Représentation algébrique: 'Équations', 'Fonctions'

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Tout ce qui a trait à l'algèbre implique l'utilisation de lettres pour représenter quelque chose.

Dans cet article, nous allons explorer la signification de la représentation algébrique, représenter des transformations géométriques, des formules et des fonctions de façon algébrique, et quelques exemples de leur application.

Signification de la représentation algébrique

Lareprésentation al gébrique implique l'utilisation de variables, de nombres et de symboles pour représenter les quantités dans une équation ou une expression.

Les représentations algébriques décrivent ce qui se passe sans avoir à le dire avec des mots. Les représentations algébriques peuvent être appliquées à différentes choses. Elles peuvent être appliquées aux transformations géométriques, à la construction de formules et à la représentation de fonctions.

Voici quelques exemples de représentations algébriques $2 y + 5 = x$ , $f (x) = 2 y$ et $F o r c e = m \times a$ .

Représentation algébrique des transformations

Une transformation concerne le changement géométrique d'un objet mathématique. L'objet peut être une forme géométrique qui subit une transformation de sa position ou de sa taille. Les différentes formes de transformations sont la translation, la réflexion, la rotation, l'agrandissement ou une combinaison de celles-ci. Pour obtenir des connaissances approfondies sur les transformations, consulte notre article sur les transformations.

Pour la représentation algébrique des transformations, nous avons affaire à des formes géométriques qui sont transformées dans les domaines suivants $x$ et $y$ et de l'axe -.

Transformation

La traduction a trait au mouvement d'une ~~forme~~vers le haut, le bas, la gauche ou la droite, ou à une composition de ces éléments. La forme est simplement glissée d'une position à une autre. La taille et la forme restent les mêmes, mais la position change. Pour en savoir plus sur les traductions, consulte notre article sur les traductions.

Examine l'image ci-dessous.

Représentation algébrique Graphique montrant la transformation StudySmarter

Graphique montrant la transformation de la traduction - StudySmarter Original

Dans cette image, nous voyons un rectangle $A B C D$ et un rectangle $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Nous considérerons ce dernier rectangle comme la forme résultante, l'image, en appliquant une translation au premier rectangle. Note que la forme et la taille de la forme restent les mêmes mais que la position est différente.

Alors, comment pouvons-nous utiliser la représentation algébrique dans la translation ? Établissons quelques règles. Les règles montrent comment les coordonnées changent lorsqu'une forme est translatée.

Quatre mouvements différents peuvent se produire ici ; la forme peut se déplacer vers le haut, vers le bas, vers la gauche et vers la droite sur les touches $x$ et $y$ -sur l'axe et.

Commençons par la paire $(x, y)$ et laissons $a$ représente le nombre d'unités que la forme doit déplacer sur l'axe $x$ l'axe. Si la forme doit se déplacer dans la bonne direction sur l'axe $x$ l'axe -, elle sera $x + a$ . Si elle doit se déplacer vers la gauche, ce sera $x - a$ .

Laisse $b$ représente le nombre d'unités que la forme doit déplacer dans l'axe $y$ l'axe. Si l'image doit se déplacer vers le haut, ce sera $y + b$ . Si elle doit se déplacer vers le bas, elle sera de $y - b$ .

Nous avons donc ,

Traduction	Règles
Déplacer vers la droite $a$ unités	$(x, y) \to (x + a, y)$
Déplacer les unités de gauche $a$ unités	$(x, y) \to (x - a, y)$
Déplace-toi vers le haut $b$ unités	$(x, y) \to (x, y + b)$
Déplacer vers le bas $b$ unités	$(x, y) \to (x, y - b)$

Réflexion

La réflexion est le retournement d'une forme sur une ligne. La ligne est appelée ligne de réflexion ou ligne de symétrie. La réflexion est également appelée l'image miroir d'une forme. Dans cette transformation, la forme de la position est modifiée, mais sa taille et sa forme restent les mêmes. Vois l'image ci-dessous.

Graphique montrant une transformation par réflexion - StudySmarter Original

Dans l'image ci-dessus, on peut voir $△ A' B' C'$ et $△ A B C$ . Nous allons considérer que le premier triangle est l'image du second en appliquant une réflexion sur l'axe des ordonnées.

Il existe des règles qui montrent comment les coordonnées changent lorsqu'une forme est réfléchie. La façon dont les coordonnées changent dépend du fait que la forme se déplace vers le haut, le bas, la gauche ou la droite. Nous allons voir deux réflexions simples sur les axes.

