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Différence entre un rapport et une fraction
Un rapport est une façon de comparer deux quantités. Le rapport de deux quantités met en évidence l'importance d'un nombre par rapport à un autre. Une fraction indique la proportion d'une chose par rapport à une autre.
En réalité, les fractions et les rapports signifient la même chose. Cependant, nous les exprimons légèrement différemment. Dans l'exemple ci-dessous, tu peux voir les mêmes choses exprimées à la fois sous forme de fraction et de rapport.
- Dans une classe d'élèves, le rapport filles/garçons est de 2:3. Cela signifie que pour cinq élèves, 2 sont des filles et 3 des garçons. Nous pourrions dire que la fraction des filles est \(\dfrac{2}{5}\), et la fraction des garçons est \(\dfrac{3}{5}\).
- Un morceau de ficelle est coupé dans un rapport de \(1:4\). Ainsi, si la ficelle mesure 5 cm, le morceau le plus court sera de 1 cm et le plus long de 4 cm. Nous pourrions dire que la longueur la plus courte correspond à \(\dfrac{1}{5}\) du morceau de ficelle original et que la longueur la plus longue correspond à \(\dfrac{4}{5}\) du morceau original.
- Le rapport entre les bonbons bleus et les bonbons orange dans un sac est de 3:7. Ainsi, pour 10 bonbons, on peut dire que 3 sont bleus et 7 sont orange. On peut donc dire que \(\dfrac{3}{10}\) des bonbons sont bleus et que \(\dfrac{7}{10}\) des bonbons sont orange.
Peux-tu voir ce que nous faisons ici ? Dans la section suivante, nous verrons plus en détail comment convertir les fractions en rapports et les rapports en fractions. Cependant, il est important de noter que les rapports et les fractions peuvent être utilisés pour représenter la même chose et que tu peux donc voir les mots "fraction" et "rapport" utilisés de façon interchangeable.
Lorsque nous voyons une fraction, nous comparons une seule partie à un tout. Par exemple, pour la fraction \(\dfrac{2}{3}\), il s'agit de deux parties sur trois.
Lorsque nous voyons un rapport, nous regardons deux ou plusieurs des éléments qui composent le tout. Par exemple, pour le rapport \(2:3\), deux et trois sont deux parties distinctes du même tout.
Fraction à rapport
Comment convertir une fraction en un rapport ?
Si nous avons une fraction, nous pouvons la convertir en un rapport assez simplement. La méthode est la suivante :
Étape 1 : Détermine la fraction qui compose chaque quantité. Par exemple, si nous avons un sac de pions rouges, bleus et orange, nous devons calculer la fraction de pions rouges, bleus et orange.
Étape 2 : Écris chacune des fractions dans l'ordre du rapport spécifié en les séparant par des deux-points.
Étape 3 : Multiplie chaque composante du rapport par un nombre de façon à ce que chaque partie du rapport soit un nombre entier (c'est-à-dire un nombre entier, pas une fraction).
Dans les exemples ci-dessous, nous verrons comment convertir des fractions en rapports.
Exemples de conversion de fractions en rapports
Lors d'un voyage scolaire, \(\dfrac{1}{3}\) des élèves vont dans un musée et le reste des élèves dans une galerie d'art. Quel est le rapport entre les élèves qui vont au musée et ceux qui vont à la galerie d'art ?
Solution :
Puisque \(\dfrac{1}{3}\) des élèves vont au musée, nous pouvons déduire que \(\dfrac{2}{3}\) des élèves vont à la galerie d'art puisque la somme des fractions est égale à un.
Nous écrivons ensuite les fractions sous la forme d'un rapport, comme ceci : \(\dfrac{1}{3}:\dfrac{2}{3}\).
Pour simplifier ce rapport, nous pouvons multiplier les deux côtés par trois. Nous obtenons alors \(1:2\). Par conséquent, nous pouvons dire que pour chaque élève qui va au musée, nous avons deux élèves qui vont à la galerie d'art.
