Contenu de l'apprentissage
Trouver des contenus d'apprentissage

Découvre les meilleurs supports d'apprentissage pour toutes les matières.

Resumes
Matières scolaires

Allemand

Anglais

Biologie

Chinois

Droit

Économie et gestion

Espagnol

Français

Géographie

Histoire

Informatique

Ingénierie

Italien

Marketing

Mathématiques

Physique-chimie

Psychologie

Science de l'environnement

Sciences combinées

Sciences économiques et sociales

Sciences politiques

Soins infirmiers
Fonctionnalités
Fonctionnalités

Inscris-toi gratuitement et découvre toutes les fonctionnalités de StudySmarter.

Flashcards

StudySmarter IA

Notes de cours

Planning de révision

Dossiers

Examens
Quelles sont les nouveautés ?

Flashcards
Apprends et crée des flashcards comme jamais auparavant.

StudySmarter AI
Tous tes documents d'apprentissage rassemblés en un seul endroit.

Notes de cours
Crée et édite les plus belles notes.

Planning de révision
Une organisation parfaite avec des plans d'apprentissage et des listes de to-do.
Ressources
Découvrir

Tous les conseils et astuces sur les études et la carrière.

Magazine

Faire carrière

App mobile
Nous présentons

Magazine
Des articles utiles pour les études et la carrière.

Faire carrière
Le plus grand site d'emploi pour les étudiants.

App mobile
Tout ce dont tu as besoin pour apprendre dans une app.

Trouver des contenus d'apprentissage

Fonctionnalités

Découvrir

Puissances fractionnaires

Sais-tu que les puissances ou les exposants peuvent ne pas être des nombres entiers mais des fractions ? Oui, les exposants existent aussi sous forme de fractions et nous allons en parler dans cet article.

C'est parti

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

1440.5 est 12

Afficer la réponse

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

1440.5 est 12

Afficer la réponse

Fact Checked Content
Last Updated: 01.01.1970
reading time:9 min

Content creation process designed by
Content cross-checked by
Content quality checked by

Dans cet article, nous verrons ce que sont les puissances de fractionsa>, ce que sont les puissances de fractionsa> négatives, leurs règles et des exemples d'application.

Qu'est-ce qu'une puissance d'exposant de fraction ?

Lespuissances de fractions ou exposants de fractions sont des expressions qui sont alimentées par des fractions et qui se présentent sous la forme ^xa/b.

Nous sommes plus familiers avec les exposants de nombres entiers de la forme ^xa. Le fait que x soit alimenté par a signifie que x est multiplié par lui-même une fois. Cependant, lorsqu'une fraction est une puissance ou un exposant, il se peut que tu trouves la racine de cette expression. Cela implique que pour un exposant fractionnaire comme ^x1/a, tu dois trouver la racine a de x;

$x^{\frac{1}{a}} = \sqrt[a]{x}$ .

Résous pour $27^{\frac{1}{3}}$ .

Solution

$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3 \times 3 \times 3} = 3$

Résous pour $32^{\frac{2}{5}}$

Solution

$32^{\frac{2}{5}} = {(\sqrt[5]{5})}^{2} = {(\sqrt[5]{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2})}^{2} = 2^{2} = 4$

Quelle est la puissance fractionnaire d'un nombre sous forme décimale ?

La puissance d'une fraction sous forme décimale est un exposant qui correspond à une fraction exprimée sous forme décimale. Elle se présente sous la forme ;

$x^{a . b}$ ,

où a et b sont deux chiffres séparés par un point décimal. Ils peuvent maintenant être ré-exprimés pour devenir ;

$a . b = \frac{a b}{10} x^{a . b} = x^{\frac{a b}{10}} x^{\frac{a b}{10}} = {(\sqrt[10]{x})}^{a b}$

Rappelle-toi que a et b sont les chiffres qui forment le nombre décimal a.b. Par exemple, si l'on considère le nombre décimal 3,2, a et b seraient respectivement 3 et 2. Voyons un exemple pour mieux clarifier cela.

Résous la question de $32^{0.2}$ .

Solution

$32^{0.2}$

Rappelle que ;

$x^{a . b} = x^{\frac{a b}{10}}$

Puis ;

$a = 0 a n d b = 2 32^{0.2} = 32^{\frac{02}{10}} = 32^{\frac{2}{10}} = 32^{\frac{^{1} 2}{^{5} 10}} = 32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32}$

En rappelant que $32 = 2^{5}$ , on a alors

$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2$

En conclusion,

$32^{0.2} = 2$

Que sont les puissances fractionnaires négatives ?

