Définition d'une séquence récursive
Une séquence récursive est une séquence dans laquelle un terme de la séquence est défini comme une fonction d'un ou plusieurs de ses termes précédents. Elles sont générées par la résolution d'une formule récursive.
Une suite récursive est une suite dont le terme suivant peut être exprimé comme une fonction de ses termes précédents.
Examinons un exemple simple.
Un exemple courant de suite récursive est une suite géométrique. Il s'agit de séquences dont le rapport entre les termes est constant. Prenons la suite de nombres \(1,\frac{1}{2}, \frac{1}{4},\frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots,\N) dans ce cas, il est facile de voir que le terme \(n^{th}\N) trouvé par la puissance \((n-1)^{th}\N) de \(\frac{1}{2}.\N).
Formules récursives
Tout d'abord, examinons la notation. Prenons la séquence d'entiers \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \ldots\). Pour désigner les termes de la séquence, les manuels utilisent \N(a_n\N) pour désigner le \N(n^{th}\Nterme) d'une séquence, donc le quatrième terme de la séquence est désigné par \N(a_4=16\N), et le premier terme de la séquence est \N(a_1=1\N).
Note que l'on utilise soit \(a_0\) soit \(a_1\) pour désigner le premier terme de la suite.
Supposons que tu aies une séquence
$$\{a_n\}=\{a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n\},$$
où \(a_n\) est défini comme le \(n^{th}\) terme de la séquence. On parle de récursivité lorsque la sortie d'une itération devient l'entrée de la suivante. Une formule récursive nous donne une formule pour le terme suivant de la séquence en fonction des termes précédents. Cette forme de séquence exige explicitement que tu saches quel est le terme précédent du terme que tu cherches à trouver. Tu as donc besoin de deux informations fondamentales.
- La valeur du premier terme de la séquence.
- La règle du modèle qui te donne les termes suivants.
Une formule récursive est une formule qui utilise une règle commune pour générer le terme suivant de la séquence à partir de son ou ses termes précédents.
Note que les formules récursives sont aussi souvent appelées relations récursives ou relations de récurrence.
Séquences récursives : Exemples
Nous allons maintenant examiner quelques exemples de séquences récursives et leurs formules.
Trouve les quatre premiers termes de la suite où \N(a_1=3\N) et \N(a_{n+1}=5a_{n}+7\N), \N(n \Ngeq 1\N).
Solution :
La formule récursive pour cet exemple est \N(a_{n+1}=5a_{n}+7\N), où \N(a_1\N) est le premier terme de la séquence et \N(a_n\N) est le \N(n^{th}\Nterme).
En utilisant la valeur initiale \N(a_1=3\N),
\[\begin{align} a_{2}&=5a_{1}+7=5\cdot3+7 \\ &=22 \\ a_3&=5a_{2}+7=5\cdot22+7 \\ &=117 \\ a_{4}&=5a_{3}+7=5\cdot117+7 \\ &=592. \N- [Fin{align}\N]
Par conséquent, les quatre premiers termes de la séquence sont \N(3, 22, 117, 592\N).
Trouve une équation récursive pour la séquence \(\{2, 4, 16, 256, 65536, \ldots\}\).
Solution :
En inspectant, tu peux voir que le terme de la séquence est le carré du terme précédent.
Par conséquent, la formule récursive est donnée par :
$$a_n=(a_{n-1})^2 \text{ with } a_1=2.$$
L'itération
On parle d'itération lorsque la même procédure est répétée plusieurs fois et qu'il s'agit de composer une fonction avec elle-même de façon répétée. On parle de récursivité lorsque la sortie d'une itération est utilisée comme entrée pour l'itération suivante.
L'itération est le processus de composition d'une fonction avec elle-même de façon répétée.
Si \(f(x)\) est une fonction, les itérés de cette fonction sont :
$$f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), f(f(f(x)))), \ldots $$.
À partir d'une valeur initiale, tu peux utiliser l'itération pour générer récursivement une séquence.
Utilise l'itération pour trouver les trois premiers itérés de la fonction \(f(x)=4x^2-x+3\) pour la valeur initiale \(x_1=\frac{1}{2}\).
Solution :
\[\N- Début{alignement} x_2&=f(x_1) \N- Texte{ itération de la fonction} \\N- &=f\left(\frac{1}{2}\right) \N- \N-{ en utilisant la valeur initiale donnée dans la question} \N- &=4\Nà gauche(\Nfrac{1}{2}\Nà droite)^2-\Nfrac{1}{2}+3 \N- &=\Nfrac{7}{2} \N- x_3&=f(x_2) \N-text{ itère la fonction} \\N- &=f\Nleft(\frac{7}{2}\Nright) \N- &=4\Nleft(\frac{7}{2}\Nright)^2-\frac{7}{2}+3 \N- &=\frac{97}{2}. \N-END{align}.\N- [\N]
Par conséquent, les trois premiers itérés sont \N(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}, \frac{97}{2}.\N).
