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Un exemple de fonction quotient est \(y = \frac{3x}{2x + 2}\) ou \(y = \frac{x^2}{3x}\).
Formule de la règle du quotient
Il existe une formule qui peut être utilisée lorsque l'on utilise la règle du quotient pour différencier :
Si \(y = \frac{u}{v}\) alors \(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\).
Cette formule peut également être écrite en notation de fonction :
Lorsque \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) alors \(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\)
Exemples utilisant la formule de la règle du quotient
Si \(y = \frac{2x^2}{2x +2}\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)
Pour commencer, tu peux regarder la formule et trouver chaque partie dont tu as besoin :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)
\N(u = 2x^2\N) \N(v = 2x +2\N) \N(\frac{du}{dx} = 4x\N) \N(\frac{dv}{dx} = 2\N)Ensuite, tu peux substituer chaque variable que tu as trouvée dans la formule :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 2)(4x) - (2x^2)(2)}{(2x + 2)^2}\)
Tu peux maintenant simplifier et résoudre ta formule pour trouver :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{(8x^2 + 8x) - (4x^2)}{(2x + 2)^2}\)\(\frac{dy}{dx} = \frac{4x^2 + 8x}{(2x + 2)^2}\)
Prenons un exemple où une fonction trigonométrique est impliquée pour voir comment tu résoudrais \(\frac{dy}{dx}\) :
Si \(y = \frac{\sin x}{3x + 5}\) trouve \(\frac{dy}{dx}\).
Comme précédemment, il est bon de commencer par identifier la formule dont tu as besoin et de la décomposer pour trouver chaque partie de l'équation. Tu sais qu'en raison de la présence d'une fraction dans la question, tu peux utiliser la formule de la règle du quotient. Jetons un coup d'œil à la formule et trouvons-en chaque partie :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)
\(u = \sin x\) \(v = 3x +5\) \(\frac{du}{dx} = \cos x\) \(\frac{dv}{dx} = 3\)
Maintenant que tu as identifié chaque partie de la formule, tu peux substituer les parties dans l'équation pour résoudre \(\frac{dy}{dx}\) :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{(3x +5)(\cos x) - (\sin x)(3)}{(3x + 5)^2}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{3x \cos x + 5 \cos x - 3\sin x}{(3x + 5)^2}\)Exemples utilisant la notation de fonction
Il est utile de savoir comment utiliser la règle du quotient en termes de notation de fonction, car c'est peut-être ainsi qu'elle apparaît dans la question de l'examen. Rappelons la formule de la notation de la fonction avant de donner quelques exemples !
Lorsque \(f'(x) = \frac{g(x)}{h(x)})then\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) then\(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N}, la règle du quotient s'applique.
Si \(f(x) = \frac{x}{3x^3 + 2}\) trouve \(f'(x)\).
Une fois de plus, il est bon de commencer par identifier la formule nécessaire et chacune de ses parties. Comme il s'agit d'un quotient et que la question est écrite sous forme de fonction, tu sais que tu dois utiliser la règle du quotient en notation de fonction :
\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) then\(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N- \N(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N}.
\(g(x) = x) \N(h(x) = 3x^3 + 2\N) \N(g'(x) = 1) \N(h'(x) = 9x^2\N)
Ensuite, tu peux substituer chaque partie que tu as identifiée dans la formule pour trouver \(f'(x)\) :
\(f'(x) = \frac{(3x^3 + 2)(1) - (x)(9x^2)}{(3x^3 + 2)^2}\)
\(f'(x) = \frac{(3x^3 + 2) - (9x^3)}{(3x^3 + 2)^2}\)
\(f'(x) = \frac{-6x^3 + 2}{(3x^3 + 2)^2}\)
Prenons un autre exemple.
Si \(f(x) = \frac{2x + 2}{\ln x}\) trouve \(f'(x)\N).
Tu peux commencer par regarder ta formule pour la notation de la fonction de la règle du quotient et préparer chaque partie de l'équation pour la résoudre :
\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) puis \(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N- \N(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N}.
\N(g(x) = 2x +2\N) \N(h(x) = \Nn x\N) \N(g'(x) = 2\N) \N(h'(x) = \Nfrac{1}{x}\N)
Maintenant, tu peux substituer chaque partie dans la formule pour résoudre \N(f'(x)\N) :
\(f'(x) = \frac{(\Nn x) (2) - (2x + 2) (\frac{1}{x})}{(\N x)^2}\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N}}) \(f'(x) = \frac{2x \ln x - 2x -2}{x(\ln x)^2}\)
Comment résoudre les problèmes à l'aide de la règle du quotient ?
Comme les fonctions peuvent être représentées visuellement à l'aide de graphiques, il peut arriver que tu aies besoin de résoudre une question en te basant sur les points que la fonction peut traverser. Pour cela, tu peux encore simplement utiliser la formule de la règle du quotient si elle s'applique, puis avec quelques étapes supplémentaires par la suite, tu pourras trouver la valeur.
Trouve la valeur de \(\frac{dy}{dx}\) pour le point (2, 1/3) de lacourbe où \(y = \frac{x^2}{3x+6}\).
Pour ce type de question, tu dois commencer de la même manière que précédemment, en identifiant ta formule et en trouvant chaque partie de celle-ci :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)
\(u = x^2\) \(v = 3x +6\) \(\frac{du}{du} = 2x\) \(\frac{dv}{dx} = 3\)
Encore une fois, comme avant, tu substitues chaque partie dans la formule pour résoudre \(\frac{dy}{dx}\) :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{(3x + 6) (2x) - (x^2)(3)}{(3x +6)^2}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{6x^2 + 12x - 3x^2}{(3x +6)^2}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 12x}{(3x +6)^2}\)
Maintenant, comme tu cherches à trouver la valeur de \(\frac{dy}{dx}\) lorsque le point de la courbe est (2, 1/3), tu peux substituer la coordonnée x dans l'équation ci-dessus :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 12x}{(3x +6)^2}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{3(2)^2 + 12(2)}{(3(2) +6)^2}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{36}{144}\)
Règle du quotient - Points clés
La règle du quotient est une règle utilisée dans la différenciation. Elle est utilisée lorsque tu différencies un quotient, c'est-à-dire une fonction qui est divisée par une autre fonction.
La formule de la règle du quotient est la suivante : \(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\) si \(y = \frac{u}{v}\).
- La formule peut également être écrite en notation de fonction lorsque \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) then\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\N then\(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N)
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