Les polynômesa> ont de nombreuses utilisations, de la modélisation des courbes d'une montagne russe à la prédiction des modèles de croissance en économie. Les racines d'un polynôme sont des solutions où la valeur du polynôme est égale à zéro. Dans cet article, nous aborderons différentes méthodes de calcula> de ces racines à l'aide de sommations et de relations de récurrence.
Équations utilisées pour les racines des polynômes
Cette section couvre les équations générales pour chacun des trois types de polynômes abordés dans cet article.
Équations quadratiques
L'équation quadratique prend la forme générale \N(ax^{2} + bx + c = 0\).
Il s'agit d'un polynôme dont la puissance la plus élevée de \(x\) est 2.
Il est souvent simplifié sous la forme suivante
\(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\),
connue sous le nom de forme monique du polynôme, parce que le premier coefficient est égal à 1.
Cette équation peut également être écrite sous la forme suivante
\N((x - x_{1})(x - x_{2}) = 0\N),
où \(x_{1}\) et \(x_{2}\) sont les deux racines de l'équation.
Équations cubiques
Une équation cubique prend la forme générale \N(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\N).
Il s 'agit d'un polynôme dont la puissance la plus élevée de \(x\) est 3.
Comme pour l'équation quadratique, elle est souvent simplifiée en
\(x^{3} + \frac{b}{a}x^{2} + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0\).
Elle s'écrit également comme suit
\N-(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3}) = 0\N),
où \(x_{1}, \ ; x_{2} \text{ et } x_{3}\) représentent les racines de l'équation.
Équations quartiques
Leséquations quar tiques prennent la forme générale \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\).
Il s'agit de polynômes dont la puissance la plus élevée de \(x\) est 4.
De même, ils peuvent être simplifiés en
\(x^{4} + \frac{b}{a}x^{3} + \frac{c}{a}x^{2} + \frac{d}{a}x + \frac{e}{a} = 0\).
Elles s'écrivent également sous la forme
\N-(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})(x - x_{4}) = 0\N),
où \(x_{1}, \N ; x_{2}, \N ; x_{3} \text{ et } x_{4}\N) représentent les racines de l'équation.
Racines des polynômes en utilisant alpha, beta, gamma et delta
Équations quadratiques utilisant alpha et bêta
Prends l'équation quadratique \N(ax^{2} + bx + c = 0\N). Divise l'équation par le coefficient de \N(x^{2}, a\N) pour réécrire l'équation comme \N(x^{2} + \Nfrac{b}{a}x + \Nfrac{c}{a} = 0\N).
Prenons maintenant \(\alpha\) et \(\beta\) comme racines de notre équation. Nous pouvons donc également écrire l'équation sous la forme suivante
\N((x - \Nalpha)(x - \Nbeta) = 0\N).
Si nous multiplions cela, nous obtenons
\(x^{2} - \alpha x - \beta x + \alpha\beta = 0\).
Simplifie encore l'équation pour obtenir
\(x^{2} - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\).
Nous allons maintenant comparer cette équation avec l'autre. Que remarques-tu ?
\N-x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\qquad \text{and} \qquadx^{2} - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\]
Cette comparaison nous permet de constater que :
La somme des racines, \N(\Nalpha + \Nbeta\N), est égale à \N(-\Nfrac{b}{a}\N) ;
le produit des racines, \(\alpha\beta\), est égal à \(\frac{c}{a}\).
Nous pouvons utiliser ces propriétés pour calculer de nombreux autres résultats, mais il faut d'abord définir une nouvelle notation.
\(\alpha + \beta\) peut être écrit comme \(\Sigma{\alpha}\) ;
\(\alpha\beta\) peut s'écrire \(\Sigma{\alpha\beta}\).
Cette forme est appelée notation de la somme.
Comment déterminer \(\alpha^{2} + \beta^{2}\), en utilisant ce que nous avons énuméré ci-dessus ?
Tout d'abord, élevons \(\alpha + \beta\) au carré pour obtenir les deux termes au carré. Nous savons que \((\alpha + \beta)^{2} = \alpha^{2} + \beta^{2} + 2\alpha\beta\), donc pour obtenir la réponse finale de \(\alpha^{2} + \beta^{2}\), il suffit de soustraire \(2\alpha\beta\).
En notation de la somme, ce calcul se présente comme suit :
\[\alpha^{2} + \beta^{2} = (\Sigma{\alpha})^{2} - 2\Sigma{\alpha\beta},\].
où \(\alpha^{2} + \beta^{2}\) est noté \(\Sigma{\alpha^{2}}\).
Note que \(\Sigma{\alpha^{2}}\) et \((\Sigma{\alpha})^{2}\) ont des significations différentes. \((\Sigma{\alpha})^{2} = (\alpha + \beta)^{2}\) alors que \( \Sigma{\alpha^{2}} = \alpha^{2} + \beta^{2} \).
Nous pouvons déterminer \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\), noté \(\Sigma{\frac{1}{\alpha}}\), en utilisant des méthodes similaires.
Combine les fractions pour obtenir \(\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\) que nous pouvons réécrire en notation de sommation pour obtenir \(\frac{\Sigma{\alpha}}{\Sigma{\alpha\beta}}\).
Relations de récurrence
Une autre façon de travailler avec les racines des polynômes est d'utiliser les relations de récurrence. La relation utilisée pour chaque type de polynôme est résumée dans le tableau ci-dessous :
Type de polynôme | Relation de récurrence utilisée |
Équations quadratiques | \[S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n} \] |
Équations cubiques | \[S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n} + \gamma^{n} \] |
Equations quartiques | \[S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n} + \gamma^{n} + \delta^{n} \] |
Voyons tout de suite un exemple.
Considérons l'équation quadratique \(x^{2} + 6x + 8 = 0\).
Nous savons que \N(\Nalpha + \Nbeta = -6\N). Nous pouvons aussi considérer cela comme \N(S_{1}\N). En utilisant \(S_{1}\), nous pouvons calculer \(\alpha^{2} + \beta^{2}\) avec une méthode différente.
