Formule de la règle de la chaîne
Il existe une formule pour utiliser la règle de la chaîne, lorsque y est une fonction de u et que u est une fonction de x :
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\].
La formule peut également être écrite en notation de fonction,
si \(y = f(g(x))\N) alors \N(\frac{dy}{dx} = f'(g(x))g'(x)\N)
Exemples utilisant la formule et la notation des fonctions
Voyons quelques exemples de la règle de la chaîne pour t'aider à mieux la comprendre :
Si \(y = (2x - 1)^3\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)
Tu peux commencer par regarder la formule de la règle de la chaîne avant de réécrire ton y en termes de y et de u :
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]
\N(y = (u)^3\N) \N(u = 2x -1\N)
Ensuite, tu peux prendre ton y et ton u et les différencier pour trouver: \(\frac{dy}{du} \space \frac{du}{dx}\)
\N(y = (u)^3\N)
\N(\frac{dy}{du} = 3u^2\N)
Tu peux maintenant différencier ton u pour trouver : \(\frac{du}{dx}\)
\N(u = 2x - 1\N)
\(\frac{du}{dx} = 2\)
Maintenant que tu connais chaque aspect de la formule, tu peux trouver \(\frac{dy}{dx}\) :
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]
\(\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot 2\)
\N(\Nfrac{dy}{dx} = 6u^2\N)
Enfin, tu dois t'assurer que ta réponse est écrite en termes de x, pour cela tu peux substituer \(u = 2x-1\) :\(\frac{dy}{dx} = 6u^2\)
\(\frac{dy}{dx} = 6(2x -1)^2\)
La question peut également faire appel à certaines fonctions trigonométriques. Voyons un exemple de la façon de procéder.
Si \(y = (\sin x)^5\) trouve \(\frac{dy}{dx}\)
Tu peux commencer comme avant, en trouvant chaque aspect de ta formule :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}\)
\N(y = (u)^5\N) \N(u = \sin x\N)
Tu peux ensuite différencier y et u pour trouver \(\frac{dy}{du}\) et \(\frac{du}{dx}\):
\(\frac{dy}{du} = 5u^4\) \(\frac{du}{dx} = \cos x\)
Maintenant que tu as tous les aspects, tu peux résoudre pour trouver : \(\frac{dy}{dx}\)
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}\]
\[\frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot \cos x\]
Une fois de plus, tu dois t'assurer que ta réponse est écrite en termes de x. Pour ce faire, tu dois substituer \(u = \sin x\) :\[\frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot \cos x\]\[\frac{dy}{dx} = 5(\sin x)^4 \cdot \cos x\]
Il se peut que l'on te donne la question sous forme de notation de fonction et que l'on te demande de faire la différence.
Différencier (f(g(x)) = (3x^2 + 2)^2\)
Tout d'abord, tu dois commencer par regarder ta formule de notation de fonction :
Si \(y = f(g(x))\) alors \(\frac{dy}{dx} = f'(g(x))g'(x)\N-)
Tu peux maintenant identifier tes f(x) et g(x) :\(f(x) = x^2) \N(g(x) = 3x^2 + 2\N)
Ensuite, tu peux différencier f(x) et g(x) pour trouver f'(x) et g'(x) :
\N(f'(x) = 2x \Nquad g'(x) = 6x\N)
Pour la formule, tu dois aussi trouver: f'(g(x))
\(f'(g(x)) = 2(3x^2 + 2)\)
Maintenant que tu connais tous les aspects de la formule de notation de la fonction, tu peux substituer chaque partie et trouver \(\frac{dy}{dx}\) :
\(\frac{dy}{dx} = f'(g(x))g'(x)\)
\(\begin{align}) \frac{dy}{dx} &=2(3x^2 + 2)(6x) \N- &= (6x^2 + 4)(6x) \N- &= 36x^3 + 24x \N-end{align}\N)
Que faire si la fonction n'est pas sous la forme y = f(x) ?
Il est important de réfléchir à la formule que tu utiliserais si la fonction qui t'est donnée n'est pas sous la forme \N(y = f(x)\N). La formule à utiliser dans ce cas est la suivante :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy}\).
La question pourrait ressembler à ceci :
Trouve la valeur de \(\frac{dy}{dx}\) au point (4, 1) sur la courbe \(y^4 + 2y = x\).
Voyons comment tu pourrais résoudre cette question. Tout d'abord, tu peux commencer par différencier l'équation par rapport à y :
\(y^4 + 2y = x)
\N(\Nfrac{dx}{dy} = 4y^3 +2\N)
Ensuite, tu substitues ton équation différenciée dans la formule,
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy}\]
\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y^3 + 2}\)
Il ne te reste plus qu'à substituer le y du point de la courbe de la question dans la formule pour trouver ta réponse :
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y^3 + 2}\]
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4(1)^3 + 2}\]
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6}\]
Trouve la valeur de \(\frac{dy}{dx}\) au point (6, 3) sur la courbe \(4y^2 + 3y = x\).
Une fois de plus, tu commences par différencier l'équation par rapport à y :
\(4y^2 + 3y = x)
\N(\Nfrac{dx}{dy} = 8y + 3\N)
Tu peux maintenant entrer ces données dans la formule pour trouver la valeur de \(\frac{dy}{dx}\) au point (6,3) : \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy}\]
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{8y+3}\]
Ensuite, tu substitues la valeur y des coordonnées afin de résoudre l'équation :
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{8y+3}\]
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{8(3)+3}\]
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{27}\]
Qu'est-ce que la règle de la chaîne inversée ?
La règle de la chaîne inversée est utilisée lors de l'intégration d'une fonction ; elle consiste à prendre la fonction différenciée et à la ramener à sa forme initiale.
Intégrer \(\int{12(3x+3)^3 dx}\)
Pour ce faire, tu peux commencer par identifier ta fonction principale et la décomposer pour la ramener à son intégrale d'origine. Tu peux le faire en travaillant à l'envers :
\(12(3x + 3)^3\)
\N- (4(3x + 3)^3 \Ncdot 3\N)
\((3x + 3)^4\)
\N(\Nint{12(3x + 3)^3 dx} = (3x + 3)^4 + c\N)
Tu trouveras ci-dessus une explication de la façon dont tu obtiens la réponse. Lorsque tu différencies x à une puissance, tu peux abaisser la puissance devant x et la puissance diminue de 1. Par exemple, x3 devient 3x2. Tu sais aussi que quelque chose a été multiplié pour obtenir 12 - dans ce cas, 4 puisque la puissance est 3. Si tu fais un pas en arrière, tu peux ramener le 4 à une puissance. Lorsque tu utilises la règle de la chaîne inversée, il est également important que tu ajoutes une constante à ta réponse, représentée par c.
Règle de la chaîne - Principaux enseignements
La règle de la chaîne est une règle utilisée pour différencier des fonctions composées, et ces fonctions sont également connues sous le nom de fonction d'une fonction.
La formule que l'on peut utiliser pour différencier à l'aide de la règle de la chaîne est la suivante :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}\).
La formule peut également être écrite en notation de fonction, si \(y = f'(g(x))\N) alors \(\frac{dy}{dx} = f'(g(x))g'(x)\N).
La règle de la chaîne peut également être utilisée si la fonction composée implique des fonctions trigonométriques.
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