Dans un cinéma, \(\dfrac{5}{6}\) des personnes sont des adultes et le reste des enfants. Quel est le rapport entre les adultes et les enfants ?
Solution :
Puisque \(\dfrac{5}{6}\) des personnes sont des adultes, \(\dfrac{1}{6}\) doivent être des enfants puisque la somme des fractions est égale à un. L'écriture de ce rapport est \(\dfrac{5}{6}:\dfrac{1}{6}\).
En multipliant les deux côtés du rapport par 6, on obtient \(5:1\). Ainsi, le rapport entre les adultes et les enfants est de \(5:1\).
Dans un sachet de bonbons, \(\dfrac{1}{4}\) sont rouges, \(\dfrac{1}{3}\) sont verts et le reste est orange. Quel est le rapport entre les bonbons rouges, verts et orange ?
Solution :
La somme des bonbons rouges et des bonbons verts est \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{7}{12}\).
Puisque les autres sont orange, nous pouvons dire que \(1-{dfrac{7}{12}=\dfrac{12}{12}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{5}{12}\) sont orange.
En transformant nos fractions en rapports, nous obtenons que le rapport entre les bonbons rouges, verts et orange est de \(\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{3}:\dfrac{5}{12}\). Maintenant, pour obtenir des valeurs entières pour notre ratio, nous devons multiplier chaque élément du ratio par 12. Nous obtenons \(3:4:5\). Ainsi, le rapport entre les bonbons rouges, les bonbons verts et les bonbons orange est \(3:4:5\).
Rapport en fraction
Nous pouvons également convertir assez facilement des rapports en fractions. Dans les questions, il est souvent plus facile de travailler avec des fractions qu'avec des rapports, et c'est donc particulièrement utile. Pour ce faire, il suffit d'additionner les parties du rapport. Il s'agit du dénominateur de toutes les fractions. Ensuite, chaque partie du rapport sera le numérateur des différentes fractions. C'est très simple ; dans les exemples ci-dessous, nous allons convertir des rapports en fractions.
Exemples de conversion de rapports en fractions
Dans une classe d'accueil, le rapport entre les élèves et les enseignants est de \(5:1\). Quelle fraction de la classe sont les élèves et quelle fraction sont les enseignants ?
Solution :
Tout d'abord, additionne les différentes parties du rapport. Dans ce cas, nous additionnons cinq et un pour obtenir six. C'est le dénominateur des fractions. Ensuite, nous pouvons dire que \(\dfrac{5}{6}\) sont des élèves et \(\dfrac{1}{6}\) de la classe sont des enseignants.
Dans une entreprise, le rapport entre les femmes et les hommes est de \(2:3\). Quelle est la fraction des employés qui sont des hommes ?
Solution :
Tout d'abord, additionne deux et trois pour obtenir cinq. Ainsi, \(\dfrac{2}{5}\) sont des femmes et \(\dfrac{3}{5}\) sont des hommes.
Un morceau de ficelle est coupé en trois morceaux dans le rapport \(1:2:3\). Calcule la fraction du morceau d'origine que représente chacun des trois morceaux.
Solution :
\(1+2+3=5\). Ainsi, le plus petit morceau est \(\dfrac{1}{5}\), le morceau du milieu est \(\dfrac{2}{5}\) et le plus grand morceau est \(\dfrac{3}{5}\).
Fractions, pourcentages et rapports
Nous pouvons également convertir les fractions et les rapports en pourcentages.
Le rapport entre les garçons et les filles qui suivent le cours d'anglais de niveau A dans une école est \(3:7\). Calcule le pourcentage de garçons qui passent le A-Level English.
Solution :
Tout d'abord, nous pouvons dire que la fraction des garçons qui suivent le cours d'anglais de niveau A est \(\dfrac{3}{10}\). En convertissant ce chiffre en pourcentage, nous obtenons 30 %. Ainsi, 30 % des étudiants qui passent le baccalauréat en anglais sont des garçons.