Puisque \(\alpha\) et \(\beta\) sont les racines de l'équation, nous pouvons dire que \(\alpha^{2} + 6\alpha + 8 = 0 \ ; \text{and} \ ; \beta^{2} + 6\beta + 8 = 0 \). Nous additionnons ces deux éléments pour obtenir \N((\alpha^{2} + \beta^{2}) + 6({\alpha + \beta}) + 16 = 0\N), ce qui peut également s'écrire \N(S_{2} + 6S_{1} + 16 = 0\N).
Rappelons que \(S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n}\), donc \(S_{1} = \alpha + \beta\) et \(S_{2} = \alpha^{2} + \beta^{2}\).
En replaçant \N(S_{1}\N) dans l'équation, nous pouvons calculer que \N(\Nalpha^{2} + \Nbeta^{2} = S_{2} = 20\N).
On peut également trouver ce résultat en utilisant la méthode de sommation mentionnée ci-dessus, \(\alpha^{2} + \beta^{2} = S_{2} = 20\N). + \beta^{2} = (\Sigma{\alpha})^{2} - 2\Sigma{\alpha\beta}\).
Prenons un autre exemple.
Solution
Premièrement, remplace \N(\Nalpha \N ; \Ntext{and}\N ; \Nbeta\N) dans l'équation pour obtenir ce qui suit :
\[\begin{align}3\alpha^{2} + 4\alpha + 12 & = 0 \\N-\Nnewline 3\beta^{2} + 4\beta + 12 & = 0 \end{align}\N]
Additionne les deux équations pour obtenir :\N[3(\alpha^{2} + \beta^{2}) + 4(\alpha + \beta) + 24 = 0\N].
Ce qui est la même chose que :\[3S_{2} + 4S_{1} + 24 = 0\]
Nous savons que \(S_{1} = \alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)
\N- Par conséquent, le carré S_{1} = -\frac{4}{3}}\N- Nous savons que \N(S_{1} = \Nalpha + \Nbeta = -\frac{b}{a}})
Substitue \(S_{1}\) dans l'équation pour calculer que \(S_{2} = -\frac{56}{9}\).
En utilisant \(S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n}\), nous savons que \(S_{3}\) doit donc être égal à \(\alpha^{3} +\beta^{3}\).En revenant à l'équation originale, \N(3x^{2} + 4x + 12 = 0\N), nous pouvons voir qu'il n'y a pas de cubes présents, nous multiplions donc l'équation entière par \N(x\N) pour obtenir \N(3x^{3} + 4x^{2} + 12x = 0\N).
Comme nous l'avons fait plus tôt, substitue \N(\Nalpha \N ; \Ntext{and} \N ; \Nbeta\N) dans l'équation pour obtenir :
\[\begin{align}3\alpha^{3} + 4\alpha^{2} + 12\alpha & = 0 \\N-\Nnewline 3\beta^{3} + 4\beta^{2} + 12\beta & = 0 \end{align}\N]
Additionne les deux équations et applique la relation de récurrence, \(S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n}\) pour obtenir :
\[3S_{3} + 4S_{2} + 12S_{1} = 0\].
Puisque nous connaissons déjà les valeurs de \N(S_{1}\N ; \Ntext{and}\N ; S_{2}\N), il suffit de les substituer dans l'équation pour calculer la valeur de \N(S_{3}\N).
\N-\N- \N- \N- \N-{align}3S_{3} + 4\Nà gauche(-\frac{56}{9} \Nà droite) + 12\Nà gauche(-\frac{4}{3} \Nà droite) & = 0 \N\Nnewline S_{3} & = \frac{368}{27}\Nend{align}\N]
Autre méthode
Il est également possible de résoudre ce problème en utilisant la notation par sommation.
Nous savons que \(S_{3} = \alpha^{3} + \beta^{3}\) et que \(\alpha^{3} + \beta^{3}\N = (\alpha + \beta)^{3} - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)\)
Sous forme de somme, cela nous donne
\[\Sigma{\alpha^{3}} = (\Sigma{\alpha})^{3} - 3\Sigma{\alpha\beta}\Sigma{\alpha}\]
La somme des racines, \(\Sigma{\alpha}\), est \(-\frac{4}{3}\) et le produit des racines, \(\Sigma{\alpha\beta}\), est \(4\).
Substitue ces valeurs dans la forme de sommation ci-dessus pour obtenir :
\[\begin{align}\Sigma{\alpha^{3}} & = \left(-\frac{4}{3} \right)^{3} - 3(4)\Nà gauche(-\frac{4}{3} \Nà droite) = \frac{368}{27}\Nend{align}\N]
Les relations de récurrence peuvent également être utilisées pour trouver des valeurs telles que \(S_{-1}\). Cela peut se faire de la même façon que nous avons trouvé \(S_{3}\) dans l'exemple précédent, mais il existe une multitude de méthodes que l'on peut utiliser pour le calculer.
L'exemple suivant explique en détail deux de ces différentes méthodes :
On te donne l'équation quadratique \N(3x^{2} + 5x - 8 = 0\N) avec les racines \N(\Nalpha\N) et \N(\Nbeta\N). Calcule la valeur de \(S_{-1}\).
Solution - Méthode 1
Calcule d'abord les valeurs de \(S_{1}\).
\N-[ \N-{align}S_{1} & = -\frac{b}{a} \N-{ & = -\frac{5}{3} \Nend{align} \]
Ensuite, divise par \(x\) pour obtenir ce qui suit :
\[ 3x + 5 - \frac{8}{x} = 0\]
Substitue les racines dans l'équation et applique ta relation de récurrence pour obtenir :
\[ 3S_{1} + 10 - 8S_{-1} = 0\]
Tu as déjà calculé la valeur de \(S_{1}\), alors replace cette valeur dans l'équation et simplifie pour calculer \(S_{-1}\).