Une forme est réfléchie soit sur l'axe $x$ -ou sur l'axe $y$ -et lorsque cela se produit, les signes des coordonnées changent. Ainsi, si tu as les coordonnées d'une forme $(x, y)$ et qu'elle se reflète sur l'axe $x$ l'axe -, tu dois multiplier la coordonnée $y$ -par $- 1$ . Si elle est réfléchie sur l'axe $y$ l'axe -, tu dois multiplier la coordonnée $x$ l'axe - par $- 1$ .

Réflexion	Règles
Déplace-toi sur $x$ -l'axe	Multiplier la coordonnée $y$ par $- 1$ : $(x, y) \to (x, - y)$
Déplace-toi sur $y$ Axe -	Multiplier la coordonnée $x$ par $- 1$ : $(x, y) \to (- x, y)$

Rotation

La rotation consiste à faire tourner une figure autour d'un point fixe ou d'un axe. Lorsqu'une forme est tournée autour d'un axe, les coordonnées changent. Une fois de plus, dans cette transformation, la forme de la position est modifiée, mais sa taille et sa forme restent les mêmes. Vois le graphique ci-dessous.

Représentation algébrique Représentation de la rotation et de la transformation StudySmarter Graphique montrant une transformation par rotation - StudySmarter Original

Certaines règles te guideront pour savoir comment les coordonnées vont changer. Ces règles sont indiquées dans le tableau ci-dessous.

Rotation	Règles
$90 °$ dans le sens des aiguilles d'une montre	Intervertis les coordonnées et multiplie celle de droite par $- 1$ : $(x, y) \to (y, - x)$
$90 °$ sens inverse des aiguilles d'une montre	Intervertit les coordonnées et multiplie celle de gauche par $- 1$ : $(x, y) \to (- y, x)$
$180 °$ sens des aiguilles d'une montre ou sens inverse des aiguilles d'une montre	Multiplie les deux coordonnées par $- 1$ : $(x, y) \to (- x, - y)$

Représentation algébrique et formules

Les formules sont des équations qui montrent une relation entre des quantités. Voici un exemple de formule

$F = m a$ .

Il s'agit de la formule de calcul de la force, tirée de la physique, où $F$ est la force, $m$ est la masse, et $a$ est l'accélération.

Dans la formule, F est directement proportionnel à a et m est introduit comme la constante de proportionnalité.

$F \propto a F = m a$

$\propto$ est le symbole de la proportionnalité.

Un autre exemple de formule est la surface d'un cercle. La surface d'un cercle est directement proportionnelle au carré du rayon.

$A r e a \propto r^{2}$ ,

où $r$ est le rayon.

Ici, , $π$ est introduite comme constante de proportionnalité et la formule devient.

$A r e a = {πr}^{2}$

Nous pouvons voir la représentation algébrique dans la formule. Les quantités inconnues sont représentées par des variables. Nous pouvons rencontrer une situation où une formule sera une combinaison de variables et de nombres. Dans ce cas, nous les simplifierons de la même façon que nous simplifierons une expression algébrique.

Nous prendrons quelques exemples plus tard.

Représentation algébrique d'une fonction

Une fonction est une expression qui montre la relation entre une entrée et une sortie. Dans une fonction, pour chaque entrée, il y a une et une seule sortie qui lui correspond.

La plupart du temps, une fonction est représentée par une lettre minuscule, $f$ ou toute autre lettre pour la représenter. Si $x$ est l'entrée et $y$ est la sortie, la fonction $f$ s'écrit comme suit :

$f (x) = y$ .

L'expression ci-dessus est une représentation algébrique de cette fonction. Les variables $x$ et $y$ sont une représentation d'un nombre réel. Pour obtenir la sortie, tu devras substituer différentes valeurs à x.

Si $f (x) = y$ et $x = 2$ on obtiendra, par exemple, x :

$f (x) = y f (2) = 2$

Cela signifie que l'entrée $x$ est 2 et que la sortie $y$ est 2.

Si $f (x) = y$ , $x = 2$ et $y = x + 2$ , nous aurons :

$f (x) = y f (x) = x + 2 f (2) = 2 + 2 f (2) = 4$

Cela signifie que l'entrée $x$ est 2 et que la sortie $y$ est 4. L'expression $y = x + 2$ est appelée la règle de la fonction.

