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Une identité est une équation qui est toujours vraie pour toutes les valeurs de la variable. Nous utilisons le symbole \(\equiv\) au lieu de \(=\) dans une égalité pour montrer qu'il s'agit d'une identité. Nous utilisons également les termes côté gauche (LHS) et côté droit (RHS).
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Équipe enseignants Prouver une identité
\N[ x^3 - y^3 \Nequiv (x-y)(x^2+xy+y^2).\N]
Étape 1 : Considère un côté de l'expression.
Considère le côté droit de l'équation, \N((x-y)(x^2+xy+y^2) \N).
Étape 2 : Multiplie les expressions entre les parenthèses.
\N[ (x-y)(x^2+xy+y^2) \Nequiv x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3.\N].
Étape 3 : simplifie l'expression.
\N[ x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3 = x^3 - y^3 .\N]
Étape 4 : l'équation est maintenant prouvée.
Nous voyons que le résultat est équivalent à la LHS de l'équation. Par conséquent, l'identité
\[ x^3 - y^3 \equiv (x-y)(x^2+xy+y^2)\]
est prouvée comme LHS \(\equiv\) RHS.
Par exemple, \N(3x + 6 = 3 (x + 2) \N) est valable pour toutes les valeurs de \N(x). Cela signifie qu'il s'agit d'une identité et que nous pouvons donc écrire \N(3x + 6 = 3 (x + 2) \N).
Considérons l'équation \(x + 3 = 2x-5\).
Cette équation est valable pour des valeurs particulières de \N(x\N).
Lorsque \(x = 8\), cette équation est vraie. Cependant, cette équation n'est valable pour aucune autre valeur de \(x\) ; ce n'est donc pas une identité.
Voyons maintenant comment prouver une identité. Lorsque nous résolvons une équation, nous pouvons manipuler les termes d'un côté à l'autre. Cependant, nous ne pouvons pas le faire dans le cas d'une identité. Nous devons partir d'un côté de l'identité et travailler vers l'autre côté. Ce n'est qu'alors que nous pouvons dire que notre identité est prouvée.
Lorsque l'on examine une identité pour la première fois, il peut être judicieux de substituer certaines valeurs à l'identité pour vérifier que l'identité tient et que l'on comprend comment elle fonctionne. Cependant, cela ne signifie pas que l'identité est prouvée - nous ne pouvons pas vérifier une infinité de possibilités de nombres, et une valeur peut toujours ne pas fonctionner. Cela signifie que nous devons prouver sans équivoque que l'identité tient.
Démontrons ce point. Supposons que nous voulions vérifier si l'équation \(x^2 + 4x + 2 = 9x-4\) est une identité. Pour cela, nous devons montrer qu'elle fonctionne pour toutes les valeurs de \(x\).
Vérifions quelques valeurs. Vérifions \(x = 2\). Sur le côté gauche (LHS), nous obtenons \N(2^2 + 4 (2) + 2 = 14\), et de la même façon, sur le côté droit, nous obtenons également \N(14 = 9 (2) -4\). Cela signifie que nous n'avons pas encore prouvé l'identité, mais qu'elle n'est pas non plus réfutée.
Vérifions maintenant \(x = 3\). Sur la gauche, nous obtenons \N(3^2 + 4 (3) + 2 = 23\N), et nous obtenons \N(9 (3) -4 = 23\N) sur la droite. Jusqu'à présent, cela semble prometteur, car nous avons deux valeurs qui tiennent.
Maintenant, vérifions \(x = 0\). Du côté gauche, nous obtenons \N(2\N), alors que du côté droit, nous obtenons \N(-4\N), ce qui signifie que cela ne fonctionne pas et que ce n'est donc pas une identité. Cela montre que ce n'est pas parce que nous avons quelques cas qui fonctionnent que nous avons une preuve.
Pour toute identité, il existe de nombreuses façons de la prouver. Cependant, lorsque nous avons une identité, nous pouvons appliquer une série d'étapes pour la prouver.
Étape 1 : Choisis un côté de l'identité pour travailler. Ce doit être le côté qui semble le plus facile à manipuler.
Étape 2 : Essaie de manipuler ce côté. Algébriquement, cela ressemblera généralement à une multiplication ou à une factorisation.
Étape 3 : Essaie de simplifier cette expression, puis, si nécessaire, manipule-la davantage jusqu'à ce que ton expression originale soit la même que l'expression équivalente.
Étape 4 : L'identité est prouvée.
Considérons une identité algébrique pour mieux comprendre.
\N[ (x+y)(x-y) \Nequiv x^2 - y^2.\N]
Étape 1 : Considère un côté de l'expression.
Considère le côté gauche de l'équation, \N((x+y)(x-y) \N).
Étape 2 : Multiplie les expressions entre les crochets.
\N[ (x-y)(x+y) \Nequiv x^2 + xy - yx + y^2.\N]
Étape 3 : simplifie l'expression.
\[ x^2 + xy - yx + y^2 \equiv x^2 - y^2 .\]
Étape 4 : l'équation est maintenant prouvée.
Nous voyons que le résultat est équivalent à la LHS de l'équation. Par conséquent, l'identité
\[ (x+y)(x-y) \equiv x^2 - y^2.\]
est prouvée comme LHS \(\equiv\) RHS.
