Rapports trigonométriques: Sinus, Cosinus

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Différences entre Pythagore et la trigonométrie

À l'heure qu'il est, tu as probablement déjà étudié le théorème de Pythagore. Dans cette section, nous allons rapidement récapituler ce que nous entendons par théorème de Pythagore et établir les principales différences entre Pythagore et la trigonométrie.

Ratios trigonométriques, triangle mis en place pour le théorème de Pythagore, Jordan Madge Pythagore - triangle mis en place pour le théorème de Pythagore, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Pour un triangle rectangle donné, le côté le plus long du triangle est appelé l'hypoténuse. L'hypoténuse est le côté qui semble incliné et est toujours le côté opposé à l' angle droit.

Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore stipule que pour tout triangle rectangle donné, avec l'hypoténuse, c, et les deux autres côtés étiquetés a et b (comme illustré dans la figure 1), le côté le plus long est appelé hypoténuse, $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Remarque : a et b dans la figure 1 sont interchangeables, mais c doit toujours être l'hypoténuse.

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous, trouve le côté marqué x.

Théorème de Pythagore, Exemple pour trouver l'hypoténuse, Jordan Madge Pythagore - Exemple de recherche de l'hypoténuse, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Commençons par étiqueter chacun des côtés a, b et c :

Pythagore - Exemple de recherche de l'hypoténuse, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Le théorème de Pythagore stipule que $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

En substituant $a = 3, b = 4, c = x$ dans ce résultat, nous obtenons $9 + 16 = x^{2}$ ou $x^{2} = 25$ .

Par conséquent, pour trouver x, il suffit de prendre la racine carrée des deux côtés. Ainsi , $x = 5 c m$ .

Dans l'exemple ci-dessus, nous avons ce que l'on appelle un triple de Pythagore. Il s'agit d'un triangle rectangle dont chacun des trois côtés est un nombre entier.

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous, trouve le côté marqué x.

Théorème de Pythagore, Exemple pour trouver le côté manquant, Jordan Madge

Pythagore - Exemple de recherche du côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Commençons par étiqueter chacun des côtés a, b et c :

Théorème de Pythagore, Exemple pour trouver le côté manquant, Jordan Madge

Pythagore - Exemple de découverte d'un côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Cet exemple est légèrement différent du précédent car cette fois-ci, nous ne trouvons pas l'hypoténuse, c. Par conséquent, nous devons utiliser une version réarrangée du théorème de Pythagore : $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ . En remplaçant $a = 2, b = x$ et $c = 5$ dans cette formule, nous obtenons $x^{2} = 5^{2} - 2^{2} = 25 - 4 = 21$ . Il suffit donc de faire la racine carrée des deux côtés pour obtenir que $x = \sqrt{21} = 4.58 c m$ (2.d.p).

Ce qu'il faut retenir du théorème de Pythagore, c'est qu'il ne fonctionne que pour les triangles rectangles où l'on nous donne deux côtés et où l'on souhaite trouver le troisième côté. Il n'implique aucun angle. Cependant, que se passerait-il si nous voulions trouver un angle manquant ? Et si on nous donnait un angle mais pas assez de côtés ? C'est là que la trigonométrie entre en jeu !

Le but de la trigonométrie est de trouver les longueurs et les angles manquants. Pour l'instant, nous nous contenterons de considérer la trigonométrie dans les triangles rectangles. Cependant, plus loin dans un autre article, nous étudierons la trigonométrie dans les triangles qui ne sont pas nécessairement à angle droit en utilisant ce que l'on appelle la règle du sinus et du cosinus.

Rapports trigonométriques

Ratios trigonométriques, triangle pour la trigonométrie, Jordan Madge Trigonométrie - Triangle rectangle avec les côtés opposés, hypoténuses et adjacents étiquetés, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Maintenant, plongeons directement dans la trigonométrie. Comme pour Pythagore, nous allons commencer par définir notre triangle et indiquer quelques propriétés clés. La figure 2 ci-dessus représente un triangle rectangle dont l'un des angles est désigné par le symbole grec thêta ( $θ$ ). Pour une raison quelconque, les mathématiciens aiment utiliser ce symbole pour indiquer les angles manquants. Comme pour Pythagore, l'hypoténuse est le côté le plus long opposé à l' angle droit. Nous introduisons maintenant deux nouvelles étiquettes pour les autres côtés : le côté adjacent et le côté opposé.