Exemples de représentations algébriques

Nous allons maintenant prendre quelques exemples pour nous faire une idée plus claire de ce dont nous avons parlé.

Prenons un exemple de transformation de traduction.

Le triangle ABC a pour sommets $A (0, 0), B (3, 4), C (1, - 2)$ . Trouve les sommets de $A' B' C'$ après une translation de 4 unités vers la droite et de 2 unités vers le bas. Trace le graphique du triangle et de son image translatée.

Solution

On nous donne les coordonnées d'un triangle et on nous dit que la translation doit se faire de 4 unités vers la droite et de 2 unités vers le bas.

Si tu te souviens des règles dont nous avons parlé dans la section sur la translation, un déplacement de $a$ unités vers la droite est : $(x, y) \to (x + a, y)$ et se déplacer $b$ unités vers le bas est : $(x, y) \to (x, y - b)$ .

Si nous combinons les deux règles pour répondre à notre question, ce sera :

$(x, y) \to (x + a, y - b)$ .

Mettons cela sur un tableau.

$△ A B C$	$(x, y) \to (x + a, y - b)$	$△ A' B' C'$
$A (0, 0)$	$(0 + 4, 0 - 2)$	$(4, - 2)$
$B (3, 4)$	$(3 + 4, 4 - 2)$	$(7, 2)$
$C (1, - 2)$	$(1 + 4, - 2 - 2)$	$(5, - 4)$

Nous avons fait le calcul dans le tableau et les coordonnées du triangle translaté sont :

A' (4, - 2), B' (7, 2), C' (5, - 4)

Si nous traçons cela, nous aurons le graphique ci-dessous.

Représentation algébrique Graphique montrant la transformation StudySmarter

Le graphique montre le $△ A B C$ et le triangle translaté $△ A' B' C'$ .

Prenons l'exemple d'une transformation par réflexion.

Un rectangle $A B C D$ a des sommets $A (4, 2), B (2, 2), C (2, 6), D (4, 6)$ . Trouve les sommets du rectangle $A' B' C' D'$ après une réflexion sur l'axe des x. Trace le graphique du rectangle et de son image réfléchie.

Solution

Les coordonnées d'un rectangle nous sont données sous la forme suivante $A (4, 2), B (2, 2), C (2, 6), D (4, 6)$ . Le rectangle doit être réfléchi sur l'axe des x.

Rappelle-toi que lorsqu'une figure doit être réfléchie sur l'axe des x, tu multiplies la coordonnée y par -1. Nous avons donc :

$(x, y) \to (x, - y)$ .

Faisons le calcul dans un tableau.

Rectangle $A B C D$	$(x, y) \to (x, - y)$	$A' B' C' D'$
$A (4, 2)$	$(4, 2 (- 1))$	$A' (4, - 2)$
$B (2, 2)$	$(2, 2 (- 1))$	$B' (2, - 2)$
$C (2, 6)$	$(2, 6 (- 1))$	$C' (2, - 6)$
$D (4, 6)$	$(4, 6 (- 1))$	$D' (4, - 6)$

Nous avons fait les calculs et les coordonnées du rectangle réfléchi sont :

A' (4, - 2), B' (2, - 2), C' (2, - 6), D' (4, - 6)

Maintenant, traçons le graphique.

Représentation algébrique Graphique montrant une transformation par réflexion StudySmarter

Le graphique ci-dessus montre le rectangle $A B C D$ et son image réfléchie $A' B' C' D'$

Prenons l'exemple d'une transformation de rotation.

Un quadrilatère a ses sommets $A (3, - 2), B (5, - 3), C (4, 4), D (0, 0)$ . Trouve les sommets de $A' B' C' D'$ après une $90 °$ rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Trace le graphique du quadrilatère et de son image tournée.

Solution

On nous donne les coordonnées d'un quadrilatère $A (3, - 2), B (5, - 3), C (4, 4), D (0, 0)$ . Le quadrilatère doit être tourné dans le sens $90 °$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Rappelle-toi que la règle de rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est la suivante $90 °$ rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre consiste à intervertir les coordonnées et à multiplier la gauche par $- 1$ .

$(x, y) \to (- y, x)$

Faisons le calcul dans un tableau.