Prenons un autre exemple.
\N[ (x-y)^3 \Nequiv x^3 -3x^2y + 3xy^2 - y^3.\N]
Étape 1 : Considère un côté de l'expression.
Considère le côté gauche de l'équation, \N((x-y)^3 \N). Nous pouvons l'écrire comme \N( (x-y)(x-y)(x-y)\N).
Étape 2 : Multiplie les expressions entre les parenthèses.
\N- (x-y)^3 \Nequiv (x-y)(x-y)(x-y) \Nequiv x^3 - x^2y-2x^2y+2xy^2+xy^2-y^3.\N]
Étape 3 : simplifie l'expression.
\[ x^3 - x^2y-2x^2y+2xy^2+xy^2-y^3 \equiv x^3 -3x^2y + 3xy^2 - y^3 .\]
Étape 4 : l'équation est maintenant prouvée.
Nous voyons que le résultat est équivalent à la LHS de l'équation. Par conséquent, l'identité
\[ (x-y)^3 \equiv x^3 -3x^2y + 3xy^2 - y^3.\]
est prouvée comme LHS \(\equiv\) RHS.
\N[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \Nequiv (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\N]
Étape 1 : Considère un côté de l'expression.
Considère le côté droit de l'équation,
\N-(x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\N-(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\N]
Étape 2 : multiplie les expressions entre les parenthèses.
\\N- (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz) &\Nequiv x^3 + xy^2 + xz^2 - x^2y -xyz \N- &\N- (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz) \N- x^2z+x^2y +y^3+ yz^2 -xy^2 \N & \Nquad -y^2z - xyz + x^2z + x^2z + y^2z \N & \Nquad + z^3 -xyz - yz^2 - xz^2 . \N- [end{align}\N]
Étape 3 : simplifie l'expression.
\[ \N- &x^3 + xy^2 + xz^2 - x^2y -xyz \N- & \N- x^2z+x^2y +y^3+ yz^2 -xy^2 \N- & \N- & \Nquad -y^2z - xyz + x^2z + x^2z + y^2z \N & \Nquad + z^3 -xyz - yz^2 - xz^2 \N & \Nequiv x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz . \Nend{align} \]
Étape 4 : l'équation est maintenant prouvée.
Nous voyons que le résultat est équivalent à la LHS de l'équation. Par conséquent, l'identité
\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \equiv (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\]
est prouvé comme LHS \N(\Néquiv) RHS.
Comme pour toute identité, nous essayons de montrer que les deux côtés de l'identité sont équivalents. Nous suivons des étapes similaires à celles décrites ci-dessus.
Il est parfois difficile de décider par quel côté d'une identité commencer. À titre indicatif, le côté le plus compliqué est un bon début. Cela signifie qu'il devrait y avoir plus d'étapes possibles pour la réduire au côté le plus simple plutôt que d'ajouter des termes au côté le plus complexe.
Si tu es coincé, un bon principe consiste souvent à convertir chaque fonction trigonométrique en une combinaison de fonctions sinus et cosinus. Nous approfondirons ce sujet dans les identités trigonométriques, mais pour l'instant, examinons un exemple pour nous familiariser avec la méthode.
\[ \sec^2x - \csc^2x \equiv \tan^2x - cot^2x \]
étant donné que
\[ \sin^2x + \cos^2x = 1\]
pour toutes les valeurs de \(x\).
Commençons par manipuler le RHS. Par définition,
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \mbox { et } \cot x = \frac{1}{\tan x}, \]
donc
\[ \tan^2x - cot^2x \equiv \frac{ \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}.\]
Ensuite, en simplifiant en une fraction, nous obtenons
\[ \frac{ \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \equiv \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\cos^2 x \sin^2 x}. \]
Par la différence de deux carrés, on obtient
\[ \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x +\cos^2 x )}{\cos^2 x \sin^2 x} .\]
Nous pouvons maintenant utiliser l'identité que nous avons donnée, pour nous donner
\[ \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x +\cos^2 x )}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)}{\cos^2 x \sin^2 x} .\]
Nous pouvons maintenant diviser la fraction pour obtenir
\[ \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{\sin^2 x }{\cos^2 x \sin^2 x} - \frac{ \cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{1}{\cos^2 x } - \frac{1}{\sin^2 x } .\]
Nous pouvons maintenant utiliser la définition de la sécante et de la cosécante pour obtenir
\[\frac{1}{\cos^2 x } - \frac{1}{\sin^2 x } \equiv \tan^2x - cot^2x = \text{ LHS}.\]
L'identité est donc prouvée.
Une identité est une équation composée de variables qui est toujours vraie pour toutes les valeurs de la variable.
Pour prouver une identité, tu dois montrer que les deux côtés (côté gauche et côté droit) sont identiques en simplifiant les expressions. Tu dois suivre les étapes logiques pour montrer qu'un côté de l'équation peut être converti en l'autre côté de l'équation.
Pour prouver les identités, commence toujours par le côté complexe de l'équation car il est plus facile d'éliminer ou de décomposer les termes d'une fonction complexe pour la rendre simple que de trouver des termes pour rendre une fonction simple complexe.
Le signe \(\equiv\) signifie équivalent et apparaît dans les identités à la place du signe égal.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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