Le côté opposé d'un triangle rectangle est le côté opposé à l'angle $θ$ et nous l'appelons généralement O. Le côté adjacent est le côté adjacent (à côté) de l'angle $θ$ qui n'est pas l'hypoténuse. Nous l'appelons généralement A.

Définition des rapports trigonométriques

Maintenant que nous avons mis en place notre triangle, nous pouvons définir nos rapports trigonométriques. C'est là que sin, cos et tan sont utiles !

Ratios trigonométriques, triangle à angle droit avec O, A et H étiquetés, Jordan Madge Trigonométrie - Triangle rectangle avec les côtés opposés (O), adjacents (A) et l'hypoténuse (H) étiquetés, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Formules des rapports trigonométriques

Étant donné le triangle rectangle de la figure 3 avec l'hypoténuse H, le côté opposé O et le côté adjacent A, nous avons les rapports suivants :

$\sin (θ) = \frac{O}{H} \cos (θ) = \frac{A}{H} \tan (θ) = \frac{O}{A}$

Il peut être utile de noter à ce stade que sin est l'abréviation de sinus, cos est l'abréviation de cosinus et tan est l'abréviation de tangente.

Ces ratios peuvent être mémorisés à l'aide de l'acronyme SOHCAHTOA. Bien que l'apprentissage de l'orthographe de cet acronyme puisse être un défi en soi. À ce stade, ce n'est pas grave si tu te sens un peu perdu ou confus. Tout deviendra clair dans quelques instants. Pour l'instant, nous devons simplement accepter que ces ratios existent et qu'ils sont très utiles.

Exemples de rapports trigonométriques

Exemples impliquant des longueurs manquantes

Jusqu'à présent, nous avons abordé tous les outils dont tu auras besoin pour répondre aux questions impliquant des rapports trigonométriques. Cependant, pour vraiment comprendre ce que tout cela signifie, nous devons passer en revue quelques exemples. Note que le but de cet exercice est de trouver des longueurs ou des angles manquants. Dans cette section, nous nous concentrerons sur la recherche des longueurs manquantes.

Étapes pour trouver le côté manquant

Pour trouver le côté manquant d'un triangle rectangle à l'aide de la trigonométrie, il y a quelques étapes à suivre.

Étape 1 : Identifie les côtés O, A et H.

Étape 2 : Détermine quels sont les côtés concernés. En d'autres termes, quels sont les côtés que nous connaissons ou que nous voulons connaître ?

Étape 3 : Identifie le rapport trigonométrique pertinent.

Étape4 : Établir l'équation appropriée.

Étape5 : Résous l 'équation pour trouver le côté manquant.

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve le côté marqué x.

trigonométrie, exemple pour trouver le côté manquant, Jordan Madge

Trigonométrie - Exemple : trouver le côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Commençons par étiqueter chacun des côtés O, A et H.

trigonométrie, exemple pour trouver le côté manquant, Jordan Madge

Trigonométrie - Exemple de recherche de côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

L'étape suivante consiste à déterminer lesquels des trois côtés sont concernés. Ce que nous voulons dire par là, c'est quels sont les côtés que nous connaissons ou que nous souhaitons connaître. Dans cet exemple, nous savons que l'hypoténuse est $3 c m$ et nous voulons connaître le côté adjacent, $x c m$ . Ainsi, les deux côtés concernés sont le côté adjacent et l'hypoténuse. Ensuite, nous devons identifier le rapport trigonométrique qui implique le côté adjacent et l'hypoténuse. Dans ce cas, il s'agit de cos, car cos est la seule identité qui implique à la fois le côté adjacent et l'hypoténuse. En substituant $θ = 42, A = x, H = 3$ dans $\cos (θ) = \frac{A}{H}$ nous obtenons $\cos (42) = \frac{x}{3}$ .

Il ne nous reste plus qu'à faire quelques réarrangements pour trouver x. Nous pouvons le faire en multipliant les deux côtés par 3, $x = 3 \cos (42)$ . Nous obtenons la réponse finale en la tapant sur notre calculatrice. Ainsi , $x = 2.23 c m .$

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve le côté marqué x.