\N- \N- Début{alignement} 3 \Nà gauche(-\Nfrac{5}{3} \Nà droite) + 10 - 8S_{-1} & = 0 \N-8S_{-1} & = -5 \N S_{-1} & = \Nfrac{5}{8} \Nend{align} \]
Méthode 2
\(S_{-1}\) est équivalent à \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\).
Rappelle-toi que \(S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n}\) pour les équations quadratiques. Il s'ensuit que \(S_{-1} = \alpha^{-1} + \beta^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\).
Il a été établi dans la section précédente que
\[\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\Sigma{\alpha}}{\Sigma{\alpha}{\beta}}]. \]
Tu sais que \( \Sigma{\alpha} = -\frac{b}{a} \text{ et }) \Sigma{\alpha\beta} = \frac{c}{a} \). Substitue ces éléments dans les équations pour obtenir ce qui suit :
\[ S_{-1} = -\frac{b}{c}\]
À partir de là, il te suffit de substituer les valeurs de \(b\) et \(c\) et de simplifier.
Nous obtenons ainsi que \(S_{-1} = \frac{5}{8}\).
Équations cubiques utilisant alpha, bêta et gamma
Les équations cubiques sont très similaires aux équations quadratiques, sauf que les racines sont représentées par \N(alpha,\N;bêta,\N;text{et},\N;gamma,\N).
Nous commençons par \N(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\N). Comme pour les équations quadratiques, nous divisons par \N(a) pour obtenir \N(x^{3} + \frac{b}{a}x^{2} + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0\N).
Nous avons établi que nous utiliserons \N(\Nalpha, \N ; \Nbeta \N ; \Ntext{and} \N ; \Ngamma\N) pour représenter les racines de l'équation cubique. Nous obtenons ainsi
\N((x - \Nalpha)(x - \Nbeta)(x - \Ngamma) = 0\N),
ce qui, une fois développé, nous donne
\N[x^{3} - (\alpha + \beta + \gamma)x^{2} + (\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)x -\alpha\beta\gamma = 0.\]
Si l'on compare ce résultat à celui de \N(x^{3} + \frac{b}{a}x^{2} + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0\N), on constate que
\(\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\), qui est dénoté par \(\Sigma{\alpha}\) ou \(S_{1}\) ;
\(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = \frac{c}{a}\) que l'on désigne par \(\Sigma{\alpha\beta}\) ;
\(\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\), que nous écrivons \(\Sigma{\alpha\beta\gamma}\).
Nous savons, grâce aux quadratiques, que \(\Sigma{\alpha^{2}} = (\Sigma{\alpha})^{2}) - 2\Sigma{\alpha\beta}\). Ceci est également vrai pour les équations cubiques où
\((\Sigma{\alpha})^{2} = (\alpha + \beta + \gamma)^{2} = \alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} + 2\alpha\beta + 2\alpha\gamma + 2\beta\gamma\),
et \(\Sigma{\alpha^{2}}\) est donc égal à \((\Sigma{\alpha})^{2}) - 2\Sigma{\alpha\beta}\).
Nous pouvons maintenant utiliser \(S_{n} = \alpha^{n} + \beta{n} + \gamma^{n}\) pour représenter les racines des équations cubiques. Par exemple, \(S_{3}\) sera utilisé pour représenter \(\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3}\), etc.
Tous les résultats obtenus pour les équations quadratiques sont valables pour les équations cubiques, mais les calculs deviennent plus compliqués à mesure que l'on travaille avec des puissances plus élevées. Il est plus facile d'utiliser les relations de récurrence plutôt que les formes de sommation pour trouver \(S_{n}\) à partir des puissances de 3.
L'exemple suivant en est la preuve :
Trouve \(S_{3}\) pour l'équation \(6x^{3} - 15x^{2} - 17x + 6 = 0\).
Solution - Utilisation de la forme de la somme
Nous savons que \(S_{3} = (\Sigma{\alpha})^{3}) - 3\Sigma{\alpha\beta}\Sigma{\alpha} + 3\Sigma{\alpha\beta\gamma}\).
Calculons d'abord les valeurs de \(\Sigma{\alpha}, \ ; \Sigma{\alpha\beta} \ ; \text{et}). \ ; \Sigma{\alpha\beta\gamma}\) :
\[\begin{align}\Sigma{\alpha} & = -\frac{b}{a} \\N-& = -\frac{-15}{6} \N-& = \Nfrac{5}{2}\Nend{align}\N]
\[\begin{align}\Sigma{\alpha\beta} & = \frac{c}{a} \& = -\frac{17}{6}\end{align}\]
\N-\N-\N-Sigma{\Nalpha\Nbeta\Ngamma} & = -\Nfrac{d}{a} \N-& = -\Nfrac{6}{6} \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-& = -1\N- end{align}\N]
Maintenant que nous avons ces valeurs, nous pouvons les replacer dans la forme de sommation pour calculer \(S_{3}\).
\N-\N-S_{3} & = (\N-Sigma{\Nalpha})^{3} - 3\Sigma{\alpha\beta}\Sigma{\alpha} + 3\Sigma{\alpha\beta\gamma} \\N& = \left(\frac{5}{2} \right)^{3} - 3\left(-\frac{17}{6} \right) \left(\frac{5}{2} + 3(-1) \right) + 3(-1) \Ndroite) \N& = \frac{271}{8}\Nend{align}\N]
\[\concernant \cquad S_{3} = \frac{169}{8} \c]
Comme tu peux le voir, cette méthode fonctionne, mais il est facile de faire des erreurs et cela devient vite compliqué. Il existe une façon plus efficace de résoudre ce problème en utilisant les relations de récurrence.
Autre solution - Utilisation des relations de récurrence
\(\alpha, \ ; \beta \text{ and } \gamma\) satisfont tous notre équation cubique, nous savons donc que :
\[\begin{align}6\alpha^{3} - 15\alpha^{2} - 17\alpha + 6 & = 0 \\N-6\beta^{3} - 15\beta^{2} - 17\beta + 6 & = 0 \N-6\gamma^{3} - 15\gamma^{2} - 17\gamma + 6 & = 0\end{align}\N]
En additionnant ces trois équations, nous obtenons :
\[6(\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3}) - 15(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2}) - 17(\alpha + \beta + \gamma) + 18 = 0\].
