Formule de la règle du produit et notation des fonctions
Il existe une formule que tu peux suivre pour utiliser la règle du produit. Il est important d'essayer de se souvenir de cette formule car elle ne figure généralement pas dans les livrets de formules d'examen. Si lorsque u et v sont des fonctions de x, la formule de la règle du produit est la suivante :
\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\].
Ceci peut également être écrit en notation de fonction,
Si \(f(x) = g(x)h(x)\N alors \N(f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x)\N)
Exemples de la règle du produit
Pour mieux comprendre la règle du produit, voyons quelques exemples de son utilisation.
Si \(y = 5xe^2\) trouve \(\frac{dy}{dx}\) :
Tout d'abord, tu peux commencer par regarder la formule de la règle du produit et trouver chaque aspect de la formule :
\[ \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\].
Si \(y = 5xe^2\), \(u = 5x\) et \(v = e^2\)
Pour trouver \(\frac{dv}{dx}\) et \(\frac{du}{dx}\), tu peux différencier u et v :
\(\frac{du}{dx} = 5\) \(\frac{dv}{dx} = 0\)
Maintenant que tu as tous les aspects de ta formule, tu peux la résoudre pour trouver \(\frac{dy}{dx}\) :
\[\frac{dy}{dx} = (5x)(0) + (e^2)(5) = 5e^2\]
On peut aussi te demander de différencier une fonction trigonométrique en utilisant la règle du produit.
Si \(y = (4\sin{x})e^2\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)
Comme précédemment, tu peux commencer par trouver chaque partie de la formule :
\[ \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\].
Si \(y = (4\sin{x})e^2\), \(u = 4\sin x\) et \(v = e^2\)
Tu peux maintenant différencier u et v pour trouver \(\frac{dv}{dx}\) et \(\frac{du}{dx}\) :
\(\frac{du}{dx} = 4\cos x\) \(\frac{dv}{dx} = 0\)
Enfin, tu peux substituer chaque partie dans ta formule pour trouver \(\frac{dy}{dx}\) :
\[\frac{dy}{dx} = (4\sin x)(0) + (e^2)(4\cos x)\]
\N- [\N- \Nfrac{dy}{dx} = 4e^2\Ncos x]\N]
On peut même te demander d'utiliser la règle du produit dans la notation des fonctions.
Si \N(f(x) = 2x^2(x^2 + 4)\Ntrouve \N(f'(x)\N)
Une fois de plus, tu peux commencer par décomposer la formule de la règle du produit en notation de fonction et trouver chaque partie.
\N(f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x)\N)
Si \(f(x) = 2x^2(x^2 + 4)\), \(g(x) = 2x^2\) et \(h(x) = x^2 + 4\).
Ensuite, tu peux différencier g(x) et h(x) pour trouver les dérivées, g'(x) et h'(x) :
\N(g' = 4x\N) \N(h'(x) = 2x\N)
Maintenant que tu as chaque partie de la formule, tu peux la résoudre pour trouver f'(x) :
\(f'(x) = (2x^2)(2x) + (x^2 + 4)(4x) = 2(4x^3 + 8x)\)
Si \(y = \ln x(x^2)\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)
Pour commencer, examinons la formule de la règle du produit et trouvons-en chaque aspect :
\[ \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}].
Si \(y = \ln x(x^2)\), \(u = \ln x\) et \(v = x^2\).
Différencions les termes pour trouver \(\frac{dv}{dx}\) et \(\frac{du}{dx}\) :
\(\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}\) \(\frac{dv}{dx} = 2x\)
Tu peux maintenant insérer chaque partie dans la formule pour trouver \(\frac{dy}{dx}\) :
\[ \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}}\]
\frac{dy}{dx} = (\ln{x})(2x) + (x^2)(\frac{1}{x}) = 2x \ln{x} + x\]
Règle du produit - Points clés
La règle du produit est l'une des règles de différenciation.
La règle du produit peut être utilisée pour différencier les produits de deux fonctions.
Lorsque tu utilises la règle du produit, tu peux utiliser la formule sous la forme y ou sous la forme de la notation de la fonction.
Tu peux aussi avoir besoin de différencier des fonctions trigonométriques à l'aide de la règle du produit.
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