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Règles du triangle

Il est possible de déduire diverses propriétés et valeurs des triangles à angle droit à l'aide des règles trigonométriques. Mais que se passe-t-il si nous avons affaire à des triangles qui n'ont pas d'angles droits ? Pouvons-nous quand même appliquer la trigonométrie pour trouver diverses propriétés des triangles donnés, comme les angles inconnus, les longueurs ou les surfaces ?

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Dernière mise à jour: 01.01.1970
Temps de lecture: 5 min

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Les règles sur les trianglesa> dont il est question dans cet article permettront d'explorer cette question plus en détail :

Règles du triangle - règle du sinus

La première règle du triangle dont nous allons parler s'appelle la règle du sinus. La règle du sinus peut être utilisée pour trouver les côtés ou les angles manquants dans un triangle.

Considère le triangle suivant dont les côtés sont a, b et c, et les angles, A, B et C.

Règle du sinus du triangle - StudySmarter Triangle avec les côtés a, b et c, et les angles, A, B et C, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals

Il existe deux versions de la règle du sinus.

Pour le triangle ci-dessus, la première version de la règle du sinus stipule :

$\frac{a}{\sin (A)} = \frac{b}{\sin (C)} = \frac{c}{\sin (C)}$

Cette version de la règle du sinus est généralement utilisée pour trouver la longueur d'un côté manquant.

La deuxième version de la règle du sinus est la suivante :

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Cette version de la règle du sinus est généralement utilisée pour trouver un angle manquant.

Pour le triangle suivant, trouve un.

Règles du triangle Trouver la longueur d'un côté StudySmarter

Solution

Selon la règle du sinus,

$\frac{a}{\sin (A)} = \frac{b}{\sin (B)} \frac{a}{\sin (75)} = \frac{8}{\sin (30)} \frac{a}{0.966} = \frac{8}{0.5} a = 15.455$

Lis les règles du sinus et du cosinus pour en savoir plus sur la règle du sinus.

Pour ce triangle, trouve x.

Règles des triangles Trouver un angle StudySmarter

Solution

Selon la règle du sinus,

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} \frac{\sin (x)}{10} = \frac{\sin (50)}{15} \frac{\sin (x)}{10} = \frac{0.766}{15} \Rightarrow x = 30.71 °$

Règles du triangle - règle du cosinus

La deuxième règle du triangle dont nous allons parler s'appelle la règle du cosinus. La règle du cosinus peut être utilisée pour trouver les côtés ou les angles manquants dans un triangle.

Considère le triangle suivant dont les côtés sont a, b et c, et les angles, A, B et C.

Règle du sinus du triangle - StudySmarter

Triangle avec les côtés a, b et c, et les angles, A, B et C, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals

Il existe deux versions de la règle du cosinus.

Pour le triangle ci-dessus, la première version de la règle du cosinus est la suivante :

a² = b² + c² - 2bc - cos (A)

Cette version de la règle du cosinus est généralement utilisée pour trouver la longueur d'un côté manquant lorsque tu connais les longueurs des deux autres côtés et l'angle qui les sépare.

La deuxième version de la règle du cosinus est la suivante :

$\cos (A) = \frac{b ² + c ² - a ²}{2 b c}$

Cette version de la règle du cosinus est généralement utilisée pour trouver un angle lorsque les longueurs des trois côtés sont connues.

Trouve x.

Règles du triangle Trouver la longueur d'un côté StudySmarter

Solution

Selon la règle du cosinus,

a² = b² + c² - 2bc - cos (A)

=> x² = 5² + 8² - 2 x 5 x 8 x cos (30)

=> x² = 19.72

=> x = 4.44

Pour le triangle suivant, trouve l'angle A.

Règles des triangles Trouver un angle StudySmarter

Solution

Selon la règle du cosinus,

$\cos (A) = \frac{b ² + c ² - a ²}{2 b c} \Rightarrow \cos (A) = \frac{7^{2} + 6^{2} - 5^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 6} \Rightarrow \cos (A) = \frac{5}{7} \Rightarrow A = 44.4 °$

Lis les règles du sinus et du cosinus pour en savoir plus sur la règle du cosinus.

Règles des triangles - l'aire d'un triangle

Nous connaissons déjà la formule suivante :

$A r e a o f a t r i a n g l e = \frac{1}{2} \cdot b a s e \cdot h e i g h t$

Mais que se passe-t-il si nous ne connaissons pas la hauteur exacte du triangle ? Nous pouvons également déterminer la surface d'un triangle dont nous connaissons la longueur de deux côtés quelconques et l'angle qui les sépare.

Considère le triangle suivant :

Règles des triangles aire d'un triangle règle des sinus StudySmarter

La surface du triangle ci-dessus peut être trouvée en utilisant la formule :

$A r e a = \frac{1}{2} a b \cdot \sin (C) = \frac{1}{2} b c \cdot \sin (A) = \frac{1}{2} a c \cdot \sin (B)$

Trouve la surface du triangle.

Règles des triangles aire d'un triangle règle des sinus StudySmarter

Solution

$A r e a = \frac{1}{2} a b \cdot \sin (C) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \sin (45) = 14.85$

La surface du triangle est de 10 unités. Trouve l'angle x.

Règles des triangles Trouver un angle StudySmarter

Solution

$A r e a = \frac{1}{2} a b \cdot \sin (C) \Rightarrow 10 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin (x) \Rightarrow \sin (x) = 0.5 \Rightarrow x = 30 °$

Clique sur Aire des triangles pour approfondir la règle de l'aire des triangles.

Règles du triangle - points clés à retenir

Tu peux utiliser la règle du sinus pour trouver les côtés ou les angles manquants dans un triangle.
La première version de la règle du sinus stipule que : $\frac{a}{\sin (A)} = \frac{b}{\sin (C)} = \frac{c}{\sin (C)}$ La deuxième version de la règle du sinus stipule que $\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$
Tu peux utiliser la règle du cosinus pour trouver les côtés ou les angles manquants dans un triangle.
La première version de la règle du cosinus stipule que :a² = b² + c² - 2bc - cos (A) La deuxième version de la règle du cosinus stipule que : $\cos (A) = \frac{b ² + c ² - a ²}{2 b c}$
Nous pouvons trouver la surface d'un triangle dont nous connaissons la longueur de deux côtés quelconques et l'angle entre eux à l'aide de la formule suivante : $A r e a = \frac{1}{2} a b \cdot \sin (C) = \frac{1}{2} b c \cdot \sin (A) = \frac{1}{2} a c \cdot \sin (B)$

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Questions fréquemment posées en Règles du triangle

Qu'est-ce que les règles du triangle en mathématiques?

Les règles du triangle en mathématiques établissent les conditions pour qu'un ensemble de trois segments forme un triangle.

Quelles sont les conditions pour qu'un triangle existe?

Pour qu'un triangle existe, la somme de deux côtés doit toujours être supérieure au troisième côté.

Comment appliquer le théorème de Pythagore dans un triangle?

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Quels sont les différents types de triangles?

Les différents types de triangles sont: équilatéral, isocèle et scalène, selon la longueur des côtés, et acutangle, rectangle, et obtusangle, selon les angles.

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Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.

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