Ce qui est la même chose que :
\N[6S_{3} - 15S_{2} - 17S_{1} + 18 = 0\N].
Nous savons que :
\[ S_{1} = -\frac{b}{a} = \frac{5}{2} \]
et ,
\[ \begin{align}S_{2} & = (\Sigma{\alpha})^{2} - 2\Sigma{\alpha\beta} \\N& = \frac{5}{2}\droite)^{2} - 2\Nà gauche(-\Nfrac{17}{6}\Nà droite) \N& = \Nfrac{143}{12} \N-\Nend{align}\N]
\N-\N-\N- Donc \N- 6S_{3} - 15S_{2} - 17S_{1} + 18 & = 0 \qquad \text{Substitut } S_{1} \text{ et } S_{2} \text{ in} \\N-6S_{3} - 15 \left( \frac{143}{12}\right) - 17 \left(\frac{5}{2} \right) + 18 & = 0 \\\N-S_{3} & = \frac{271}{8}\N- end{align}\N-]
Equations quartiques utilisant alpha, beta, gamma et delta
Pour les équations quartiques, nous utiliserons \N(\Nalpha, \N ; \Nbeta, \N ; \Ngamma \Ntext{et } \Ndelta\N) pour représenter les racines de l'équation.
Comme pour les équations quadratiques et cubiques, la somme des racines, \(\alpha + \beta + \gamma + \delta\), est désignée par \(\Sigma{\alpha}\) et \(S_{1}\) et est équivalente à \(-frac{b}{a}\).
Il est en outre donné que,pour les équations quartiques de la forme \N(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\N).
Lorsque tu travailles avec des équations quartiques, veille à utiliser la formule de récurrence dans la mesure du possible, en particulier lorsque tu travailles avec la somme des cubes, \((\Nalpha^{3} + \Nbêta^{3} + \Ngamma^{3} + \Ndelta^{3})\N).
La meilleure méthode pour déterminer la somme des cubes d'une équation quartique générale consiste à calculer d'abord \(S_{1}\), puis à déterminer \(S_{2}\) et \(S_{-1}\). Une fois ces valeurs déterminées, nous pouvons utiliser \N(aS_{4} + bS_{3} + cS_{2} + dS_{1} + 4e = 0\N) et diviser par \N(x\N) pour calculer \N(S_{3}\N).
Pour les équations quartiques de la forme \N(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\N), \N[ \Nbegin{gather*}\NSigma{\Nalpha} = \Nalpha + \Nbeta + \Ngamma + \Ndelta = -\frac{b}{a} \N-\Sigma{\alpha\beta} = \alpha\beta + \alpha\gamma + \alpha\delta + \beta\gamma + \beta\delta + \gamma\delta = \frac{c}{a} \\Sigma{\alpha\beta\gamma} = \alpha\beta\gamma + \alpha\beta\delta + \alpha\gamma\delta + \beta\gamma\delta = -\frac{d}{a} \fend{gather*}\N]
et ,
\[\Sigma{\alpha\beta\gamma\delta} = \alpha\beta\gamma\delta = \frac{e}{a}\]
Ces formules sont obtenues en développant \N((x - \Nalpha)(x - \Nbeta)(x - \Ngamma)(x - \Ndelta) = 0\N) et en le comparant à \N(x^{4} + \Nfrac{b}{a}x^{3} + \Nfrac{c}{a}x^{2} + \Nfrac{d}{a}x + e = 0\N).
\N-[ \N-{align} (x + \Nalpha)(x + \Nbeta)(x + \Ngamma)(x + \Ndelta) & = 0 \N-{align} x^{4} - (\alpha + \beta + \delta + \gamma)x^{3} + (\alpha\beta + \alpha\gamma + \alpha\delta + \beta\gamma +\beta\delta + \gamma\delta)x^{2} - (\alpha\beta\gamma + \alpha\beta\delta + \alpha\delta\gamma\beta\gamma\delta)x + \alpha\beta\gamma\delta & = 0 \x^{4} + \Sigma{\alpha}x^{3} + \Sigma{\alpha\beta}x^{2} + \Sigma{\alpha\beta\gamma}x +\Sigma{\alpha\beta\gamma\delta} & = 0 \end{align} \]
\N(\Ndonc \Nquad\N) lorsque nous comparons les deux équations, nous pouvons conclure ce qui suit :
\[ \begin{gather*} \Sigma{\alpha} = -\frac{b}{a} \N \hspace{1cm} \N- \N-Sigma{\Nalpha\Nbeta} = \Nfrac{c}{a} \N- \Nhspace{1cm} \N- \N-Sigma{\Nalpha\Nbeta\Ngamma} = -\Nfrac{d}{a} \N- \Nhspace{1cm} \N- \NSigma{\Nalpha\Nbeta\Ngamma\Ndelta} = \Nfrac{e}{a} \Nend{gather*} \N-Le fonctionnement complet de l'expansion de \N((x - \Nalpha)(x - \Nbeta)(x - \Ngamma)(x - \Ndelta) = 0\N) n'est pas montré ici car il n'est pas nécessaire que tu le connaisses. Il est seulement nécessaire que tu saches comment appliquer les formules qui résultent de l'expansion.
Pour les relations de récurrence impliquant des équations quartiques, utilise les formules suivantes :
\[ \begin{gather*} S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n} + \gamma^{n} + \delta^{n} \\N- \Nhspace{1cm} \\N-S_{-1} = \Sigma{\frac{1}{\alpha}} = \frac{\Sigma{\alpha\beta\gamma}}{\Sigma{\alpha\beta\gamma\delta}} \\N-\N- \N- \Nend{gather*} \]
Comme pour les équations quadratiques et cubiques, \(S_{2} = (\Sigma{\alpha})^{2}) - 2\Sigma{\alpha\beta}\).