Trigonométrie - Exemple : trouver le côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Commençons par étiqueter chacun des côtés O, A et H.

trigonométrie, exemple pour trouver le côté manquant, Jordan Madge

Trigonométrie - Exemple de découverte d'un côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Dans ce cas, nous connaissons l'hypoténuse et nous souhaitons connaître le côté opposé. Nous utilisons donc sin puisque le sinus est le seul rapport trigonométrique impliquant l'hypoténuse et le côté opposé.

Maintenant ,

\sin (θ) = \frac{O}{A}

donc

\sin (27) = \frac{x}{3.7}

. En multipliant les deux côtés par 3,7, on obtient

x = 3.7 \sin (27)

ce qui correspond à 1,68 cm (3.s.f).

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve le côté marqué x.

Trigonométrie - Exemple : trouver le côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Commençons par étiqueter chacun des côtés O, A et H.

trigonométrie, exemple pour trouver le côté manquant, Jordan Madge

Trigonométrie - Exemple de découverte d'un côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Dans ce cas, nous connaissons le côté adjacent et nous souhaitons connaître l'hypoténuse. Nous utilisons donc cos.

Puisque $\cos (θ) = \frac{A}{H}$ nous avons $\cos (51) = \frac{8}{x}$ .

Maintenant, pour réarranger ceci, nous devons d'abord multiplier les deux côtés par x pour obtenir $x \cos (51) = 8$ . Ensuite, pour trouver x, nous divisons les deux côtés par $\cos (51)$ pour obtenir $x = \frac{8}{\cos (51)} = 12.7 c m$ (3.s.f).

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve le côté marqué x.

Trigonométrie - Exemple : trouver le côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Commençons par étiqueter chacun des côtés O, A et H.

trigonométrie, exemple pour trouver le côté manquant, Jordan Madge

Trigonométrie - Exemple de découverte d'un côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Dans ce cas, nous connaissons le côté opposé et nous souhaitons connaître le côté adjacent. Nous utilisons donc tan.

Puisque $\tan (θ) = \frac{O}{A}$ nous avons que $\tan (30) = \frac{3}{x}$ . En multipliant les deux côtés par x, on obtient $x \tan (30) = 3$ . En divisant les deux côtés par $\tan (30)$ on obtient $x = \frac{3}{\tan (30)} = 5.20 c m$ (3.s.f).

Exemples impliquant des angles manquants

Fonctions trigonométriques inversées

Pour trouver les angles manquants à l'aide de la trigonométrie, les étapes sont très similaires aux précédentes. Cependant, nous devons utiliser les fonctions trigonométriques inverses. Sur ta calculatrice, tu verras peut-être $\sin^{- 1}, \cos^{- 1}, \tan^{- 1}$ au-dessus de sin, cos et tan. Tu peux les trouver en appuyant sur la touche majuscule, puis sur la fonction trigonométrique correspondante.

A l'aide de ta calculatrice, trouve $\sin^{- 1} (0.1), \cos^{- 1} (0.1)$ et $\tan^{- 1} (0.1)$ .

Solution :

$\sin^{- 1} (0.1) = s h i f t + \sin (0.1) = 5 . 74^{°}$ (3.s.f)

$\cos^{- 1} (0.1) = s h i f t + \cos (0.1) = 84 . 3^{°}$ (3.s.f)

$\tan^{- 1} (0.1) = s h i f t + \tan (0.1) = 5 . 71^{°}$ (3.s.f)

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve l'angle étiqueté $θ$ .

trigonométrie, exemple pour trouver un angle manquant, Jordan Madge

Trigonométrie - Exemple de recherche d'un angle manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Pour trouver les angles manquants, les étapes sont à peu près les mêmes que précédemment. Cependant, il y a une petite différence. Comme précédemment, commençons par étiqueter chacun des côtés O, A et H.

trigonométrie, exemple pour trouver un angle manquant, Jordan Madge

Trigonométrie - Exemple de recherche d'un angle manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Maintenant, nous devons à nouveau identifier les côtés concernés. Dans ce cas, nous connaissons le côté adjacent et l'hypoténuse. Puisque le cos implique l'adjacent et l'hypoténuse, nous utilisons le cosinus.

Puisque $\cos (θ) = \frac{A}{H}$ nous avons $\cos (θ) = \frac{1.2}{3}$ .

Cette fois, pour obtenir theta par lui-même, nous devons prendre l'inverse du cosinus des deux côtés.

