Règle du quotient

Mobile Features AB

La règle du quotient est une règle utilisée lorsque tu différencies une fonction quotient. Une fonction quotient peut être décrite comme une fonction qui est divisée par une autre fonction.

C'est parti

Des millions de fiches spécialement conçues pour étudier facilement

Inscris-toi gratuitement

Achieve better grades quicker with Premium

PREMIUM
Karteikarten Spaced Repetition Lernsets AI-Tools Probeklausuren Lernplan Erklärungen Karteikarten Spaced Repetition Lernsets AI-Tools Probeklausuren Lernplan Erklärungen
Kostenlos testen

Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst

Review generated flashcards

Inscris-toi gratuitement
Tu as atteint la limite quotidienne de l'IA

Commence à apprendre ou crée tes propres flashcards d'IA

Équipe éditoriale StudySmarter

Équipe enseignants Règle du quotient

  • Temps de lecture: 7 minutes
  • Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter
Sauvegarder l'explication Sauvegarder l'explication
Sign up for free to save, edit & create flashcards.
Sauvegarder l'explication Sauvegarder l'explication
  • Fact Checked Content
  • reading time:7 min
Tables des matières
Tables des matières
  • Fact Checked Content
  • Last Updated: 01.01.1970
  • reading time:7 min
  • Content creation process designed by
    Lily Hulatt Avatar
  • Content cross-checked by
    Gabriel Freitas Avatar
  • Content quality checked by
    Gabriel Freitas Avatar
Sign up for free to save, edit & create flashcards.
Sauvegarder l'explication Sauvegarder l'explication

Sauter à un chapitre clé

    Un exemple de fonction quotient est \(y = \frac{3x}{2x + 2}\) ou \(y = \frac{x^2}{3x}\).

    Formule de la règle du quotient

    Il existe une formule qui peut être utilisée lorsque l'on utilise la règle du quotient pour différencier :

    Si \(y = \frac{u}{v}\) alors \(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\).

    Cette formule peut également être écrite en notation de fonction :

    Lorsque \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) alors \(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\)

    Exemples utilisant la formule de la règle du quotient

    Si \(y = \frac{2x^2}{2x +2}\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)

    Pour commencer, tu peux regarder la formule et trouver chaque partie dont tu as besoin :

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)

    \N(u = 2x^2\N) \N(v = 2x +2\N) \N(\frac{du}{dx} = 4x\N) \N(\frac{dv}{dx} = 2\N)

    Ensuite, tu peux substituer chaque variable que tu as trouvée dans la formule :

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 2)(4x) - (2x^2)(2)}{(2x + 2)^2}\)

    Tu peux maintenant simplifier et résoudre ta formule pour trouver :

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{(8x^2 + 8x) - (4x^2)}{(2x + 2)^2}\)

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{4x^2 + 8x}{(2x + 2)^2}\)

    Prenons un exemple où une fonction trigonométrique est impliquée pour voir comment tu résoudrais \(\frac{dy}{dx}\) :

    Si \(y = \frac{\sin x}{3x + 5}\) trouve \(\frac{dy}{dx}\).

    Comme précédemment, il est bon de commencer par identifier la formule dont tu as besoin et de la décomposer pour trouver chaque partie de l'équation. Tu sais qu'en raison de la présence d'une fraction dans la question, tu peux utiliser la formule de la règle du quotient. Jetons un coup d'œil à la formule et trouvons-en chaque partie :

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)

    \(u = \sin x\) \(v = 3x +5\) \(\frac{du}{dx} = \cos x\) \(\frac{dv}{dx} = 3\)

    Maintenant que tu as identifié chaque partie de la formule, tu peux substituer les parties dans l'équation pour résoudre \(\frac{dy}{dx}\) :

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{(3x +5)(\cos x) - (\sin x)(3)}{(3x + 5)^2}\)

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{3x \cos x + 5 \cos x - 3\sin x}{(3x + 5)^2}\)

    Exemples utilisant la notation de fonction

    Il est utile de savoir comment utiliser la règle du quotient en termes de notation de fonction, car c'est peut-être ainsi qu'elle apparaît dans la question de l'examen. Rappelons la formule de la notation de la fonction avant de donner quelques exemples !

    Lorsque \(f'(x) = \frac{g(x)}{h(x)})then\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) then\(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N}, la règle du quotient s'applique.

    Si \(f(x) = \frac{x}{3x^3 + 2}\) trouve \(f'(x)\).

    Une fois de plus, il est bon de commencer par identifier la formule nécessaire et chacune de ses parties. Comme il s'agit d'un quotient et que la question est écrite sous forme de fonction, tu sais que tu dois utiliser la règle du quotient en notation de fonction :

    \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) then\(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N- \N(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N}.

    \(g(x) = x) \N(h(x) = 3x^3 + 2\N) \N(g'(x) = 1) \N(h'(x) = 9x^2\N)

    Ensuite, tu peux substituer chaque partie que tu as identifiée dans la formule pour trouver \(f'(x)\) :

    \(f'(x) = \frac{(3x^3 + 2)(1) - (x)(9x^2)}{(3x^3 + 2)^2}\)

    \(f'(x) = \frac{(3x^3 + 2) - (9x^3)}{(3x^3 + 2)^2}\)

    \(f'(x) = \frac{-6x^3 + 2}{(3x^3 + 2)^2}\)

    Prenons un autre exemple.

