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Équipe enseignants Propriétés des exposants
Dans cet article, nous allons définir les exposants et leurs propriétés et plus encore.
Un exposant nous indique le nombre de fois qu'un nombre est multiplié par lui-même. Il est souvent considéré comme l'une ou l'autre des puissances.
L'exposant \(2^3\) montre que \(2\) se multiplie \(3\) fois :
\[2^3=2\times2\times2\]
Un exposant contient deux parties principales : la partie qui reste en haut s'appelle la puissance, et la partie qui se trouve en dessous et qui porte la puissance, s'appelle la base.
Dans \(5^7\), \(7\) est la puissance ou l'exposant tandis que \(5\) est la base.
Pour effectuer les opérations sur les exposants, certaines règles ont été établies pour te guider facilement.
La règle de multiplication ou de produit des exposants stipule que
Le produit de deux ou plusieurs nombres ayant la même base est égal à la base commune à la puissance de la somme des exposants
\[a^m\times a^n=a^{m+n}\]
Développe \(2^3\ fois 2^2\).
Solution :
\N- [2^3\Nfois 2^2=2^{3+2}=2^5\N].
Vérification
\N- 2^3\N- 2^2=(2\N- 2\N- 2\N- 2\N)\N- 2\N- (2\N- 2\N)=2^5\N]
Développe \(a^4\ fois a^6\).
Solution :
\[a^4+a^6=a^{4+6}=a^{10}\]
Vérification
\N- [a^4\times a^6=(a\times a\times a\times a)\N- (a\times a\times a\times a\times a\times a\times a)=a^{10}\N]
Développe \(2^3\times 3^3 \times 2^4\).
Solution :
\[2^3\times 3^3\times 2^4=(2^3\times 2^4)\times 3^3=2^{3+4}\times 3^3=2^7\times 3^3\]
La règle de division ou de quotient des exposants stipule que
Le quotient de deux ou plusieurs nombres ayant la même base est égal à la base commune à la puissance de la différence des exposants.
\[\dfrac{a^m}{a^n}=a^m\div a^n=a^{m-n}\]
Un quotient de deux ou plusieurs nombres ayant des bases différentes est égal à leur division directe,
\[a^m\div b^n=\dfrac{a^m}{b^n}\]
Simplifie \)\dfrac{2^3}{2}\).
Solution :
\[\dfrac{2^3}{2}=2^{3-1}=2^2\]
Vérification
\[\N- \Ndfrac{2^3}{2}=\Ndfrac{2\Nfois 2\Nfois 2}{2}=2\Nfois 2=2^2}]
Simplifie \(\dfrac{b^7}{b^3}\).
Solution :
\[\dfrac{b^7}{b^3}=b^{7-3}=b^4\]
Vérification
\[\dfrac{b^7}{b^3}=\dfrac{b\times b\times b\times b\times b\times b\times b}{b\times b\times b}=b\times b\times b\times b=b^4\]
Simplifie \(\dfrac{2^5\times 3^7}{3^4}\).
Solution :
\[\dfrac{2^5\times 3^7}{3^7}=2^5\times \dfrac{3^7}{3^4}=2^5\times 3^{7-4}=2^5\times 3^3\].
La règle de l'exposant nul ou zéro stipule que
Tout nombre non nul élevé à l'exposant de \N(0\N) est égal à \N(1\N). Autrement dit, pour tout \(a\neq 0\), nous avons \(a^0=1\).
En utilisant la règle de division des exposants, pour tout \N(a\Nneq 0\N), nous avons
\[\dfrac{a}{a}=a^{1-1}=a^0\]
D'autre part, nous avons \(\dfrac{a}{a}=1\), donc
\[\dfrac{a}{a}=a^{1-1}=a^0=1\]
a. \(2^0\)
b. \(-2^0\)
c. \((-2)^0\)
Solution :
a. Tout ce qui est à la puissance de \(0\) est égal à \(1\). Nous avons donc
\[2^0=1\]
b. Ici, la base est \N(2\N), avec \N(-1\N) multiplié devant. Cela donne
\[\begin{align}-2^0&=-1\times 2^0=\\&=-1\times 1=\\&=-1\end{align}\]
c. Ici, la base est \(-2\), et toute puissance de \(0\) est égale à \(1\). Cela devient
\[(-2)^0=1\]
Note l'importance des parenthèses dans les exemples ci-dessus : \(b\) et \(c\).
La propriété de l'exposant négatif stipule que
Une base avec un exposant négatif est égale à la réciproque de la base élevée à l'opposé de l'exposant.
C'est-à-dire que pour chaque \(a\neq 0\), nous avons
\[a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}\]
Pour tout \(a\neq 0\), nous avons \(a^{-m}=a^{0-m}=\dfrac{a^0}{a^m}=\dfrac{1}{a^m}\).
\[2^{-1}=\dfrac{1}{2}\]
\[9^{-3}=\left(\dfrac{1}{9}\right)^3\]
\[6^{-5}=\left(\dfrac{1}{6}\right)^5\]
Un nombre élevé à l'exposant d'une fraction est égal à la racine de la base du dénominateur élevée à l'exposant du numérateur, c'est-à-dire \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\).
En particulier, \(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).
Trouve la valeur des expressions suivantes.
a. \(125^{\frac{1}{3}}\)
b. \(2^{\frac{4}{3}}\)
c. \(16^{-\frac{3}{2}}\)
Solution :
a. La première étape consiste à exprimer \(125\) en tant que produit de ses facteurs premiers,
\[125=5\times 5\times 5=5^3\]
Nous avons donc ,
\[125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^3}=5\]
b.
\[2^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{16}\]
c. Il y a deux façons de résoudre cette question et toutes deux impliquent l'utilisation de la règle de l'exposant fractionnaire et de la règle de l'exposant négatif.