On te donne l'équation quartique \(3x^{4} - x^{3} + 2x + 7 = 0\) avec des racines \(\Nalpha, \N ; \Nbeta, \N ; \Ngamma \Ntext{et } \Ndelta\N). Calcule les valeurs de \(S_{3}\) et \(S_{4}\).
Solution
Calcule d'abord \N(S_{1}\N) :
\[ S_{1} = -\frac{b}{a} = \frac{1}{3} \]
Ensuite, calcule la valeur de \(S_{2}\) :
\[\begin{align}S_{2} & = \left( \Sigma{\alpha} \right)^{2} - 2\Sigma{\alpha\beta} \\N& = \Ngauche (\Nfrac{1}{3} \Ndroite )^{2} - 2\Nà gauche( \Nfrac{0}{2} \Nà droite) \N& = \Nfrac{1}{9}\Nend{align}\N]
Divise l'équation originale par \N(x\N) pour obtenir \N(3x^{3} - x^{2} + 2 + \frac{7}{x} = 0\N) et utilise ce résultat pour calculer la valeur de \N(S_{-1}\N).
Les équations quadratiques t'ont appris que \(S_{-1} = \Sigma{\frac{1}{\alpha}}\). Il s'agit donc de
Substitutions
Suppose qu'on te donne une équation quadratique dont les racines sont \N(\Nalpha\N) et \N(\Nbeta\N). On te demande de trouver une autre équation quadratique dont les racines sont \N(3\Nalpha\N) et \N(3\Nbeta\N). Comment ferais-tu pour résoudre ce problème ?
L'exemple suivant explique en détail les deux méthodes que tu pourrais utiliser.
\N(6x^{2} - x - 12 = 0\N) a pour racines \N(\Nalpha\N) et \N(\Nbeta\N). Trouve l'équation quadratique dont les racines sont \N(3\Nalpha\N) et \N(3\Nbeta\N).
Solution - Méthode 1
Commence par considérer l'équation quadratique \((y - 3\alpha)(y - 3\beta)\ = 0\). Cette équation a des racines \N(3\Nalpha) et \N(3\Nbeta), ce qui est ce que tu veux.
Développe-la pour obtenir \(y^{2} - 3(\alpha + \beta)y + 9\alpha\beta = 0\).
Maintenant, compare cette équation à l'équation originale. D'après l'original, nous savons que \(\alpha + \beta = \frac{1}{6}\) et que \(\alpha\beta = -2\).
Introduis ces valeurs dans la nouvelle équation pour obtenir le résultat final de \(y^{2} - \frac{1}{2}y - 18 = 0 \N), qui peut également être multiplié par 2 pour donner \(2y^{2} - y - 36 = 0 \N).
Deuxième méthode
La deuxième méthode pour déterminer la nouvelle équation consiste à relier les racines des différentes équations.
Nous savons que les racines de la nouvelle équation (\(y\)) sont trois fois supérieures à celles de l'équation originale.
La relation est donc représentée comme suit :
\[y =3x\]
Réarrange l'équation de façon à ce que \(x\) soit le sujet de la formule.
\[x = \frac{y}{3}\]
Ensuite, remplace \(x\) dans l'équation originale et simplifie.
\[\N- début{alignement}6\Ngauche(\Nfrac{y}{3} \Ndroite)^{2} - \frac{y}{3} - 12 & = 0 \\N-\Nfrac{6}{9}y^{2} - \frac{y}{3} - 12 & = 0 \N-2y^{2} - y - 36 & = 0\end{align}\]
Une utilisation plus compliquée de la substitution implique des fonctions réciproques. L'exemple suivant explique en détail comment utiliser les fonctions réciproques dans la substitution :
Considérons l'équation cubique donnée, \(x^{3} - 2x^{2} - 6x + 4 = 0\) avec des racines \(\alpha, \ ; \beta \text{ et } \gamma\). Trouve l'équation cubique dont les racines sont \N(\frac{1}{\alpha}, \N;\frac{1}{\beta}, \N;\frac{1}{\gamma}\N)et qui a pour racines \N(\alpha}, \N;\frac{1}{\beta} et \gamma}\N).
Solution
Relie d'abord les racines entre elles et fais de \(x\) le sujet de la formule.
\[\begin{align} y & = \frac{1}{x} \\Nx & = \frac{1}{y}\Nend{align}\N]
Ensuite, remplace \(x\) dans l'équation originale et simplifie.
\N-\N-\N- gauche (\Nfrac{1}{y} \Ndroite)^{3} - 2\Nà gauche(\frac{1}{y} \Nà droite)^{2} - 6\Nà gauche(\Nfrac{1}{y} \Nà droite) + 4 & = 0\N\Nhspace{1cm} \\N-\Nfrac{1}{y^{3}} - \frac{2}{y^{2}} - \frac{6}{y} + 4 & = 0 \N-\hspace{1cm} \N- 4y^{3} - 6y^{2} - 2y + 1 & = 0 \qquad \text{Multiplier par } y^{3}\end{align}\]
L'équation cubique dont les racines sont \N(\Nalpha, \N ; \Nbeta \Ntext{ et } \Ngamma\N) est donc \N(4y^{3} - 6y^{2} - 2y + 1 = 0\N).
Il existe deux méthodes pour effectuer des substitutions avec des puissances de racines.
On te donne l'équation quadratique \N(2x^{2} - 4x + 7 = 0\N) avec les racines \N(\alpha \text{ et } \beta\N). Trouve l'équation quadratique dont les racines sont \N(\Nalpha^{2}\N) et \N(\Nbeta^{2}\N).
Solution - Méthode 1
Nous pouvons affirmer que \(y = x^{2}\) et donc \(x = \sqrt{y}\).