L'itération est également utile pour modéliser des situations de la vie réelle.
Si le taux d'inflation est de \(18 \%\), le coût d'un article dans les années à venir peut être trouvé en itérant la fonction \(c(x) = 1,18x\). Trouve le coût d'un ordinateur portable de 500 $ dans quatre ans si le taux d'inflation reste constant.
Solution :
Nous avons une valeur initiale que nous noterons \N(x_0=500\N),
\N[\N- Début{alignement} x_1&=f(x_0) \N- Texte{ itération de la fonction} \\N- &=f(500) \N- \N- \N- \N- \N- \N- en utilisant la valeur initiale donnée dans la question} \N- &=1.18(500) \N- &=590 \N- x_2&=f(x_1) \N-{ itérer la fonction} \N- &=f(590) \N- &=1.18(590) \N- &=696.2 \N- x_3&=f(x_2) \N-{ itérer la fonction} \N- &=f(696.2) \N- &=1.18(696.2) \N- &=821.516 \N- x_4&=f(x_3) \N-{ itérer la fonction} \\ &=f(821.516) \\ &=1.18(821.516) \\ &=969.38888. \N-{align}\N- [\N-{align}\N-{align}}]
Par conséquent, \(x_4=969.39\).
Le coût d'un ordinateur portable de 500 $ après quatre ans est donc de 969,39 $.
Séquences spéciales
Les séquences spéciales sont des séquences qui présentent un modèle unique. Voyons comment les générer et les repérer.
Séquences spéciales : Exemples
Il existe de nombreux exemples de séquences spéciales. Examinons de près quelques exemples bien connus.
Fibonacci
La suite de Fibonacci, nommée d'après un mathématicien italien duXIIIe siècle, est une suite dont chaque terme est la somme des deux termes précédents. La suite est donnée par l'équation de récurrence suivante ,
$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.$$
En fixant \(F_0=0\) et \(F_1=1\), nous avons :
\N[\N- Début{alignement} F_2&=F_{1}+F_{0}=1+0=1 \NF_3&=F_{2}+F_{1}=1+1=2 \NF_4&=F_3+F_2=2+1=3 \NF_5&=F_4+F_3=3+2=5 \NF_6&=F_5+F_4=5+3=8 \Ntext{ etc.} \Nend{align}\N]
Cela nous donne la séquence suivante :
$$\{0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \ldots \}.$$
La suite de Fibonacci est illustrée par de nombreux motifs présents dans la nature. Par exemple, les pétales de nombreuses plantes sont généralement disposés en plusieurs spirales dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens inverse, et le nombre de spirales dans un sens et dans l'autre est souvent donné sous forme de nombres de Fibonacci consécutifs.
Nombres carrés
Fig. 1. Les nombres carrés.
Les nombres carrés forment une séquence dont la formule est donnée par \N(S_n=n^2\N) :
\N- [\N- Début{align}] S_0&=0^2=0 \N- S_1&=1^2=1 \N- S_2&=2^2=4 \N- S_3&=3^2=9 \N- S_4&=4^2=16 \N-text{ etc.} \N- [end{align}\N]
Nombres des triangles
Fig. 2. Nombres triangulaires.
Le nombre de points dans chacun des triangles du diagramme ci-dessus représente les nombres triangulaires. Chaque triangle est formé en augmentant d'une unité le nombre de points de la base, puis en construisant un triangle équilatéral.
Les nombres triangulaires peuvent être générés par la formule \(T_n=\sum_{k=0}^{n} k=0+1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\), par exemple, les premiers termes \(6\) de la séquence sont donnés par :
\[\begin{align} T_0&=0 \N- T_1&=0+1=\frac{1(1+1)}{2}=1 \N- T_2&=\sum_{k=0}^{2} k=0+1+2=\frac{2(2+1)}{2}=3 \N- T_3&=\sum_{k=0}^{3} k=0+ 1+2+3=\frac{3(3+1)}{2}=6 \N T_4&=\sum_{k=0}^{4} k=0+1+2+3+4=\frac{4(4+1)}{2}=10 \N T_5&=\sum_{k=0}^{5} k=0+1+2+3+4+5=\frac{5(5+1)}{2}=15. \N-END{align}\N]
La formule récursive de cette suite de nombres est donnée par \N(T_n=T_{n-1}+n\N), donc avec une valeur de départ de \N(T_0=0\N), nous pouvons obtenir le même résultat :
\N- [\N- Début{align} T_0&=0 \N- T_1&=T_{0}+1=0+1=1 \N- T_2&=T_{1}+2=1+2=3 \N- T_3&=T_{2}+3=3+3=6 \N- T_4&=T_{3}+4=6+4=10 \N- T_5&=T_{4}+5=10+5=15. \n-{align}\n- [\n-{align}\n-]
Une caractéristique intéressante des nombres triangulaires est que si tu additionnes des nombres triangulaires consécutifs, tu obtiendras une séquence de nombres carrés comme suit :
\[\N- Début{align} T_0+T_1&=0+1=1\time1=1^2=S_1 \N- T_1+T_2&=1+3=4=2\time2=2^2=S_2 \N- T_2+T_3& =3+6=9=3=3+6=9=3\times3=3^2=S_3 \N- T_3+T_4&=6+10=16=4\times4=4^2=S_4 \N- T_4+T_5&=10+15=25=5\times5=5^2=S_5 \N-text{ etc.} \Nend{align}\N]
Nombres cubiques
Fig. 3. Nombres cubiques.