On parle de puissances fractionnaires négatives lorsqu'une expression a été augmentée d'une fraction négative. Cela se produit sous la forme ^x-a/b . Dans ce cas, la réciproque de l'expression est alimentée par la fraction. L'expression devient alors

$x^{- \frac{a}{b}} = \frac{1}{x^{\frac{a}{b}}}$ .

Ceci est conforme à la règle des exposants négatifs qui stipule que

$x^{- a} = \frac{1}{x^{a}}$ .

Les puissances fractionnaires négatives font partie des règles des puissances fractionnaires qui seront examinées ci-dessous.

Règles des puissances fractionnaires

Ces règles, une fois appliquées, te permettront de résoudre facilement les problèmes liés aux exposants fractionnaires. Cependant, avant de passer aux règles, note que les puissances fractionnaires sont définies par la forme

$x^{\frac{1}{a}} = \sqrt[a]{x}$

ainsi que

$x^{\frac{a}{b}} = {(x^{\frac{1}{b}})}^{a} x^{\frac{1}{b}} = \sqrt[b]{x} {(x^{\frac{1}{b}})}^{a} = {(\sqrt[b]{x})}^{a} x^{\frac{a}{b}} = {(\sqrt[b]{x})}^{a}$

En connaissant cette définition, il convient d'appliquer les règles suivantes.

Règle 1 : Lorsque la base, par exemple x, est alimentée par une fraction négative, par exemple $- \frac{a}{b}$ Si la base de x est alimentée par une fraction négative, trouve la racine b de x et l'alimente par a, puis trouve la réciproque du résultat.

$x^{- \frac{a}{b}} = \frac{1}{{(\sqrt[b]{x})}^{a}}$

$x^{- \frac{a}{b}} = \frac{1}{x^{\frac{a}{b}}} x^{\frac{a}{b}} = {(\sqrt[b]{x})}^{a} \frac{1}{x^{\frac{a}{b}}} = \frac{1}{{(\sqrt[b]{x})}^{a}} x^{- \frac{a}{b}} = \frac{1}{{(\sqrt[b]{x})}^{a}}$

Résoudre $32^{- \frac{2}{5}}$ .

Solution

En appliquant la règle 1,

$32^{- \frac{2}{5}} = \frac{1}{{(\sqrt[5]{5})}^{2}} = \frac{1}{{(\sqrt[5]{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2})}^{2}} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

Règle 2 : Lorsque la base est une fraction, par exemple $\frac{x}{y}$ , et qu'elle est complétée par une fraction négative, par exemple $- \frac{a}{b}$ trouve la racine b de $\frac{y}{x}$ et la puissance par a.

${(\frac{x}{y})}^{- \frac{a}{b}} = {(\sqrt[b]{\frac{y}{x}})}^{a}$

${(\frac{x}{y})}^{- \frac{a}{b}} = \frac{1}{{(\frac{x}{y})}^{\frac{a}{b}}} \frac{1}{{(\frac{x}{y})}^{\frac{a}{b}}} = {(\frac{y}{x})}^{\frac{a}{b}} {(\frac{y}{x})}^{\frac{a}{b}} = {(\sqrt[b]{\frac{y}{x}})}^{a} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{a}{b}} = {(\sqrt[b]{\frac{y}{x}})}^{a}$

Résoudre ${(\frac{64}{125})}^{- \frac{2}{3}}$

Solution

En appliquant la règle 2,

${(\frac{64}{125})}^{- \frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{\frac{125}{64}})}^{2} = {(\sqrt[3]{\frac{5 \times 5 \times 5}{4 \times 4 \times 4}})}^{2} = {(\frac{5}{4})}^{2} = \frac{25}{16} = 1 \frac{9}{16}$

Règle 3 : Lorsque le produit de deux ou plusieurs puissances fractionnaires dans ce cas, $\frac{1}{a}$ et $\frac{1}{b}$ ont la même base, dans ce cas x, trouve la racine ab de x et la puissance de la somme de b et a.