Quadrilatère $A B C D$	$(x, y) \to (- y, x)$	$A' B' C' D'$
$A (3, - 4)$	$(- 4 (- 1), 3)$	$A' (4, 3)$
$B (5, - 3)$	$(- 3 (- 1), 5)$	$B' (3, 5)$
$C (4, 4)$	$(4 (- 1), 4)$	$C' (- 4, 4)$
$D (0, 0)$	$(0 (- 1), 0)$	$D' (0, 0)$

Nous avons fait les calculs et les sommets du quadrilatère pivoté sont les suivants $A' (4, 3), B' (3, 5), C' (- 4, 4), D' (0, 0)$ .

Traçons maintenant le graphique

Représentation algébrique Graphique montrant la rotation et la transformation StudySmarter

Le graphique montre le quadrilatère $A B C D$ et son image pivotée $A' B' C' D'$

Prenons quelques exemples de représentations algébriques dans des formules.

Trouve la surface du rectangle ci-dessous.

Solution

Pour trouver la surface d'un rectangle, nous avons besoin d'une formule. La formule est la suivante

$A = L \times B$

où $A$ est la surface

$L$ est la longueur

$B$ est la largeur

D'après la figure ci-dessus,

$L = y c m B = (y + 4) c m$

Remplaçons la formule par

$A = L \times B A = y \times (y + 4)$

Nous pouvons enlever le signe de multiplication et cela signifiera toujours la même chose.

$A = y (y + 4)$

Nous pouvons encore simplifier en utilisant le signe $y$ à l'extérieur pour multiplier chaque terme dans la parenthèse et nous aurons :

$A = y^{2} + 4 y$

L'aire du rectangle est :

$A = y^{2} + 4 y$

Prenons un autre exemple.

La formule de calcul des intérêts simples est la suivante $S . I = P R T$ . $S . I$ représente l'intérêt simple. Trouve l'intérêt simple lorsque $P = £ 200, R = 2 %$ et $T = 2 y e a r s$ .

Solution

La question nous demande de trouver l'intérêt simple. On nous donne la formule de l'intérêt simple :

$S . I = P \times R \times T$

On nous donne également les valeurs des variables de la formule.

$P = £ 200 R = 2 % T = 2 y e a r s$

Ce que nous devons faire maintenant, c'est substituer les valeurs données dans la formule.

$S . I = P \times R \times T S . I = 200 \times \frac{2}{100} \times 2$

Remarque que nous divisons la valeur de R par 100. C'est parce qu'il s'agit d'un pourcentage.

$S . I = 200 \times \frac{2}{100} \times 2 S . I = 200 \times 0.02 \times 2 S . I = 8$

L'intérêt simple est $£ 8$ .

Prenons quelques exemples sur la représentation et la formule algébriques.

Étant donné $f (x) = 2 x + 5$ , évalue ce qui suit.

$f (3)$
$f (7)$

Solution

a. $f (3)$

La fonction donnée est

f (x) = 2 x + 5

et on nous demande d'évaluer

f (3)

. Cela signifie que

x = 3

et nous substituerons cette valeur dans la fonction.

$f (x) = 2 x + 5 f (3) = 2 (3) + 5 f (3) = 6 + 5 f (3) = 11$

b. $f (7)$

Nous ferons la même chose que précédemment.

Ici, $x = 7$ . Nous remplacerons cette valeur par $x$ dans la fonction.

$f (x) = 2 x + 5 f (7) = 2 (7) + 5 f (7) = 14 + 5 f (7) = 19$

Représentation algébrique - Principaux enseignements

La représentation algébrique implique l'utilisation de variables, de nombres et de symboles pour représenter des quantités dans une équation ou une expression.
La représentation algébrique peut s'appliquer à différentes choses. Elle peut s'appliquer aux transformations, aux formules et aux fonctions.
Tout ce qui a trait à l'algèbre implique l'utilisation de lettres pour représenter quelque chose.

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Questions fréquemment posées en Représentation algébrique

Qu'est-ce que la représentation algébrique?

La représentation algébrique est une façon d'exprimer les relations et propriétés mathématiques en utilisant des symboles et des lettres.

Pourquoi utilisons-nous la représentation algébrique?

Nous utilisons la représentation algébrique pour simplifier et généraliser les problèmes mathématiques, permettant des calculs plus efficaces et des solutions universelles.

Comment écrire une équation algébrique?

Pour écrire une équation algébrique, identifiez les variables inconnues et exprimez leur relation avec des coefficients et des opérateurs mathématiques.

Quels sont les avantages de la représentation algébrique?

Les avantages de la représentation algébrique incluent la simplification des calculs, la mise en évidence de relations cachées, et la généralisation des solutions.

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