    Si \(f(x) = \frac{2x + 2}{\ln x}\) trouve \(f'(x)\N).

    Tu peux commencer par regarder ta formule pour la notation de la fonction de la règle du quotient et préparer chaque partie de l'équation pour la résoudre :

    \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) puis \(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N- \N(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N}.

    \N(g(x) = 2x +2\N) \N(h(x) = \Nn x\N) \N(g'(x) = 2\N) \N(h'(x) = \Nfrac{1}{x}\N)

    Maintenant, tu peux substituer chaque partie dans la formule pour résoudre \N(f'(x)\N) :

    \(f'(x) = \frac{(\Nn x) (2) - (2x + 2) (\frac{1}{x})}{(\N x)^2}\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N}}) \(f'(x) = \frac{2x \ln x - 2x -2}{x(\ln x)^2}\)

    Comment résoudre les problèmes à l'aide de la règle du quotient ?

    Comme les fonctions peuvent être représentées visuellement à l'aide de graphiques, il peut arriver que tu aies besoin de résoudre une question en te basant sur les points que la fonction peut traverser. Pour cela, tu peux encore simplement utiliser la formule de la règle du quotient si elle s'applique, puis avec quelques étapes supplémentaires par la suite, tu pourras trouver la valeur.

    Trouve la valeur de \(\frac{dy}{dx}\) pour le point (2, 1/3) de lacourbe où \(y = \frac{x^2}{3x+6}\).

    Pour ce type de question, tu dois commencer de la même manière que précédemment, en identifiant ta formule et en trouvant chaque partie de celle-ci :

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)

    \(u = x^2\) \(v = 3x +6\) \(\frac{du}{du} = 2x\) \(\frac{dv}{dx} = 3\)

    Encore une fois, comme avant, tu substitues chaque partie dans la formule pour résoudre \(\frac{dy}{dx}\) :

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{(3x + 6) (2x) - (x^2)(3)}{(3x +6)^2}\)

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{6x^2 + 12x - 3x^2}{(3x +6)^2}\)

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 12x}{(3x +6)^2}\)

    Maintenant, comme tu cherches à trouver la valeur de \(\frac{dy}{dx}\) lorsque le point de la courbe est (2, 1/3), tu peux substituer la coordonnée x dans l'équation ci-dessus :

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 12x}{(3x +6)^2}\)

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{3(2)^2 + 12(2)}{(3(2) +6)^2}\)

    \(\frac{dy}{dx} = \frac{36}{144}\)

    Règle du quotient - Points clés

    • La règle du quotient est une règle utilisée dans la différenciation. Elle est utilisée lorsque tu différencies un quotient, c'est-à-dire une fonction qui est divisée par une autre fonction.

    • La formule de la règle du quotient est la suivante : \(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\) si \(y = \frac{u}{v}\).

    • La formule peut également être écrite en notation de fonction lorsque \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) then\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\N then\(f'(x) = \frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\N)
    Apprends plus vite avec les 0 fiches sur Règle du quotient

    Inscris-toi gratuitement pour accéder à toutes nos fiches.

    Règle du quotient
    Questions fréquemment posées en Règle du quotient
    Qu'est-ce que la règle du quotient en mathématiques?
    La règle du quotient est une méthode utilisée pour dériver une fraction de deux fonctions différentiables.
    Comment appliquer la règle du quotient?
    Pour appliquer la règle du quotient, utilisez la formule (u/v)' = (u'v - uv') / v², où u et v sont des fonctions différentiables.
    Quand utilise-t-on la règle du quotient?
    On utilise la règle du quotient quand on doit dériver le rapport de deux fonctions dans le calcul différentiel.
    Quel est un exemple simple de la règle du quotient?
    Par exemple, pour f(x) = (x²) / (x + 1), utilisez la règle du quotient: f'(x) = [(2x)(x+1) - (x²)(1)] / (x+1)².
    Sauvegarder l'explication
    How we ensure our content is accurate and trustworthy?

    At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.

    Content Creation Process:
    Lily Hulatt Avatar

    Lily Hulatt

    Digital Content Specialist

    Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.

    Get to know Lily
    Content Quality Monitored by:
    Gabriel Freitas Avatar

    Gabriel Freitas

    AI Engineer

    Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

    Get to know Gabriel

    Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

    Lance-toi dans tes études
    1
    À propos de StudySmarter

    StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.

    En savoir plus
    Équipe éditoriale StudySmarter

    Équipe enseignants Mathématiques

    • Temps de lecture: 7 minutes
    • Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter
    Sauvegarder l'explication Sauvegarder l'explication

    Sauvegarder l'explication

    Inscris-toi gratuitement

    Inscris-toi gratuitement et commence à réviser !

    Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !

    La première appli d'apprentissage qui a réunit vraiment tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens.

    • Fiches & Quiz
    • Assistant virtuel basé sur l’IA
    • Planificateur d'étude
    • Examens blancs
    • Prise de notes intelligente
    Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !