Puissances Racines Et Radicaux: 'Mathématiques', 'Fonction'

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Si tu dois inverser le processus pour trouver quel nombre a été élevé à une puissance donnée, tu peux alors utiliser les racines, également connues sous le nom de radicaux. Dans cet article, nous définirons ce que sont les puissances et les racines, et nous expliquerons plus en détail comment elles sont liées l'une à l'autre, leurs règles et leurs propriétés, ainsi que quelques exemples pratiques sur la façon de les résoudre.

Définition des puissances

Lapuissance est l'exposant auquel est élevée une variable. Par exemple, l'expression x² se lit comme "x à la puissance 2", ou"x au carré", ce qui signifie que la valeur de x est multipliée par elle-même autant de fois que la valeur de la puissance ou de l'exposant. Dans ce cas, x est multiplié deux fois par lui-même. LOLA

Exemples de puissances

Si la valeur de x est 5, nous pouvons calculer $x^{2}$ comme suit,

$x^{2} = 5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$ .

De même, nous pouvons calculer $x^{3}$ et $x^{4}$ :

$x^{3} = 5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ .

Remarque que si tu connais déjà la valeur de 5², qui est 25, tu peux la multiplier par 5 une fois de plus pour obtenir la valeur de 5³.

$x^{4} = 5^{4} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3} \cdot 5 = 125 \cdot 5 = 625$ .

Ce qu'il faut retenir

Si une variable n'a pas de puissance ou d'exposant, on suppose qu'elle vaut 1. Par exemple , $x^{1} = x$ .

De même, toute variable à la puissance 0 (zéro) est égale à 1. Par convention, nous avons $x^{0} = 1$ .

Règles et propriétés des puissances

Tu peux te référer à Puissances et exposants pour une explication plus détaillée des règles que tu dois utiliser lorsque tu travailles avec des puissances.

Voici les règles et les propriétés des puissances, également appelées propriétés ou lois des exposants, que tu dois garder à l'esprit.

Conseil : nom de propriété facile à retenir	Expression de la propriété
Produit de même base	$x^{a} \cdot x^{b} = x^{a + b}$
Division de même base	$x^{a} \div x^{b} = x^{a - b}$
Produit à même exposant	$x^{a} \cdot y^{a} = {(x y)}^{a}$
Division du même exposant	$x^{a} \div y^{a} = {(x \div y)}^{a}$
Exposant double	${(x^{a})}^{b} = x^{a \times b}$
Exposant nul	$x^{0} = 1$
Exposant négatif	$x^{- a} = \frac{1}{x^{a}}$
Exposant fractionnaire	$x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}}$

Propriétés des exposants intelligents - StudySmarter

Définition des racines et des radicaux

Les racines, également appelées radicaux, sont l'inverse des puissances. Pour calculer la $n^{t h}$ racine d'un nombre $(\sqrt[n]{x})$ nous devons trouver quel nombre multiplié par lui-même n fois nous donne le nombre à l'intérieur du symbole du radical (x) qui est appelé le radicande.

Puissances Racines et radicaux Indiquer la nième racine d'un nombre StudySmarter La nième racine d'un nombre x

Exemples de racines et de radicaux

L'indice n d'une racine peut être n'importe quel entier positif, et il donne le nom au radical. Explorons quelques exemples des racines et des radicaux les plus courants que tu trouveras en mathématiques.

Racines carrées

Si $n = 2$ , $\sqrt[2]{x}$ désigne la racine carrée d'un nombre x. Dans ce cas, nous omettons normalement le 2 et écrivons simplement $\sqrt{x}$ .

Si tu veux trouver la racine carrée d'un nombre, tu dois trouver quel nombre multiplié par lui-même nous donnerait le nombre à l'intérieur de la racine carrée.

Si tu veux trouver la racine carrée de 25, tu dois trouver quel nombre multiplié par lui-même est égal à 25.

$\sqrt{25} = \pm 5$

Mais pourquoi le résultat est-il ± 5 ?

C'est parce que 5 et -5, lorsqu'ils sont élevés à la puissance 2, donnent tous deux 25 :

5 \cdot 5 = 25, (- 5) \cdot (- 5) = {(- 1)}^{2} \cdot (5^{2}) = 25 .

Par conséquent, il y a toujours deux réponses lorsque nous prenons la racine carrée d'un nombre positif.

$\sqrt{- 25} \neq - 5$

La racine carrée d'un nombre négatif n'a pas de solution réelle; des nombres imaginaires sont nécessaires dans ce cas. Seuls les nombres positifs peuvent avoir leur racine carrée de cette façon, car nous ne pouvons trouver aucun nombre élevé à la puissance 2 qui nous donnerait un nombre négatif.

Types de racines carrées

Les racines carrées peuvent être classées en fonction du type de nombre à l'intérieur de la racine, comme suit.

La racine carrée des carrés parfaits :

La racine carrée des carrés parfaits donne un nombre entier comme résultat. Elle est très facile à calculer et utile à retenir lorsqu'on travaille avec des expressions contenant des puissances et des racines. Elle aide à évaluer et à simplifier ce type d'expressions. Pour rappel, voici les dix premières.

$\sqrt{1}$	$\sqrt{4}$	$\sqrt{9}$	$\sqrt{16}$	$\sqrt{25}$	$\sqrt{36}$	$\sqrt{49}$ $\sqrt{49}$	$\sqrt{64}$	$\sqrt{81}$	$\sqrt{100}$
$\pm 1$	$\pm 2$	$\pm 3$	$\pm 4$	$\pm 5$	$\pm 6$	$\pm 7$	$\pm 8$	$\pm 9$	$\pm 10$

La racine carrée des nombres qui ne sont pas des carrés parfaits :

La racine carrée des nombres qui ne sont pas des carrés parfaits n'est pas un nombre entier. Ils produisent des nombres irrationnels avec des décimales infinies. Pour représenter plus exactement ce type de nombre, on les laisse sous leur forme de racine.

$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}$ .

Si le nombre à l'intérieur de la racine a un nombre carré comme facteur, alors il peut être simplifié.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

Les étapes à suivre pour simplifier les radicaux sont les suivantes :

Ecris le nombre à l'intérieur de la racine comme la multiplication de ses facteurs. L'un des facteurs doit être un nombre carré.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2}$

Divise les facteurs en racines distinctes

$\sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}$

Simplifie les termes

$\sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 . \sqrt{2}$

Enlève le symbole de multiplication

$2 \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

Racines du cube

Si $n = 3$ , $\sqrt[3]{x}$ désigne la racine cubique d'un nombre x.

Si tu veux trouver la racine cubique d'un nombre, tu dois trouver quel nombre multiplié par lui-même trois fois nous donnerait le nombre à l'intérieur de la racine cubique. C'est le contraire de l'élévation d'un nombre à la $3^{r d}$ puissance.

Si tu veux trouver la racine cubique de 8, tu dois trouver quel nombre multiplié par lui-même trois fois est égal à 8.

\sqrt[3]{8} = 2

En fait

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 .

Remarque que dans ce cas, nous n 'avons qu'une seule réponse, et non deux. En effet, lorsque tu multiplies trois fois un nombre négatif par lui-même, le résultat est également négatif.

$(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8$ .

Par conséquent, la seule réponse possible est 2. $\sqrt[3]{- 8} = - 2$

$\sqrt[3]{- 8} = - 2$

Racines cubiques PEUT prendre la racine cubique d'un nombre négatif.

Exemples de racines et de radicaux : Autres racines

^4e racine : Les règles sont similaires à celles des racines carrées.
^5e racine : Les règles sont similaires à celles des racines cubiques.
D'une manière générale, les racines impaires ont une solution, et les racines paires ont deux solutions.

Règles et propriétés des racines et des radicaux

Lorsque tu travailles avec des racines et des radicaux, tu dois te souvenir des règles et des propriétés suivantes :

Multiplication des radicaux

Tant que l'indice des racines est le même, tu peux multiplier des radicaux avec des nombres différents à l'intérieur de la racine en les combinant simplement en une seule racine et en multipliant les nombres à l'intérieur de la racine. De même, tu peux diviser une racine en plusieurs racines distinctes à l'aide de facteurs.

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ .

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}$ .

Diviser les radicaux

De même, tant que l'indice des racines est le même, tu peux diviser des radicaux avec des nombres différents à l'intérieur de la racine en les combinant en une seule racine et en divisant les nombres à l'intérieur de la racine.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{a \div b}$ .

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{10 \div 2} = \sqrt{5}$ .

Multiplier une racine carrée par elle-même

Si tu multiplies la racine carrée d'un nombre par elle-même, tu devrais obtenir la valeur originale.

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = {(\sqrt{a})}^{2} = a$ .

a-a=a2=a

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = {(\sqrt{3})}^{2} = 3$ .

Multiplier un nombre par un radical

Lorsque l'on multiplie un nombre par un radical, l'ordre des facteurs n'a pas d'importance, et le résultat doit être le nombre suivi du radical.

$a \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b} \cdot a = a \sqrt{b}$ .

$3 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot 3 = 3 \sqrt{2}$ .

Addition ou soustraction de radicaux

Pour ajouter ou soustraire des radicaux, le nombre à l'intérieur des racines doit être le même. Tu additionnes ou soustrais les nombres à l'extérieur de la racine.

$a \sqrt{d} + b \sqrt{d} = (a + b) \sqrt{d}$ .

$a \sqrt{d} - b \sqrt{d} = (a - b) \sqrt{d}$ .

$5 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = (5 + 2) \sqrt{3} = 7 \sqrt{3} 5 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = (5 - 2) \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$

Pour additionner ou soustraire des radicaux, tu devras peut-être les simplifier d'abord pour trouver des termes similaires.

You cannot add $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ , but you can simplify $\sqrt{8}$ first,

\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}

Then you can solve $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ .

Multiplication des parenthèses contenant des radicaux

Pour multiplier des parenthèses contenant des radicaux, chaque terme de la première parenthèse doit être multiplié par chaque terme de la deuxième parenthèse. Tu peux ensuite combiner les termes semblables.

(2 + \sqrt{3}) (5 + \sqrt{3}) = 2 \cdot 5 + 2 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}

$= 10 + 7 \sqrt{3} + 3$

$= 13 + 7 \sqrt{3}$

Comment écrire les puissances sous forme de racines et les racines sous forme de puissances ?

Pour écrire des puissances sous forme de racines et des racines sous forme de puissances, nous devons comprendre comment fonctionnent les exposants fractionnaires.

Exposants fractionnaires

Les exposants fractionnaires sont équivalents aux racines, comme le montre la loi des exposants suivante.

$x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}}$ .

En utilisant cette expression, tu peux écrire n'importe quel exposant fractionnaire comme une racine.

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

$x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$

$x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^{2}}$

Tu peux utiliser la même expression pour écrire n'importe quelle racine sous forme d'exposant fractionnaire.

$\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$

$\sqrt[6]{x^{5}} = x^{\frac{5}{6}}$

Lis l'explication sur les exposants rationnels pour en savoir plus sur ce sujet.

Résoudre les puissances, les racines et les radicaux

Maintenant que tu sais comment travailler avec des exposants fractionnaires et, en gardant à l'esprit les lois des exposants, tu as tout ce qu'il faut pour évaluer ou simplifier des expressions contenant des puissances, des racines et des radicaux. Voici quelques exemples.

a) Évaluer ou simplifier $\sqrt{50}$

En te souvenant des carrés parfaits, tu peux changer $\sqrt{50}$ en $\sqrt{25 \cdot 2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2}$

$\sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

$5 \sqrt{2}$ ne peut pas être simplifiée davantage, elle est donc laissée sous sa forme de racine carrée.

b) Évaluer ou simplifier $\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}}$

$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^{\frac{1}{2}} . x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ Transforme les racines en exposants fractionnaires.

$\frac{\sqrt{x} . \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ En utilisant la loi des exposants $x^{a} \cdot x^{b} = x^{a + b}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}} = x^{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}}$ En utilisant la loi des exposants $x^{a} \div x^{b} = x^{a - b}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}} = x^{\frac{5}{12}}$

c) Évaluer ou simplifier $\frac{12 x^{4} y^{2}}{3 x^{6}}$

$\frac{12 x^{4} y^{2}}{3 x^{6}} = 4 x^{- 2} y^{2}$ En utilisant la loi des exposants $x^{a} \div x^{b} = x^{a - b}$ et en simplifiant $\frac{12}{3}$ .

$\frac{12 x^{4} y^{2}}{3 x^{6}} = \frac{4 y^{2}}{x^{2}}$ En utilisant la loi des exposants $x^{- a} = \frac{1}{x^{a}}$ .

d) Évalue ou simplifie ${(\frac{x y^{2}}{x^{3}})}^{- 3}$

${(\frac{x y^{2}}{x^{3}})}^{- 3} = {(\frac{x^{3}}{x y^{2}})}^{3}$ En utilisant la loi des exposants $x^{- a} = \frac{1}{x^{a}}$ Retourne la fraction,

$= \frac{{(x^{3})}^{3}}{{(x y^{2})}^{3}}$ En répartissant l'exposant dans le numérateur et le dénominateur,

$= \frac{x^{9}}{x^{3} y^{6}}$ En utilisant la loi des exposants $x^{a} \div x^{b} = x^{a - b}$ ,

=x9x3y6 ${(\frac{x y^{2}}{x^{3}})}^{- 3} = \frac{x^{6}}{y^{6}}$

Puissances, racines et radicaux - Points clés à retenir

La puissance est l'exposant auquel une variable ou un nombre est élevé.
Les racines ou les radicaux sont les inverses des puissances.
Les racines impaires ont une solution, tandis que les racines paires en ont deux.
Seuls les nombres positifs peuvent avoir leur racine carrée sans utiliser de nombres imaginaires.
Les nombres négatifs peuvent avoir leurs racines cubiques.
Connaître les racines carrées des carrés parfaits et les lois des exposants est très utile pour évaluer ou simplifier les expressions algébriques contenant des puissances et des racines.

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Questions fréquemment posées en Puissances Racines Et Radicaux

Qu'est-ce qu'une racine carrée?

Une racine carrée est un nombre qui, multiplié par lui-même, donne le nombre initial. Par exemple, la racine carrée de 16 est 4.

Comment simplifier une expression avec des puissances?

Pour simplifier une expression avec des puissances, combinez les termes similaires en additionnant ou soustrayant les exposants lorsqu'ils ont la même base.

Qu'est-ce qu'un radical en mathématiques?

Un radical est une expression qui inclut une racine (carrée, cubique, etc.). Par exemple, √25 est un radical.

Comment multiplier des radicaux?

Pour multiplier des radicaux, multipliez les nombres sous les racines et placez le résultat sous une seule racine. Par exemple, √2 * √3 = √6.

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