$x^{\frac{1}{a}} \times x^{\frac{1}{b}} = {(\sqrt[ab]{x})}^{(b + a)}$

$x^{\frac{1}{a}} \times x^{\frac{1}{b}} = x^{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})} x^{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})} = x^{(\frac{b + a}{a b})} x^{(\frac{b + a}{a b})} = {(\sqrt[a b]{x})}^{(b + a)} x^{\frac{1}{a}} \times x^{\frac{1}{b}} = {(\sqrt[ab]{x})}^{(b + a)}$

Résoudre $64^{\frac{1}{2}} \times 64^{\frac{1}{3}}$ .

Solution

En appliquant la règle 3,

$64^{\frac{1}{2}} \times 64^{\frac{1}{3}} = {(\sqrt[(2 \times 3)]{64})}^{(3 + 2)} = {(\sqrt[6]{64})}^{5} = {(\sqrt[6]{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2})}^{5} = 2^{5} = 32$

Règle 4 : Lorsque le produit de deux ou plusieurs puissances fractionnaires dans ce cas, $\frac{m}{a}$ et $\frac{n}{b}$ ont la même base, en l'occurrence x, trouve la racine ab de x et la puissance de la somme de bm et an.

$x^{\frac{m}{a}} \times x^{\frac{n}{b}} = {(\sqrt[ab]{x})}^{(bm + an)}$

$x^{\frac{m}{a}} \times x^{\frac{n}{b}} = x^{(\frac{m}{a} + \frac{n}{b})} x^{(\frac{m}{a} + \frac{n}{b})} = x^{(\frac{b m + a n}{a b})} x^{(\frac{b m + a n}{a b})} = {(\sqrt[a b]{x})}^{(b m + a n)} x^{\frac{m}{a}} \times x^{\frac{n}{b}} = {(\sqrt[ab]{x})}^{(bm + an)}$

Résoudre $64^{\frac{3}{2}} \times 64^{\frac{5}{3}}$

Solution

En appliquant la règle 4,

$64^{\frac{3}{2}} \times 64^{\frac{5}{3}} = {(\sqrt[(2 \times 3)]{64})}^{((3 \times 3) + (2 \times 5))} = {(\sqrt[6]{64})}^{(9 + 10)} = {(\sqrt[6]{64})}^{14} = {(\sqrt[6]{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2})}^{14} = 2^{14} = 16384$

Règle 5 : Lorsque le quotient de deux puissances fractionnaires unitaires dans ce cas, $\frac{1}{a}$ et $\frac{1}{b}$ ont la même base dans ce cas x, trouve la racine ab de x et la puissance par la différence de b et a.

$x^{\frac{1}{a}} \div x^{\frac{1}{b}} = {(\sqrt[ab]{x})}^{(b - a)}$

$x^{\frac{1}{a}} \div x^{\frac{1}{b}} = x^{(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})} x^{(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})} = x^{(\frac{b - a}{a b})} x^{(\frac{b - a}{a b})} = {(\sqrt[a b]{x})}^{(b - a)} x^{\frac{1}{a}} \div x^{\frac{1}{b}} = {(\sqrt[ab]{x})}^{(b - a)}$

Résoudre $64^{\frac{1}{2}} \div 64^{\frac{1}{3}}$

Solution

En appliquant la règle 5,

$64^{\frac{1}{2}} \div 64^{\frac{1}{3}} = {(\sqrt[(2 \times 3)]{64})}^{(3 - 2)} = {(\sqrt[6]{64})}^{1} = {(\sqrt[6]{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2})}^{1} = 2^{1} = 2$

Règle 6 : Lorsque le quotient de deux puissances fractionnaires dans ce cas, $\frac{m}{a}$ et $\frac{n}{b}$ ont la même base dans ce cas x, alors trouve la racine ab de x et la puissance par la différence de bm et an.

$x^{\frac{m}{a}} \div x^{\frac{n}{b}} = {(\sqrt[ab]{x})}^{(bm - an)}$

$x^{\frac{m}{a}} \div x^{\frac{n}{b}} = x^{(\frac{m}{a} - \frac{n}{b})} x^{(\frac{m}{a} - \frac{n}{b})} = x^{(\frac{b m - a n}{a b})} x^{(\frac{b m - a n}{a b})} = {(\sqrt[a b]{x})}^{(b m - a n)} x^{\frac{m}{a}} \div x^{\frac{n}{b}} = {(\sqrt[ab]{x})}^{(bm - an)}$

Résoudre $64^{\frac{7}{3}} \div 64^{\frac{3}{2}}$ .