En substituant cette valeur dans l'équation, on obtient ce qui suit :
\[\i1{split}2((y^{\i}frac{1}{2}})^{2}) - 4y^{\frac{1}{2}} + 7 = 0 \N-2y - 4y^{\frac{1}{2}} + 7 = 0\end{split}\N]
Nous pouvons ensuite réarranger l'équation et élever les deux côtés au carré. On obtient alors l'équation quadratique qui est la solution de cette question.
\[\begin{align}2y + 7 & = 4y^{\frac{1}{2}} \\N-4y^{2} + 28y + 49 & = 16y \N-4y^{2} + 12y + 49 & = 0 \Nend{align}\N]
Méthode 2
Dans cette méthode, nous inversons l'ordre que nous avons suivi pour résoudre le problème dans la première méthode.
Tout d'abord, réarrange l'équation. Nous voulons effectuer une opération afin d'obtenir des puissances paires pour chaque terme de \(x\). Cela se fait en élevant les deux côtés au carré.
\N-\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N -4x & = -2x^{2} - 7 \\N-16x^{2} & = 4x^{4} + 28x^{2} + 49 \qquad \text{Mise au carré des deux côtés} \Nend{align}\N]
Remplace maintenant \(y = x^{2}\) par \N comme nous l'avons fait dans la première méthode.
\N-\N- \N- \N- \N- \N- \N-16y & = 4y^{2} + 28y + 49 \\N-4y^{2} + 12y + 49 & = 0 \Nend{align}\N]
Comme tu peux le voir, cette méthode aboutit à la même réponse que la première méthode.
Pour les deux méthodes, tu dois t'assurer que tu utilises les puissances correctes de \(x\).
Une autre utilisation des méthodes de substitution consiste à déterminer les valeurs des relations de récurrence, telles que \(S_{6}\).
Supposons qu'on te demande de déterminer la valeur de \(S_{6}\) pour l'équation cubique \(x^{3} + 3x^{2} - 1 = 0\). Non seulement le processus pour y parvenir est long, mais il est également facile de faire des erreurs.
Imagine maintenant qu'il existe une autre équation cubique pour laquelle \(y= x^{3}\). Pour la cubique \(x\), \(S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n} + \gamma^{n}\).
Puisque les racines de la cubique \(y\N) sont égales aux racines de la cubique \N(x\N) cubée, la cubique \N(y\N) aurait \N(S_{n} = \Nalpha^{3n} + \Nbeta^{3n} + \Ngamma^{3n}\N). La puissance de chaque racine ayant été triplée, il nous suffit de trouver \(S_{2}\) de la cubique \(y\) pour déterminer la valeur de \(S_{6}\) de la cubique \(x\).
L'exemple suivant montre comment procéder :
Considère l'équation cubique \(2x^{3} - 5x + 1 = 0\) avec des racines \(\alpha, \ ; \beta \text{ et } \gamma\). Détermine la valeur de \(S_{6}\) en utilisant la substitution de \(y = x^{3}\).
Solution
Étiquette la cubique et réarrange-la comme suit :
\[\begin{equation}\tag{1}2x^{3} + 1 = 5x \end{equation}\]
Cube les deux côtés du cube et simplifie ensuite pour obtenir :
\[\begin{align}8x^{9} + 6x^{6} + 6x^{3} + 1 & = 125x^{3} \N-8x^{9} + 6x^{6} - 119x^{3} + 1 & = 0\end{align}\N]
Ensuite, remplace \N(y\N) par \N(x^{3}\N) et étiquette cette nouvelle équation.
\N[\Nbegin{equation}\Ntag{2}8y^{3} + 6y^{2} - 119y + 1 = 0\Nend{equation}\N]
Détermine \(S_{1}\) pour l'équation 2.
\[\begin{align}S_{1} & = -\frac{b}{a} \\N-\hspace{1cm} \N- & = -\frac{b}{a} \N- \hspace{1cm} \N- & = -\Nfrac{6}{8} \N-\N- espace{1cm} \N- & = -\frac{3}{4}\Nend{align}\N]
Enfin, détermine \(S_{2}\) en utilisant la valeur de \(S_{1}\) que tu viens de calculer, et indique la valeur de \(S_{6}\) pour l'équation 1.
\N-\N- Début{alignement} S_{2} & = (S_{1})^{2} - \frac{c}{a} \\N-\hspace{1cm} \\N- & = \N-gauche(-\Nfrac{3}{4} \N-droit)^{2} - \N- gauche(-\Nfrac{119}{8} \Ndroite) \N\Nhspace{1cm} \N-& = \Nfrac{247}{16} \N- \Nend{align} \]
\[ \begin{split}\therefore \qquad S_{2} \N-text{ pour l'équation } 2 = \frac{247}{16} \\\hspace{1cm} \N- \Ndonc \Nquad S_{6} \n-texte{ pour l'équation 1 } = \nfrac{247}{16}\nend{split}\n-]
Formules de racines de polynômes
Cette section résume les formules dérivées des sections précédentes.
