Règles du triangle

Règles du triangle - règle du sinus

La première règle du triangle dont nous allons parler s'appelle la règle du sinus. La règle du sinus peut être utilisée pour trouver les côtés ou les angles manquants dans un triangle.

Considère le triangle suivant dont les côtés sont a, b et c, et les angles, A, B et C.

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Il existe deux versions de la règle du sinus.

Pour le triangle ci-dessus, la première version de la règle du sinus stipule :

$\frac{a}{\sin \left(A\right)}=\frac{b}{\sin \left(C\right)}=\frac{c}{\sin \left(C\right)}$

Cette version de la règle du sinus est généralement utilisée pour trouver la longueur d'un côté manquant.

La deuxième version de la règle du sinus est la suivante :

$\frac{\sin \left(A\right)}{a}=\frac{\sin \left(B\right)}{b}=\frac{\sin \left(C\right)}{c}$

Cette version de la règle du sinus est généralement utilisée pour trouver un angle manquant.

Pour le triangle suivant, trouve un.

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Solution

Selon la règle du sinus,

$$\begin{gathered} \frac{a}{\sin \left(A\right)}=\frac{b}{\sin \left(B\right)} \\ \frac{a}{\sin \left(75\right)}=\frac{8}{\sin \left(30\right)} \\ \frac{a}{0.966}=\frac{8}{0.5} \\ a=15.455 \end{gathered}$$

Pour ce triangle, trouve x.

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Solution

Selon la règle du sinus,

$$\begin{gathered} \frac{\sin \left(A\right)}{a}=\frac{\sin \left(B\right)}{b} \\ \frac{\sin \left(x\right)}{10}=\frac{\sin \left(50\right)}{15} \\ \frac{\sin \left(x\right)}{10}=\frac{0.766}{15} \\ \Rightarrow x=30.71° \end{gathered}$$

Règles du triangle - règle du cosinus

La deuxième règle du triangle dont nous allons parler s'appelle la règle du cosinus. La règle du cosinus peut être utilisée pour trouver les côtés ou les angles manquants dans un triangle.

Considère le triangle suivant dont les côtés sont a, b et c, et les angles, A, B et C.

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Il existe deux versions de la règle du cosinus.

Pour le triangle ci-dessus, la première version de la règle du cosinus est la suivante :

a² = b² + c² - 2bc - cos (A)

Cette version de la règle du cosinus est généralement utilisée pour trouver la longueur d'un côté manquant lorsque tu connais les longueurs des deux autres côtés et l'angle qui les sépare.

La deuxième version de la règle du cosinus est la suivante :

$\cos \left(A\right)=\frac{b²+c²-a²}{2bc}$

Cette version de la règle du cosinus est généralement utilisée pour trouver un angle lorsque les longueurs des trois côtés sont connues.

Trouve x.

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Solution

Selon la règle du cosinus,

a² = b² + c² - 2bc - cos (A)

=> x² = 5² + 8² - 2 x 5 x 8 x cos (30)

=> x² = 19.72

=> x = 4.44

Pour le triangle suivant, trouve l'angle A.

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Solution

Selon la règle du cosinus,

$$\begin{gathered} \cos \left(A\right)=\frac{b²+c²-a²}{2bc} \\ \Rightarrow \cos \left(A\right)=\frac{7^2+6^2-5^2}{2·7·6} \\ \Rightarrow \cos \left(A\right)=\frac{5}{7} \\ \Rightarrow A=44.4° \end{gathered}$$

Règles des triangles - l'aire d'un triangle

Nous connaissons déjà la formule suivante :

$Areaofatriangle=\frac{1}{2}·base·height$

Mais que se passe-t-il si nous ne connaissons pas la hauteur exacte du triangle ? Nous pouvons également déterminer la surface d'un triangle dont nous connaissons la longueur de deux côtés quelconques et l'angle qui les sépare.

Considère le triangle suivant :

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La surface du triangle ci-dessus peut être trouvée en utilisant la formule :

$Area=\frac{1}{2}ab·\sin \left(C\right)=\frac{1}{2}bc·\sin \left(A\right)=\frac{1}{2}ac·\sin \left(B\right)$

Trouve la surface du triangle.

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Solution

$$\begin{gathered} Area=\frac{1}{2}ab·\sin \left(C\right) \\ =\frac{1}{2}·6·7·\sin \left(45\right) \\ =14.85 \end{gathered}$$

La surface du triangle est de 10 unités. Trouve l'angle x.

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Solution

$$\begin{gathered} Area=\frac{1}{2}ab·\sin \left(C\right) \\ \Rightarrow 10=\frac{1}{2}·5·8·\sin \left(x\right) \\ \Rightarrow \sin \left(x\right)=0.5 \\ \Rightarrow x=30° \end{gathered}$$