Prouver une identité

\N[ (x+y)(x-y) \Nequiv x^2 - y^2.\N]

Étape 1 : Considère un côté de l'expression.

Considère le côté gauche de l'équation, \N((x+y)(x-y) \N).

Étape 2 : Multiplie les expressions entre les crochets.

\N[ (x-y)(x+y) \Nequiv x^2 + xy - yx + y^2.\N]

Étape 3 : simplifie l'expression.

\[ x^2 + xy - yx + y^2 \equiv x^2 - y^2 .\]

Étape 4 : l'équation est maintenant prouvée.

Nous voyons que le résultat est équivalent à la LHS de l'équation. Par conséquent, l'identité

\[ (x+y)(x-y) \equiv x^2 - y^2.\]

est prouvée comme LHS \(\equiv\) RHS.

\N[ (x-y)^3 \Nequiv x^3 -3x^2y + 3xy^2 - y^3.\N]

Étape 1 : Considère un côté de l'expression.

Considère le côté gauche de l'équation, \N((x-y)^3 \N). Nous pouvons l'écrire comme \N( (x-y)(x-y)(x-y)\N).

Étape 2 : Multiplie les expressions entre les parenthèses.

\N- (x-y)^3 \Nequiv (x-y)(x-y)(x-y) \Nequiv x^3 - x^2y-2x^2y+2xy^2+xy^2-y^3.\N]

Étape 3 : simplifie l'expression.

\[ x^3 - x^2y-2x^2y+2xy^2+xy^2-y^3 \equiv x^3 -3x^2y + 3xy^2 - y^3 .\]

Étape 4 : l'équation est maintenant prouvée.

Nous voyons que le résultat est équivalent à la LHS de l'équation. Par conséquent, l'identité

\[ (x-y)^3 \equiv x^3 -3x^2y + 3xy^2 - y^3.\]

est prouvée comme LHS \(\equiv\) RHS.

\N[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \Nequiv (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\N]

Étape 1 : Considère un côté de l'expression.

Considère le côté droit de l'équation,

\N-(x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\N-(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\N]

Étape 2 : multiplie les expressions entre les parenthèses.

\\N- (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz) &\Nequiv x^3 + xy^2 + xz^2 - x^2y -xyz \N- &\N- (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz) \N- x^2z+x^2y +y^3+ yz^2 -xy^2 \N & \Nquad -y^2z - xyz + x^2z + x^2z + y^2z \N & \Nquad + z^3 -xyz - yz^2 - xz^2 . \N- [end{align}\N]

Étape 3 : simplifie l'expression.

\[ \N- &x^3 + xy^2 + xz^2 - x^2y -xyz \N- & \N- x^2z+x^2y +y^3+ yz^2 -xy^2 \N- & \N- & \Nquad -y^2z - xyz + x^2z + x^2z + y^2z \N & \Nquad + z^3 -xyz - yz^2 - xz^2 \N & \Nequiv x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz . \Nend{align} \]

Étape 4 : l'équation est maintenant prouvée.

Nous voyons que le résultat est équivalent à la LHS de l'équation. Par conséquent, l'identité

\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \equiv (x+y+x)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz).\]

est prouvé comme LHS \N(\Néquiv) RHS.

\[ \sec^2x - \csc^2x \equiv \tan^2x - cot^2x \]

étant donné que

\[ \sin^2x + \cos^2x = 1\]

pour toutes les valeurs de \(x\).

Commençons par manipuler le RHS. Par définition,

\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \mbox { et } \cot x = \frac{1}{\tan x}, \]

donc

\[ \tan^2x - cot^2x \equiv \frac{ \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}.\]

Ensuite, en simplifiant en une fraction, nous obtenons

\[ \frac{ \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \equiv \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\cos^2 x \sin^2 x}. \]

Par la différence de deux carrés, on obtient

\[ \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x +\cos^2 x )}{\cos^2 x \sin^2 x} .\]

Nous pouvons maintenant utiliser l'identité que nous avons donnée, pour nous donner

\[ \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x +\cos^2 x )}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)}{\cos^2 x \sin^2 x} .\]

Nous pouvons maintenant diviser la fraction pour obtenir

\[ \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{\sin^2 x }{\cos^2 x \sin^2 x} - \frac{ \cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \equiv \frac{1}{\cos^2 x } - \frac{1}{\sin^2 x } .\]

Nous pouvons maintenant utiliser la définition de la sécante et de la cosécante pour obtenir

\[\frac{1}{\cos^2 x } - \frac{1}{\sin^2 x } \equiv \tan^2x - cot^2x = \text{ LHS}.\]

L'identité est donc prouvée.