, et implique l'utilisation d'opérations sur les rangs pour calculer les valeurs des variables.
- Les équations peuvent avoir un nombre infini de solutions, aucune solution et une solution unique, et elles peuvent toutes être modélisées à l'aide de plans.
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