Solution

En appliquant la règle 6,

$64^{\frac{7}{3}} \div 64^{\frac{3}{2}} = {(\sqrt[(3 \times 2)]{64})}^{((2 \times 7) - (3 \times 3))} = {(\sqrt[6]{64})}^{(14 - 9)} = {(\sqrt[6]{64})}^{5} = {(\sqrt[6]{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2})}^{5} = 2^{5} = 32$

Règle 7 : Lorsque le produit de deux puissances fractionnaires a des bases différentes, dans ce cas x et y, mais avec les mêmes puissances, dans ce cas $\frac{1}{a}$ alors trouve la racine a de xy.

$x^{\frac{1}{a}} \times y^{\frac{1}{a}} = \sqrt[a]{xy}$

$x^{\frac{1}{a}} \times y^{\frac{1}{a}} = {(x \times y)}^{\frac{1}{a}} {(x \times y)}^{\frac{1}{a}} = {(x y)}^{\frac{1}{a}} {(x y)}^{\frac{1}{a}} = \sqrt[a]{x y} x^{\frac{1}{a}} \times y^{\frac{1}{a}} = \sqrt[a]{xy}$

Résoudre $81^{\frac{1}{4}} \times 16^{\frac{1}{4}}$ .

Solution

En appliquant la règle 7,

$81^{\frac{1}{4}} \times 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81 \times 16} = \sqrt[4]{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = 3 \times 2 = 6$

Règle 8 : Lorsque le quotient de deux puissances fractionnaires a des bases différentes dans ce cas x et y, mais avec les mêmes puissances dans ce cas $\frac{1}{a}$ , alors trouve la racine a de $\frac{x}{y}$ .

$x^{\frac{1}{a}} \div y^{\frac{1}{a}} = \sqrt[a]{\frac{x}{y}}$

$x^{\frac{1}{a}} \div y^{\frac{1}{a}} = {(x \div y)}^{\frac{1}{a}} {(x \div y)}^{\frac{1}{a}} = {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{a}} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{a}} = \sqrt[a]{\frac{x}{y}} x^{\frac{1}{a}} \div y^{\frac{1}{a}} = \sqrt[a]{\frac{x}{y}}$

Résoudre $81^{\frac{1}{4}} \div 16^{\frac{1}{4}}$ .

Solution

En appliquant la règle 8,

$81^{\frac{1}{4}} \div 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \sqrt[4]{\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{2 \times 2 \times 2 \times 2}} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$

Résous les questions suivantes ;

a. ${(\frac{343}{y^{6}})}^{- \frac{2}{3}}$

b. $180^{\frac{1}{2}} \div 245^{\frac{1}{2}}$

c. $5^{\frac{1}{4}} \times 125^{\frac{1}{4}}$

Solution

${(\frac{343}{y^{6}})}^{- \frac{2}{3}}$

La première chose à faire est de voir si tu peux changer le nombre sous forme d'exposant (indices).

Note que ;

$343 = 7^{3}$

Par conséquent ;

${(\frac{343}{y^{6}})}^{- \frac{2}{3}} = {(\frac{7^{3}}{y^{6}})}^{- \frac{2}{3}}$

Rappelle que ;

${(\frac{x}{y})}^{- \frac{a}{b}} = = {(\sqrt[b]{\frac{y}{x}})}^{a}$

Alors ;

${(\frac{7^{3}}{y^{6}})}^{- \frac{2}{3}} = {(\frac{y^{6}}{7^{3}})}^{\frac{2}{3}} {(\frac{y^{6}}{7^{3}})}^{\frac{2}{3}} = \frac{y^{(6 \times \frac{2}{3})}}{7^{(3 \times \frac{2}{3})}} \frac{y^{(6 \times \frac{2}{3})}}{7^{3 \times \frac{2}{3}}} = \frac{y^{(^{2} 6 \times \frac{2}{^{1} 3})}}{7^{(^{1} 3 \times \frac{2}{^{1} 3})}} \frac{y^{(^{2} 6 \times \frac{2}{^{1} 3})}}{7^{(^{1} 3 \times \frac{2}{^{1} 3})}} = \frac{(y^{2 \times 2})}{7^{(1 \times 2)}} \frac{(y^{2 \times 2})}{7^{(1 \times 2)}} = \frac{y^{4}}{7^{2}}$

$180^{\frac{1}{2}} \div 245^{\frac{1}{2}}$

Rappelle que ;

$x^{\frac{1}{a}} \div y^{\frac{1}{a}} = \sqrt[a]{\frac{x}{y}}$

Alors ;

$180^{\frac{1}{2}} \div 245^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{\frac{180}{245}} \sqrt[2]{\frac{180}{245}} = \sqrt[]{\frac{180}{245}} \sqrt[]{\frac{180}{245}} = \sqrt{\frac{180 \div 5}{245 \div 5}} \sqrt{\frac{180 \div 5}{245 \div 5}} = \sqrt{\frac{36}{49}} \sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{6}{7}$

$5^{\frac{1}{4}} \times 125^{\frac{1}{4}}$

La première chose à faire est de voir si tu peux transformer le nombre sous forme d'exposant (indices).