Il y a 300 personnes à la foire. Le rapport entre les adultes et les enfants est de \(1:2\). 20 % des enfants ont moins de 6 ans et bénéficient d'une entrée gratuite. Calcule la fraction d'enfants qui bénéficient d'une entrée gratuite.
Solution :
Tout d'abord, nous pourrions dire que la proportion d'enfants est de \(\c- \c- \c- \c- \c- \c- \c- \c-{2}{3}\c). Comme il y a 300 personnes à la foire, nous pouvons dire que \(\dfrac{2}{3}\) de 300 sont des enfants. Puisque \(\dfrac{1}{3}\) de 300 est 100 puisque \(300\div 3=100\), nous savons que \(\dfrac{2}{3}\) de 300 est 200. Ainsi, 200 des personnes présentes à la foire sont des enfants. 20 % des enfants ont moins de 6 ans, nous devons donc calculer 20 % de 200. Puisque 10 % de 200 est 20, 20 % de 200 est 40.
Ainsi, 40 personnes présentes à la foire ont bénéficié d'une entrée gratuite.
Méthodes de rapport fractionnaire
Le rapport fractionnaire revient souvent dans d'autres sujets de mathématiques du GCSE. L'un des sujets où il est particulièrement utile est celui des vecteurs. Nous examinerons ici deux questions sur les vecteurs dans lesquelles un rapport fractionnaire est incorporé. Cependant, si tu n'es pas très familier avec les vecteurs, il peut être utile de récapituler ce sujet avant d'aller plus loin.
Dans le triangle DEF ci-dessous, les vecteurs \N(\Noverrightarrow{DE}=a\N) et \N(\Noverrightarrow{EF}=b\N). Le point \(A\) coupe la ligne \(DF\) de telle sorte que \(\overrightarrow{DA}:\overrightarrow{AF}=2:3\). Calcule \N(\Nflèche droite{DA}\N).
Solution :
Tout d'abord, nous pouvons trouver le vecteur \(\overrightarrow{DF}\).
\[\N-overrightarrow{DF}=\N-overrightarrow{DE}+\N-overrightarrow{EF}=a+b\N]
Maintenant, puisque \(\overrightarrow{DA}:\overrightarrow{AF}=2:3\), nous pouvons dire que,
\[\overrightarrow{DA}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{DF}=\dfrac{2}{5}(a+b)\]
Ainsi ,
\[\overrightarrow{DA}=\dfrac{2}{5}(a+b)\]
Dans le quadrilatère GHIJ ci-dessous, le point K coupe le vecteur \(\overrightarrow{IJ}\) dans le rapport \(1:2\).
Étant donné : \(\overrightarrow{GH}=a\), \(\overrightarrow{HI}=b\) et \(\overrightarrow{IJ}=c\), trouve une expression pour le vecteur \(\overrightarrow{GK}\).
Solution :
Tout d'abord, note que le vecteur \(\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{HI}=a+b\).
Maintenant, K divise le vecteur \(\overrightarrow{IJ}\) dans le rapport \(1:2\) et nous pouvons donc dire que,
\[\overrightarrow{IK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{3}c\]
Ainsi ,
\[\overrightarrow{GK}=a+b+\dfrac{1}{3}c\]
Rapport fractionnaire - Points clés
- Un rapport est une façon de comparer deux quantités.
- Une fraction nous dit combien une chose est proportionnelle à une autre.
- En réalité, les fractions et les rapports signifient la même chose. Cependant, nous les exprimons légèrement différemment.
- Si nous avons un rapport, nous pouvons le convertir en fraction et si nous avons des fractions qui forment un tout, nous pouvons le convertir en rapport.
- Nous pouvons également convertir les rapports en pourcentages.
- Il est particulièrement utile de savoir traiter les rapports fractionnaires lorsque l'on étudie les vecteurs.
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Questions fréquemment posées en Rapport fractionnaire
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