Formules pour les équations quadratiques
Pour les équations quadratiques de la forme \N(ax^{2} + bx + c = 0\N) :
\[ \begin{gather*} \Sigma{\alpha} = \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \\N \hspace{1cm} \\N-\NSigma{\Nalpha^{2}} = \Nalpha^{2} + \beta^{2} \\N- \N- espace{1cm} \\N-\NSigma{\Nalpha\Nbeta} = \Nalpha\Nbeta = \Nfrac{c}{a} \N- \Nhspace{1cm} \\N-S_{n} = \Nalpha^{n} + \beta^{n} \\N-\N- espace{1cm} \N- S_{-1} = \Sigma{\frac{1}{\alpha}} = \frac{\Sigma{\alpha}}{\Sigma{\alpha\beta}} \\N-\N- espace{1cm} \N- \NSigma{\Nfrac{1}{\Nalpha}} = \Nfrac{1}{\Nalpha} + \Nfrac{1}{\Nbeta} \Nend{gather*} \]
Formules pour les équations cubiques
Pour les équations cubiques de la forme \N(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\N) :
\[ \begin{gather*} \Sigma{\alpha} = \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \N \hspace{1cm} \N-\NSigma{\Nalpha\Nbeta} = \Nalpha\Nbeta + \Nalpha\Ngamma + \Nbeta\Ngamma = \Nfrac{c}{a} \N- \Nhspace{1cm} \N-\NSigma{\Nalpha\Nbeta\Ngamma} = \Nalpha\Nbeta\Ngamma = -\Nfrac{d}{a} \N- \Nhspace{1cm} \\N-S_{n} = \Nalpha^{n} + \beta^{n} + \gamma^{n} \\N-\hspace{1cm} \\N- S_{-1} = \Sigma{\frac{1}{\alpha}} = \frac{\Sigma{\alpha\beta}}{\Sigma{\alpha\beta\gamma}} \\N- \N- espace{1cm} \N-\NSigma{\Nfrac{1}{\Nalpha}} = \Nfrac{1}{\Nalpha} + \Nfrac{1}{\Nbeta} + \Nfrac{1}{\Ngamma}\Nend{gather*} \]
Formules pour les équations quartiques
Pour les équations quartiques de la forme \N(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\N) :
\[ \egin{gather*}\eSigma{\ealpha} = \ealpha + \ebeta + \egamma + \edelta = -\efrac{b}{a} \e\ehspace{1cm} \N-\NSigma{\Nalpha\Nbeta} = \Nalpha\Nbeta + \Nalpha\Ngamma + \Nalpha\Ndelta + \Nbeta\Ngamma + \Nbeta\Ndelta + \Ngamma\Ndelta= \Nfrac{c}{a} \N-\Nhspace{1cm} \N-\NSigma{\Nalpha\Nbeta\Ngamma} = \Nalpha\Nbeta\Ngamma + \Nalpha\Nbeta\Ndelta + \Nalpha\Ngamma\Ndelta + \Nbeta\Ngamma\Ndelta = -\Nfrac{d}{a} \N- \Nhspace{1cm} \N-\NSigma{\Nalpha\Nbeta\Ngamma\Ndelta} = \Nalpha\Nbeta\Ngamma\Ndelta = \Nfrac{e}{a} \N- \Nhspace{1cm} \\N-S_{n} = \Nalpha^{n} + \beta^{n} + \gamma^{n} + \delta^{n} \\N- \Nhspace{1cm} \\N- S_{-1} = \Sigma{\frac{1}{\alpha}} = \frac{\Sigma{\alpha\beta\gamma}}{\Sigma{\alpha\beta\gamma\delta}} \\N- \N- espace{1cm} \N-\NSigma{\Nfrac{1}{\Nalpha}} = \Nfrac{1}{\Nalpha} + \Nfrac{1}{\Nbeta} + \Nfrac{1}{\Ngamma} + \Nfrac{1}{\Ndelta} \N-\Nend{gather*} \]
Notation de récurrence
Les formules que tu dois connaître pour la notation par récurrence sont les suivantes :
\[ \N- Début de la collecte*}S_{1} = \N-Sigma{\N-alpha} \N- \N- Espace{1cm} \\N- S_{2} = \Sigma{\alpha^{2}} = (\Sigma{\alpha})^{2} - 2\Sigma{\alpha\beta} \\N \hspace{1cm} \\N- S_{-1} = \Sigma{\frac{1}{\alpha}}\N-end{gather*} \]
Calcul des racines des polynômes
Dans cette section, nous allons travailler sur une multitude de questions pratiques impliquant des racines de polynômes.
On te donne l'équation cubique \(3x^{3} + mx^{2} + nx + p = 0\) avec \(S_{1} = -5, \ ; S_{2} = \frac{79}{3} \text{ et } S_{-1} = \frac{1}{2}\). Trouve les valeurs des constantes \(m, \N ; n \text{ et } p\N).
Solution
Calcule la valeur de \(m\). Tu sais déjà que \(S_{1} = \alpha + \beta = -\frac{b}{a}\), alors utilise cette relation pour trouver \(m\).
\[ \begin{align}S_{1} & = -\frac{b}{a} \qquad \quad \text{ Substitue les valeurs que tu connais.} \\N- -5 & = -\frac{m}{3} \\N- \Ndonc \Nquad m & = 15\Nend{align} \]
De même, en calculant \N(n\N), tu sais que \N(S_{2} = (\NSigma{\Nalpha})^{2}) - 2\Sigma{\alpha\beta}\) et aussi que \(\Sigma{\alpha} = S_{1} \text { et } \Sigma{\alpha\beta} = \frac{c}{a}\). Substitue les valeurs que tu connais et simplifie pour résoudre \N(n\N).
\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{align} S_{2} & = (\Sigma{\alpha})^{2} - 2\Sigma{\alpha}{\beta} \\\N- \frac{79}{3} & = (-5)^{2} - 2\frac{n}{3} \\ \frac{4}{3} & = -2\frac{n}{3} \N- n & = -2 \N- end{align} \]
Enfin, pour calculer \(p\), tu utilises \(S_{-1} = \frac{\Sigma{\alpha\beta}}{\Sigma{\alpha\beta\gamma}}\) (il y a d'autres façons de procéder, mais cette méthode est la plus simple).
\[ \begin{align}S_{-1} & = \frac{\Sigma{\alpha}{\beta}}{\Sigma{\alpha\beta\gamma}} \frac{\Sigma{\alpha}{\beta\gamma}}]. \\N- \Nfrac{1}{2} & = -\Nfrac{c}{d} \\ \frac{1}{2} & = -\frac{n}{p} \\N- \N-{1}{2} & = -\N-{-2}{p} \\N- p & = 4\N- end{align} \]
Voyons un autre exemple.
On te donne l'équation quartique \(x^{4} + 3x^{3} - 8x^{2} + 5 = 0\) avec des racines \(\alpha, \beta, \ ; \gamma \text{ et } \delta\). Montre que \(S_{4} = -22S_{3} + 1\).