Par conséquent ;

$125 = 5^{3} 5^{\frac{1}{4}} \times 125^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{4}} \times {(5^{3})}^{\frac{1}{4}} 5^{\frac{1}{4}} \times {(5^{3})}^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{4}} \times 5^{(3 \times \frac{1}{4})} 5^{\frac{1}{4}} \times 5^{(3 \times \frac{1}{4})} = 5^{\frac{1}{4}} \times 5^{\frac{3}{4}}$

Rappelle que ;

$x^{\frac{m}{a}} \times x^{\frac{n}{b}} = {(\sqrt[a b]{x})}^{(b m + a n)}$

Alors ;

$5^{\frac{1}{4}} \times 5^{\frac{3}{4}} = {(\sqrt[(4 \times 4)]{5})}^{((4 \times 1) + (4 \times 3)} {(\sqrt[(4 \times 4)]{5})}^{((4 \times 1) + (4 \times 3)} = {(\sqrt[16]{5})}^{16} {(\sqrt[16]{5})}^{16} = {(5^{\frac{1}{16}})}^{16} {(5^{\frac{1}{16}})}^{16} = 5^{(\frac{1}{16} \times 16)} 5^{(\frac{1}{16} \times 16)} = 5^{1} 5^{1} = 5$

ou tu peux résoudre directement à partir de ce point ;

$5^{\frac{1}{4}} \times 5^{(3 \times \frac{1}{4})} = 5^{\frac{1}{4}} \times 5^{\frac{3}{4}} 5^{\frac{1}{4}} \times 5^{\frac{3}{4}} = 5^{(\frac{1}{4} + \frac{3}{4})} 5^{(\frac{1}{4} + \frac{3}{4})} = 5^{\frac{4}{4}} 5^{\frac{4}{4}} = 5^{1} 5^{1} = 5$

Développement binomial pour les puissances fractionnaires

Comment se fait le développement binomial pour les puissances fractionnaires ?

Le développement binomial pour les puissances fractionnaires s'effectue simplement en appliquant la formule suivante.

${(1 + a)}^{n} = 1 + n a + \frac{n (n - 1)}{2!} a^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3!} a^{3} + \frac{n (n - 1) (n - 2) (n - 3)}{4!} a^{4} + . . .$

où n est la puissance ou l'exposant.

Résous les 4 premiers termes de ${(8 + 2 y)}^{\frac{1}{3}}$ .

Solution

${(8 + 2 y)}^{\frac{1}{3}}$

Assure-toi de factoriser ou de réexprimer l'expression en portant l'exposant pour qu'elle soit conforme à la forme ;

$(1 + a)$ .

Tu veux donc convertir (8 + 2y) en (1 + y). Pour cela, factorise 8 + 2y par 8. Tu auras alors

$(8 + 2 y) = = 8 (\frac{8}{8} + \frac{2 y}{8}) = 8 (1 + \frac{y}{4})$

Soit

$\frac{y}{4} = a$

Substitue dans l'équation

$(8 {(1 + a))}^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} {(1 + a)}^{\frac{1}{3}}$

Rappelant que $8^{\frac{1}{3}} = 2$ , on a alors

$8^{\frac{1}{3}} {(1 + a)}^{\frac{1}{3}} = 2 {(1 + a)}^{\frac{1}{3}}$

Rappelle que

${(1 + a)}^{n} = 1 + n a + \frac{n (n - 1)}{2!} a^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3!} a^{3} + \frac{n (n - 1) (n - 2) (n - 3)}{4!} a^{4} + . . .$

De plus, nous ne nous intéressons qu'aux 4 premiers termes, donc ;

