Il est important de noter que toutes les formules ci-dessous ne sont pas écrites dans le livret de formules fourni et que tu devras les mémoriser pour ton examen.
Règle de la chaîne
La règle de la chaîne peut être utilisée lorsque tu différencies une fonction composite, également appelée fonction d'une fonction. La formule de cette règle est la suivante. C'est le cas lorsque y est une fonction de u et que u est une fonction de x :
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\].
En utilisant la règle de la chaîne, différencie \(y = (2x^3 + x)^6\).
Tu peux d'abord commencer par la réécrire en termes de y et de u :
\[\N- Début{align}y = (u)^6 \N- u = 2x^3 + x \N- Fin{align}\N].
Tu peux maintenant trouver la première partie de ta formule de règle de la chaîne \(\frac{dy}{du}\), en différenciant ton y :
\(\frac{dy}{du} = 6 u^5\)
Ensuite, tu peux trouver la deuxième partie de ta formule de la règle de la chaîne \(\frac{du}{dx}\), en différenciant ton u :
\[\frac{du}{dx} = 6x^2 + 1\]
Maintenant que tu as trouvé les deux parties de ta somme, tu peux les multiplier pour trouver \(\frac{dy}{dx}\) :
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]
\[\frac{dy}{dx} = 6u^5 \cdot 6x^2 + 1\]
\[\frac{dy}{dx} = 6u^5 (6x^2 + 1)\]
Enfin, il est important d'exprimer ta réponse en termes de x, et pour ce faire, tu peux utiliser \N(u = 2x^3 + x\N) :
\[\frac{dy}{dx} = 6(2x^3 + x)^5(6x^2 +1)\]
La fonction qui t'est donnée peut impliquer une fonction trigonométrique. Prenons un exemple pour voir comment résoudre ce problème.
Si \(y = (\sin x)^3\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)
Commençons par identifier tes u et y :
\N(y = (u)^3\N) \N(u = \sin x\N)
Maintenant, tu peux regarder la formule de la règle de la chaîne, la décomposer et trouver chaque partie :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
\(\frac{dy}{du} = 3u^2\) \(\frac{du}{dx} = \cos x\)
Ensuite, tu peux mettre tes \(\frac{dy}{du}\) et \(\frac{du}{dx}\) dans la formule pour trouver \(\frac{dy}{dx}\) :
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]
\[\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \cos x\]
Enfin, tu dois t'assurer que ta réponse est écrite en termes de x, et tu peux le faire en substituant \(u = \sin x\) :
\[\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \cos x\]
\[\frac{dy}{dx} = 3(\sin x)^2 \cos x\]
La règle de la chaîne peut également être écrite sous forme de notation, ce qui te permet de différencier une fonction d'une fonction :
Si \(y = f(g(x))\) alors \(\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) g'(x)\N).
Règle du produit
La règle du produit est utilisée lorsque tu différencies le produit de deux fonctions. Le produit d'une fonction peut être défini comme la multiplication de deux fonctions. Lorsque tu utilises cette règle, tu dois t'assurer que tu as le produit de deux fonctions et non une fonction d'une fonction, car elles peuvent être confondues. La formule de cette règle est ci-dessous - c'est si y=uv quand u et v sont des fonctions de x :
\(\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\)
Cette fonction peut également être écrite en notation de fonction :
Si \(f(x) = g(x)h(x)\N alors \N(f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x)\N)
Étant donné que \(y = 2xe^2\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)
En regardant la formule, tu dois d'abord identifier chaque partie de la formule :
\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}]
\N(u = 2x\N) \N(v = e^2\N)
Pour trouver \(\frac{dv}{dx}\) et \(\frac{du}{dx}\), tu dois différencier u et v :
\(\frac{du}{dx} = 2\) \(\frac{dv}{dx} = 0\)
Maintenant que tu as trouvé chaque partie de la formule, tu peux résoudre \(\frac{dy}{dx}\) :
\begin{align} \frac{dy}{dx} = (2x)(0) + (e^2)(2) \\N- \frac{dy}{dx} = 2e^2 \N- end{align}
Étant donné que \(y = x^2 \sin x\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)
Pour cela, tu peux commencer par regarder la formule et identifier ce dont tu as besoin :
\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\]
\(u = x^2\) \(v = \sin x\)
Tu peux maintenant différencier tes u et v pour trouver la partie suivante de la formule :
\(\frac{du}{dx} = 2x\) \(\frac{dv}{dx} = \cos{x}\)
Entre toutes ces informations dans la formule pour trouver \(\frac{dy}{dx}\) :
\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\]
\[\frac{dy}{dx} = (x^2)(\cos x) + (\sin x)(2x)\]
\[\frac{dy}{dx} = \cos x(x^2) + 2x\sin x\]
\[\frac{dy}{dx} = x^2\cos x + 2x \sin x\]
Règle du quotient
La règle du quotient est utilisée lorsque tu différencies le quotient de deux fonctions, c'est-à-dire lorsqu'une fonction est divisée par une autre. La formule utilisée pour cette règle est la suivante : \(y = \frac{u}{v}\) :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)
Ceci peut également être écrit en notation de fonction :
Si \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) alors \(f'(x) = \frac {h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\)
Si \(y = \frac{2x}{3x +4}\) trouve \(\frac{dy}{dx}\) :
Tu peux d'abord commencer par regarder ta formule et en trouver chaque partie :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)
\N(u = 2x) \N(v = 3x + 4) \N(\Nfrac{du}{dx} = 2) \N(\Nfrac{dv}{dx} = 3)
Tu peux maintenant résoudre la formule avec toutes les informations ci-dessus :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{(3x +4) \cdot 2 - (2x) \cdot 3}{(3x + 4)^2}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{8}{(3x + 4)^2}\)
Voyons un deuxième exemple impliquant une fonction trigonométrique.
Si \(y = \frac{\cos x}{2x^2}\) trouve \(\frac{dy}{dx}\).
Comme dans l'exemple précédent, tu peux commencer par regarder ta formule et en trouver chaque partie pour trouver ton \(\frac{dy}{dx}\) :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)
\(u = \cos x\) \(v = 2x^2\) \(\frac{du}{dx} = -\sin x\) \(\frac{dy}{dx} = 4x\)
Maintenant que tu as toutes les parties de la formule, tu peux les substituer dans la formule et trouver \(\frac{dy}{dx}\) :
\[\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\]
\[\frac{dy}{dx} = \frac{(2x^2)(-\sin x) - (\cos x)(4x)}{(2x^2)^2}\]
\[\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 \sin x - 4x \cos x}{(2x^2)^2}\]
Règles de différenciation - Principaux enseignements
Il existe trois règles de différenciation principales, la règle de la chaîne, la règle du produit et la règle du quotient.
Chaque règle est utilisée pour une raison différente et possède une formule différente que tu dois utiliser.
La règle de la chaîne est utilisée lorsque tu différencies une fonction composée.
La règle du produit est utilisée lorsque tu différencies les produits de deux fonctions.
La règle du quotient est utilisée lorsque tu différencies le quotient de deux fonctions.
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