Règles de différenciation

En utilisant la règle de la chaîne, différencie \(y = (2x^3 + x)^6\).

Tu peux d'abord commencer par la réécrire en termes de y et de u :

\[\N- Début{align}y = (u)^6 \N- u = 2x^3 + x \N- Fin{align}\N].

Tu peux maintenant trouver la première partie de ta formule de règle de la chaîne \(\frac{dy}{du}\), en différenciant ton y :

\(\frac{dy}{du} = 6 u^5\)

Ensuite, tu peux trouver la deuxième partie de ta formule de la règle de la chaîne \(\frac{du}{dx}\), en différenciant ton u :

\[\frac{du}{dx} = 6x^2 + 1\]

Maintenant que tu as trouvé les deux parties de ta somme, tu peux les multiplier pour trouver \(\frac{dy}{dx}\) :

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]

\[\frac{dy}{dx} = 6u^5 \cdot 6x^2 + 1\]

\[\frac{dy}{dx} = 6u^5 (6x^2 + 1)\]

Enfin, il est important d'exprimer ta réponse en termes de x, et pour ce faire, tu peux utiliser \N(u = 2x^3 + x\N) :

\[\frac{dy}{dx} = 6(2x^3 + x)^5(6x^2 +1)\]

Si \(y = (\sin x)^3\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)

Commençons par identifier tes u et y :

\N(y = (u)^3\N) \N(u = \sin x\N)

Maintenant, tu peux regarder la formule de la règle de la chaîne, la décomposer et trouver chaque partie :

\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)

\(\frac{dy}{du} = 3u^2\) \(\frac{du}{dx} = \cos x\)

Ensuite, tu peux mettre tes \(\frac{dy}{du}\) et \(\frac{du}{dx}\) dans la formule pour trouver \(\frac{dy}{dx}\) :

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]

\[\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \cos x\]

Enfin, tu dois t'assurer que ta réponse est écrite en termes de x, et tu peux le faire en substituant \(u = \sin x\) :

\[\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \cos x\]

\[\frac{dy}{dx} = 3(\sin x)^2 \cos x\]

Étant donné que \(y = 2xe^2\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)

En regardant la formule, tu dois d'abord identifier chaque partie de la formule :

\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}]

\N(u = 2x\N) \N(v = e^2\N)

Pour trouver \(\frac{dv}{dx}\) et \(\frac{du}{dx}\), tu dois différencier u et v :

\(\frac{du}{dx} = 2\) \(\frac{dv}{dx} = 0\)

Maintenant que tu as trouvé chaque partie de la formule, tu peux résoudre \(\frac{dy}{dx}\) :

\begin{align} \frac{dy}{dx} = (2x)(0) + (e^2)(2) \\N- \frac{dy}{dx} = 2e^2 \N- end{align}

Étant donné que \(y = x^2 \sin x\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)

Pour cela, tu peux commencer par regarder la formule et identifier ce dont tu as besoin :

\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\]

\(u = x^2\) \(v = \sin x\)

Tu peux maintenant différencier tes u et v pour trouver la partie suivante de la formule :

\(\frac{du}{dx} = 2x\) \(\frac{dv}{dx} = \cos{x}\)

Entre toutes ces informations dans la formule pour trouver \(\frac{dy}{dx}\) :

\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\]$\frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$

\[\frac{dy}{dx} = (x^2)(\cos x) + (\sin x)(2x)\]

\[\frac{dy}{dx} = \cos x(x^2) + 2x\sin x\]

\[\frac{dy}{dx} = x^2\cos x + 2x \sin x\]

Si \(y = \frac{2x}{3x +4}\) trouve \(\frac{dy}{dx}\) :

Tu peux d'abord commencer par regarder ta formule et en trouver chaque partie :

\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)

\N(u = 2x) \N(v = 3x + 4) \N(\Nfrac{du}{dx} = 2) \N(\Nfrac{dv}{dx} = 3)

Tu peux maintenant résoudre la formule avec toutes les informations ci-dessus :

\(\frac{dy}{dx} = \frac{(3x +4) \cdot 2 - (2x) \cdot 3}{(3x + 4)^2}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{8}{(3x + 4)^2}\)

Si \(y = \frac{\cos x}{2x^2}\) trouve \(\frac{dy}{dx}\).

Comme dans l'exemple précédent, tu peux commencer par regarder ta formule et en trouver chaque partie pour trouver ton \(\frac{dy}{dx}\) :

\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)

\(u = \cos x\) \(v = 2x^2\) \(\frac{du}{dx} = -\sin x\) \(\frac{dy}{dx} = 4x\)

Maintenant que tu as toutes les parties de la formule, tu peux les substituer dans la formule et trouver \(\frac{dy}{dx}\) :

\[\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\]

\[\frac{dy}{dx} = \frac{(2x^2)(-\sin x) - (\cos x)(4x)}{(2x^2)^2}\]

\[\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 \sin x - 4x \cos x}{(2x^2)^2}\]