La formule générale des nombres cubiques est \(C_n=n^3\). Les cinq premiers termes de la séquence des nombres cubiques sont donnés par :
\[\N- Début{align} C_0&=0^3=0 \NC_1&=1^3=1 \NC_2&=2^3=8 \NC_3&=3^3=27 \NC_4&=4^3=64. \N-{align}\N- [\N]
La somme des premiers nombres cubiques est égale au carré de leur somme :
$$C_1+C_2+\ldots+C_n=1^3+2^3+\ldots+n^3=(1+2+\ldots+n)^2.$$
Tu peux aussi utiliser la formule suivante pour la somme des premiers (n) nombres cubiques
$$\sum_{k=1}^{n} k^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4},$$\N- Ce qui est dérivé de la formule des nombres triangulaires.
Ce qui a été dérivé des nombres triangulaires, \(T_n=\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}\). La somme des premiers \(n\) nombres cubiques est égale au carré du \(n^{th}\) nombre triangulaire, comme suit :
$$\sum_{k=1}^{n} k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$
Séquences arithmétiques et formules récursives
Un autre type important de séquence spéciale est une séquence arithmétique. Il s'agit de séquences pour lesquelles il existe une différence commune qui reste constante entre deux termes consécutifs. Tu devras être capable d'identifier les suites arithmétiques en regardant la différence entre les termes et de trouver la formule récursive correspondante.
Une suite arithmétique est une suite où il y a une différence constante entre les termes.
Prenons un exemple :
$$\{4, 10, 16, 22, 28, \ldots\}.$$
Cette séquence est un exemple de séquence arithmétique puisqu'il y a une différence commune de \(6\) entre chaque terme consécutif.
Supposons que l'on te donne le terme \(n^{th}\) et la différence commune d'une suite arithmétique, tu peux alors trouver le terme suivant de la suite, \(a_{n+1}\) à l'aide de la formule récursive d'une suite arithmétique.
La formule récursive d'une suite arithmétique est donnée par \N(a_{n+1}=a_n+d.\N- Où \N(a_{n+1}\N) est le \N((n+1)^{th}) terme de la suite, \N(a_{n+1}) est le \N(a_{n+1}) terme de la suite. \) de la séquence, \(a_n\) est le \(n^{th}\) terme et \(d\) est la différence commune.
Exemples de séquences arithmétiques et de formules récursives
Explorons maintenant quelques exemples.
Prends la suite de nombres \N(\N{18, 15, 12, 9, \Nldots\N}.\NC'est un exemple de suite arithmétique.
Tu peux trouver la différence commune en soustrayant le terme \(n^{th}\) de la séquence par le terme précédent, comme suit :
$$a_{n}-a_{n-1}=d.$$
Dans ce cas ,
\N-[\N-] a_2-a_1&=15-18=-3 \N-[\N-] a_3-a_2&=12-15=-3 \N-[\N-] a_4-a_3&=9-12=-3. \N-{align}\N- [\N-{align}}]
La différence commune est donc de \(d=-3\).
Par conséquent, en utilisant la formule ci-dessus, la formule récursive pour cette suite arithmétique est,
$$a_n=a_{n-1}-3.$$
Trouve la formule récursive de la suite arithmétique \N(\N{0,6, 0,45, 0,3, 0,15, 0, \Nldots\}\N).
Solution :
Tu dois d'abord trouver la différence commune.
\N-[\N-] a_{n}-a_{n-1}&=d \N- a_2-a_1&=0.45-0.6 \N-[\N-] d&=-0.15. \N-END{align}\N-]
La différence commune est donc \N(d=-0,15\N).
En utilisant la formule récursive de la séquence arithmétique donnée ci-dessus, tu as que
\N- [\N- a_n&=a_{n-1}+d \N- a_n&=a_{n-1}-0.15. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-]
Par conséquent, la formule récursive de cette suite arithmétique est,
$$a_n=a_{n-1}-0.15.$$
Récursion et séquences spéciales - Principaux points à retenir
- Les séquences récursives sont des séquences dont les termes précédents définissent les termes de la séquence.
- Deux informations sont toujours nécessaires pour la récursivité : le premier terme de la séquence et la règle du modèle qui te donne les termes suivants.
- Les séquences qui ne suivent pas un modèle simple et régulier, comme les séquences arithmétiques ou géométriques, sont appelées séquences spéciales.
- La suite de Fibonacci, les nombres triangulaires, les nombres cubiques et les nombres carrés sont des exemples de suites spéciales.
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