Par conséquent, notre réponse est $θ = \cos^{- 1} (\frac{1.2}{3}) = 66 . 4^{°}$ (3.s.f).

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve l'angle étiqueté $θ$ .

Trigonométrie - Exemple de recherche d'un angle manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

En étiquetant les côtés, nous pouvons voir que nous avons le côté opposé et l'hypoténuse. C'est pourquoi nous utilisons le sinus.

trigonométrie, exemple pour trouver un angle manquant, Jordan Madge

Trigonométrie - Exemple de recherche d'un angle manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Depuis $\sin (θ) = \frac{O}{H}$ nous avons $\sin (θ) = \frac{2.8}{5.2}$

Pour obtenir $θ$ par lui-même, nous devons prendre l'inverse du sinus des deux côtés. Ainsi , $θ = \sin^{- 1} (\frac{2.8}{5.2}) = 32 . 6^{°}$ (3.s.f).

Tableau des rapports trigonométriques

Pour des raisons évidentes, la trigonométrie est un sujet généralement abordé dans les examens sur calculatrice. Cependant, il y a certaines valeurs de sin, cos et tan que l'on peut s'attendre à ce que tu connaisses pour ton examen GCSE sans calculatrice. C'est méchant, je sais. Cependant, tu devrais faire de ton mieux pour mémoriser ces résultats.

Angle( $θ$ )	Sin( $θ$ )	Cos( $θ$ )	Tan( $θ$ )
30	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve le côté marqué x.

(question non calculatoire)

Trigonométrie - Exemple : trouver le côté manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Puisque nous voulons connaître le côté opposé et que nous avons le côté opposé, nous allons utiliser le sinus.

Puisque $\sin (θ) = \frac{O}{H}$ nous avons $\sin (30) = \frac{x}{2}$ .

En réarrangeant, nous trouvons que $x = 2 \sin (30)$ .

En utilisant le tableau 1, nous voyons que $\sin (30) = \frac{1}{2}$

Ainsi , $x = 2 \times \frac{1}{2} = 1 c m .$

Supposons que nous ayons le triangle ci-dessous. Trouve l'angle étiqueté $θ$ .

(question non calculatoire)

trigonométrie, exemple pour trouver un angle manquant, Jordan Madge

Trigonométrie - Exemple de recherche d'un angle manquant, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solution :

Puisqu'on nous a donné les côtés opposés et adjacents, nous utilisons tan.

Puisque $\tan (θ) = \frac{O}{A}$ , nous avons que $\tan (θ) = \frac{6.3}{6.3} = 1$ .

Pour obtenir $θ$ par lui-même, nous devons prendre l'inverse de tan des deux côtés.

Ainsi , $θ = \tan^{- 1} (1)$

En utilisant le tableau 1, nous voyons que $\tan (45) = 1$ et donc $θ = 45^{°}$ .

Rapports trigonométriques - Principaux enseignements

Lesrapportstrigonométriques sont utilisés pour trouver lescôtés et les angles manquants dans les triangles à angle droit .
Latrigonométrie diffère de Pythagore car elle implique des angles .
Nous pouvons utiliser l'acronyme SOHCAHTOA pour nous souvenir des rapports trigonométriques.
Pour un triangle rectangle donné, nous pouvons étiqueter l'hypoténuse et les côtés opposés et adjacents.
Lalettregrecque $θ$ est souvent utilisée pour désigner les angles.
Nous pouvons utiliser lesfonctionstrigonométriques inverses pour trouver les angles.

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Questions fréquemment posées en Rapports trigonométriques

Qu'est-ce que les rapports trigonométriques ?

Les rapports trigonométriques sont des relations entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, utilisés pour calculer les angles et les distances.

Quels sont les trois principaux rapports trigonométriques ?

Les trois principaux rapports trigonométriques sont le sinus (sin), le cosinus (cos) et la tangente (tan).

Comment utiliser les rapports trigonométriques pour trouver un angle ?

Pour trouver un angle, utilisez l'un des rapports en appliquant la fonction inverse (arcsin, arccos, arctan) selon les côtés connus.

À quoi servent les rapports trigonométriques ?

Les rapports trigonométriques servent à calculer des angles et des distances dans diverses applications, comme la navigation, l'architecture et la physique.

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