Règle du quotient

Si \(y = \frac{2x^2}{2x +2}\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)

Pour commencer, tu peux regarder la formule et trouver chaque partie dont tu as besoin :

\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)

Ensuite, tu peux substituer chaque variable que tu as trouvée dans la formule :

\(\frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 2)(4x) - (2x^2)(2)}{(2x + 2)^2}\)

Tu peux maintenant simplifier et résoudre ta formule pour trouver :

\(\frac{dy}{dx} = \frac{4x^2 + 8x}{(2x + 2)^2}\)

Si \(y = \frac{\sin x}{3x + 5}\) trouve \(\frac{dy}{dx}\).

Comme précédemment, il est bon de commencer par identifier la formule dont tu as besoin et de la décomposer pour trouver chaque partie de l'équation. Tu sais qu'en raison de la présence d'une fraction dans la question, tu peux utiliser la formule de la règle du quotient. Jetons un coup d'œil à la formule et trouvons-en chaque partie :

\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)

\(u = \sin x\) \(v = 3x +5\) \(\frac{du}{dx} = \cos x\) \(\frac{dv}{dx} = 3\)

Maintenant que tu as identifié chaque partie de la formule, tu peux substituer les parties dans l'équation pour résoudre \(\frac{dy}{dx}\) :

\(\frac{dy}{dx} = \frac{(3x +5)(\cos x) - (\sin x)(3)}{(3x + 5)^2}\)

Si \(f(x) = \frac{x}{3x^3 + 2}\) trouve \(f'(x)\).

Une fois de plus, il est bon de commencer par identifier la formule nécessaire et chacune de ses parties. Comme il s'agit d'un quotient et que la question est écrite sous forme de fonction, tu sais que tu dois utiliser la règle du quotient en notation de fonction :

\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) then\(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N- \N(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N}.

\(g(x) = x) \N(h(x) = 3x^3 + 2\N) \N(g'(x) = 1) \N(h'(x) = 9x^2\N)

Ensuite, tu peux substituer chaque partie que tu as identifiée dans la formule pour trouver \(f'(x)\) :

\(f'(x) = \frac{(3x^3 + 2)(1) - (x)(9x^2)}{(3x^3 + 2)^2}\)

\(f'(x) = \frac{(3x^3 + 2) - (9x^3)}{(3x^3 + 2)^2}\)

\(f'(x) = \frac{-6x^3 + 2}{(3x^3 + 2)^2}\)

Si \(f(x) = \frac{2x + 2}{\ln x}\) trouve \(f'(x)\N).

Tu peux commencer par regarder ta formule pour la notation de la fonction de la règle du quotient et préparer chaque partie de l'équation pour la résoudre :

\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) puis \(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N- \N(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N}.

\N(g(x) = 2x +2\N) \N(h(x) = \Nn x\N) \N(g'(x) = 2\N) \N(h'(x) = \Nfrac{1}{x}\N)

Maintenant, tu peux substituer chaque partie dans la formule pour résoudre \N(f'(x)\N) :

\(f'(x) = \frac{(\Nn x) (2) - (2x + 2) (\frac{1}{x})}{(\N x)^2}\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N}}) \(f'(x) = \frac{2x \ln x - 2x -2}{x(\ln x)^2}\)

Trouve la valeur de \(\frac{dy}{dx}\) pour le point (2, 1/3) de lacourbe où \(y = \frac{x^2}{3x+6}\).

Pour ce type de question, tu dois commencer de la même manière que précédemment, en identifiant ta formule et en trouvant chaque partie de celle-ci :

\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)

\(u = x^2\) \(v = 3x +6\) \(\frac{du}{du} = 2x\) \(\frac{dv}{dx} = 3\)

Encore une fois, comme avant, tu substitues chaque partie dans la formule pour résoudre \(\frac{dy}{dx}\) :

\(\frac{dy}{dx} = \frac{(3x + 6) (2x) - (x^2)(3)}{(3x +6)^2}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{6x^2 + 12x - 3x^2}{(3x +6)^2}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 12x}{(3x +6)^2}\)

Maintenant, comme tu cherches à trouver la valeur de \(\frac{dy}{dx}\) lorsque le point de la courbe est (2, 1/3), tu peux substituer la coordonnée x dans l'équation ci-dessus :

\(\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 12x}{(3x +6)^2}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{3(2)^2 + 12(2)}{(3(2) +6)^2}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{36}{144}\)