$2 {(1 + a)}^{\frac{1}{3}} = 2 [1 + \frac{1}{3} a + \frac{\frac{1}{3} (\frac{1}{3} - 1)}{2!} a^{2} + \frac{\frac{1}{3} (\frac{1}{3} - 1) (\frac{1}{3} - 2)}{3!} a^{3} + . . .] = 2 [1 + \frac{1}{3} a - \frac{\frac{2}{9}}{2 \times 1} a^{2} + \frac{\frac{10}{27}}{3 \times 2 \times 1} a^{3} + . . .] = 2 [1 + \frac{1}{3} a - \frac{1}{9} a^{2} + \frac{5}{81} a^{3} + . . .]$

Substitue la valeur réelle de a comme ;

$a = \frac{y}{4}$

Par conséquent ;

$2 [1 + \frac{1}{3} a - \frac{1}{9} a^{2} + \frac{5}{81} a^{3} + . . .] = 2 [1 + \frac{1}{3} (\frac{y}{4}) - \frac{1}{9} {(\frac{y}{4})}^{2} + \frac{5}{81} {(\frac{y}{4})}^{3} + . . .] = 2 [1 + \frac{y}{12} - \frac{y^{2}}{144} + \frac{5 y^{3}}{324} + . . .] = 2 + \frac{y}{6} - \frac{y^{2}}{72} + \frac{5 y^{3}}{162} + . . .$

Et donc

${(8 + 2 y)}^{\frac{1}{3}} = 2 + \frac{y}{6} - \frac{y^{2}}{72} + \frac{5 y^{3}}{162} + . . .$

Autres exemples de calcul de puissances fractionnaires

Quelques exemples supplémentaires te permettraient de mieux comprendre les puissances fractionnaires.

Si la racine cubique d'un nombre est élevée au carré et que le résultat est 4, trouve ce nombre.

Solution

Le nombre inconnu est y. La racine cubique d'un nombre, y étant au carré et donnant 4, s'exprime donc comme suit ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2} = 4$ .

Note que

$x^{{(\frac{a}{b})}^{c}} = x^{\frac{a c}{b}}$

Dans ce cas

${(y^{\frac{1}{3}})}^{2} = 4 {(y^{\frac{1}{3}})}^{2} = y^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}} = 4$

Prends la réciproque des racines des deux côtés. La réciproque de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$ donc ;

$y^{\frac{2}{3}} = 4 {(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} y^{(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2})} = 4^{\frac{3}{2}}$

Rappelle que

$x^{\frac{a}{b}} = {(\sqrt[b]{x})}^{a}$

Donc ,

$y^{(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2})} = y^{(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2})} = y y = 4^{\frac{3}{2}} y = {(\sqrt[2]{4})}^{3} \sqrt{4} = 2 y = 2^{3} y = 8$

Puissances fractionnaires - Points clés à retenir

Les puissances fractionnaires ou exposants de fractions sont des expressions alimentées par des fractions et se présentant sous la forme ^xa/b.
On parle de puissance fractionnaire négative lorsqu'une expression est alimentée par une fraction négative.
Les règles des puissances fractionnaires, lorsqu'elles sont appliquées, te permettent de résoudre facilement les problèmes d'exposants fractionnaires.
L'expansion binomiale pour les puissances fractionnaires s'effectue simplement en appliquant la formule ;
${(1 + a)}^{n} = 1 + n a + \frac{n (n - 1)}{2!} a^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3!} a^{3} + \frac{n (n - 1) (n - 2) (n - 3)}{4!} a^{4} + . . .$

Fiches dans Puissances fractionnaires 1

Commence à apprendre

1440^.5 est 12

VRAI

S'inscrire avec un e-mail

Tu as déjà un compte ? Connecte-toi

Questions fréquemment posées en Puissances fractionnaires

Qu'est-ce qu'une puissance fractionnaire?

Une puissance fractionnaire est une expression de la forme a^(m/n) où a est la base et m/n est une fraction.

Comment calculer une puissance fractionnaire?

Pour calculer a^(m/n), on prend la racine n-ième de a puis on élève le résultat à la puissance m.

Pourquoi utilise-t-on les puissances fractionnaires?

Les puissances fractionnaires simplifient le calcul des racines et facilitent les manipulations algébriques.

Quelle est la différence entre une puissance entière et une puissance fractionnaire?

Une puissance entière utilise un exposant entier tandis qu'une puissance fractionnaire utilise un exposant sous forme de fraction.

Sauvegarder l'explication

Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

Lance-toi dans tes études

À propos de StudySmarter

StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.