Solution
Tu dois d'abord calculer les valeurs de \N(S_{1}, \N;S_{2}\N) et \N(S_{-1}\N) : \[ \begin{align}S_{1} & = \alpha + \beta + \gamma + \delta \\ & = -\frac{b}{a} \\ & = -3 \end{align} \]
\[ \begin{align} S_{2} & = (\Sigma{\alpha})^{2} - 2\Sigma{\alpha\beta} \\N & = (-3)^{2} - 2(8) \N- & = -7 \N- end{align} \]
\N- [ \N- \N- \N- \N- \N{align} S_{-1} & = \frac{\Sigma{\alpha\beta\gamma}}{\Sigma{\alpha\beta\gamma\delta}} \N- & = -\frac{d}{e} \N- & = -\frac{0}{5} \N- & = 0\N- end{align} \]
Ensuite, tu dois calculer la valeur de \(S_{3}\). Pour ce faire, divise l'équation originale par \N(x\N) de façon à ce qu'elle ressemble à \N(x^{3} + 3x^{2} - 8x + \frac{5}{x} = 0\N), puis substitue chacune des quatre racines, \N(\Nalpha, \N ; \Nbeta, \N ; \Ngamma{text{et } \Ndelta\N) dans l'équation et additionne les quatre équations résultantes pour obtenir ce qui suit :
\[(\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3} + \delta^{3}) + 3(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} + \delta^{2}) - 8(\alpha + \beta + \gamma + \delta) + 5(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta}) = 0\]
Applique la relation de récurrence \(S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n} + \gamma^{n} + \delta^{n}\) et ton équation devrait maintenant ressembler à ceci :
\[ S_{3} + 3S_{2} - 8S_{1} + 5S_{-1} = 0\]
Substitue \N(S_{1}, \N;S_{2} \text{et } \S_{-1}\N) dans l'équation et résout \N(S_{3}\N)pour \N(S_{3}\N) :
[ \N- \N- \N- \N-{align}} S_{3} + 3(-7) - 8(-3) + 5(0) & = 0 \N- S_{3} & = -3 \N- \Nend{align} \]
Pour résoudre \(S_{4}\), nous répétons un processus similaire à la résolution de \(S_{3}\), sauf que nous divisons par \(x\). Substitue chacune des racines, \N (\Nalpha, \N ; \Nbeta, \N ; \Ngamma, \Net } \Ndelta\N) dans l'équation originale et additionne les quatre équations résultantes pour obtenir ce qui suit :
\[ (\alpha^{4} + \beta^{4} + \gamma^{4} + \delta^{4}) + 3(\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3} + \delta^{3}) - 8(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} + \delta^{2}) + 20 = 0\].
Applique la relation de récurrence et tu obtiens :
\N[ S_{4} + 3S_{3} - 8S_{2} + 20 = 0\N]Enfin, remplace les valeurs de \N(S_{3}\N) et \N(S_{2}\N) par \N(S_{4}\N) et résous le problème :
\[ \begin{align}S_{4} + 3(-3) - 8(-7) + 20 & = 0 \\N-S_{4} & = 67\N- \Nend{align} \]
\N(\Ndonc \Nquad -22S_{3} + 1 = -22(-3) + 1 = 67 = S_{4}\)
Ce dernier exemple couvre un problème plus compliqué impliquant une substitution.
L'équation cubique \(x^{3} + 4x^{2} - 7x - 1 = 0\) a des racines \(\alpha, \beta\) et \(\gamma\). Trouve les équations cubiques dont les racines sont \N(\frac{2\alpha - 3}{\alpha}, \N;\frac{2\beta - 3}{\beta} \text{et }) et \frac{2\gamma}. \frac{2\gamma - 3}{\gamma}\).
Solution
Nous savons que les racines de cette nouvelle équation cubique sont :
\[ y = \frac{2x - 3}{x}\]
Fais de \(x\) le sujet de la formule :
\[ \begin{align} xy & = 2x - 3 \\\N- xy - 2x & = -3 \N- x(y - 2) & = -3 \N- x & = -\frac{3}{y-2} \N- end{align} \]
Substitue cette valeur de \(x\) dans l'équation originale et simplifie pour obtenir la nouvelle cubique.
[ \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N] \left( -\frac{3}{y - 2} \right)^{3} + 4\left(-\frac{3}{y-2}\right)^{2} - 7\Nà gauche(-\Nfrac{3}{y-2}\Ndroite) + 1 & = 0\N \Nhspace{1cm} \\N- -\frac{27}{(y-2)^{3}} + \frac{36}{(y-2)^{2}} + \frac{21}{y-2} + 1 & = 0 \\N- \hspace{1cm} \\N- -27 + 36(y-2) + 21(y-2)^{2} + (y-2)^{3} & = 0 \N- \hspace{1cm} \\N--27 + 36y - 72 + 21y^{2} - 84y + 84 + y^{3} - 6y^{2} + 12y - 8 & = 0 \N- \hspace{1cm} \\N-y^{3} + 15y^{2} - 36y - 23 & = 0\end{align}\]
L'équation cubique avec les racines \ (\frac{2\alpha - 3}{\alpha}, \r ; \frac{2\beta - 3}{\beta} \text{et } \frac{2\gamma - 3}{\gamma}\) est donc :
\[ y^{3} + 15y^{2} - 36y - 23 = 0 \N-]
Racines des polynômes - Principaux enseignements
- Nous utilisons \(\alpha\) et \(\beta\) pour représenter les racines d'une équation quadratique, \(\alpha, \ ; \beta \text{ and } \gamma\) pour représenter les racines d'une équation cubique, et \(\alpha, \ ; \beta, \ ; \gamma \text{ and } \delta\) pour représenter les racines d'une équation quartique.
- La somme des racines d'une équation polynomiale peut être calculée à l'aide de \(\Sigma{\alpha} = -\frac{b}{a}\).
- Il est préférable d'utiliser les relations de récurrence lorsque l'on travaille avec des puissances de 3 et plus.
- La substitution peut être utilisée pour trouver un polynôme en mettant en relation les racines du polynôme que tu veux trouver avec celles d'un polynôme connu, puis en substituant cette relation dans le polynôme connu et en simplifiant.
- La somme des racines inverses d'un polynôme, \(\Sigma{1}{\alpha}\), est toujours égale à la valeur négative du coefficient du terme linéaire divisé par le terme constant.
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