Tout d'abord, utilise la règle de l'exposant fractionnaire.
\[\begin{align}16^{-\frac{3}{2}}&=\left(\sqrt[2]{16}\right)^{-3}=\\&=(4)^{-3}\end{align}\]
A partir de là, nous utilisons la règle de l'exposant négatif
\[\begin{align}(4)^{-3}&=\dfrac{1}{4^3}=\\&=\dfrac{1}{64}\end{align}\]
En la résolvant d'une autre manière, tu utiliseras d'abord la règle des exposants négatifs.
\[16^{-\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\]
Nous allons maintenant utiliser la règle des exposants fractionnaires pour le dénominateur.
\[\begin{align}\dfrac{1}{16^{\frac{3}{2}}}&=\dfrac{1}{\left(\sqrt[2]{16}\right)^3}=\\&=\dfrac{1}{4^3}=\\&=\dfrac{1}{64}\end{align}\]
Tu obtiens la même réponse !
La propriété de la puissance d'un produit stipule que
Lorsqu'un produit de deux nombres est élevé à une puissance, la réponse obtenue est égale au produit de chaque nombre portant cet exposant séparément.
En d'autres termes, le produit de deux nombres différents ayant le même exposant est égal au produit de chacun de ces nombres élevé à son exposant, soit
\N-(ab)^m=a^m\Nfois b^m\N]
On remarque que
\N-(ab)^m=a^m\Nfois b^m=b^m\Nfois a^m=(ba)^m\N]
Vérifie que \(6^3=2^3 fois 3^3\).
Solution :
Méthode 1
D'une part, nous avons : \(6^3=6\times 6\times 6=216\).
D'autre part, \(2^3\times 3^3=8\times 27=216\).
Par conséquent, \(6^3=2^3\times 3^3\).
Méthode 2
\N- 6^3=(2\Nfois 3)^2=2^3\Nfois 3^3\N]
La propriété de la puissance d'un quotient stipule que
Lorsqu'un quotient de deux nombres est élevé à une puissance, la réponse obtenue est égale au quotient de chaque nombre portant cet exposant séparément
En d'autres termes, le quotient de deux nombres différents ayant le même exposant est égal au quotient de chacun de ces nombres élevé à son exposant, soit
\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}\]
Vérifie que \(2^3=\dfrac{6^3}{3^3}\).
Solution :
Méthode 1
Pour commencer,
\[2^3=2\times 2\times 2=8\]
Aussi,
\[\begin{align}\dfrac{6^3}{3^3}&=\dfrac{6\times 6\times 6}{3\times 3\times 3}=\\\\&]=\dfrac{^2\cancel{6}\times ^2\cancel{6}\times ^2\cancel{6}}{^1\cancel{3}\times ^1\cancel{3}\times ^1\cancel{3}}=\\\\&= 2\times 2\times 2=\\\\&=8\end{align}\]
Cela implique que
\[2^3=\dfrac{6^3}{3^3}\]
Méthode 2
Applique la propriété du quotient ;
\[\begin{align}\dfrac{6^3}{3^3}&=\left(\dfrac{6}{3}\right)^3=\\&=2^3=\\&=8\end{align}\]
Par conséquent ;
\[2^3=\dfrac{6^3}{3^3}\]
Un nombre élevé à un exposant est élevé à un autre exposant est égal au nombre élevé au produit des exposants, c'est-à-dire
\[\N- gauche(a^m\droite)^n=a^{m\Nfois n}=a^{mn}=a^{nm}=a^{n\Nfois m}=\N- gauche(a^n\Ndroite)^m\]
Vérifie que \N(\Nà gauche(2^3\Nà droite)^2=2^6\N).
Solution :
Méthode 1
D'une part, nous avons
\N- [2^3=2\Nfois 2\Nfois 2=8\N]
Donc
\[\left(2^3\right)^2=8^2=64\]
D'autre part,
\N-[2^6=2^{3+3}=2^3\Nfois 2^3=8\Nfois 8=64\N].
Ainsi ,
\[\left(2^3\right)^2=2^6=64\]
Méthode 2
\[\left(2^3\right)^2=2^{3\times 2}=2^6=64\]
Calcule les éléments suivants sans utiliser de calculatrice.
a. \((-3x^3y^2)(2x^6y^5)\)
b. \((2b)^{-4}\)
c. \(\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}\)d. \N-(81^{\frac{3}{4}}\N)
e. \(\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}\)
Solution :
a. Pour l'expression,
\[(-3x^3y^2)(2x^6y^5)\]
Nous les exprimons sous forme de produits séparés,
\[(-3x^3y^2)(2x^6y^5)=(-3\times x^3\times y^2)\time (2\times x^6\times y^5)\]
Nous développons les parenthèses,
\[(-3x^3y^2)(2x^6y^5)=-3\times x^3\times y^2\times 2\times x^6\times y^5\].
Ensuite, nous réunissons les termes semblables,
\N-(-3x^3y^2)(2x^6y^5)&=-3\times 2\times x^3\times x^6\times y^2\times y^5=\\N&.=-6\times \left(x^{3+6}\right)\times\left(y^{2+5}\right)=\\&=-6\times x^9\times y^7=\\&=-6x^9y^7\end{align}\]
b. Pour l'expression,
\[(2b)^{-4}\]
On se débarrasse d'abord de l'exposant négatif, on applique la règle de la réciproque,
\[(2b)^{-4}=\dfrac{1}{(2b)^4}=\dfrac{1}{2^4b^4}=\dfrac{1}{16b^4}\] xml-ph-0000@deepl.internal c. Pour l'expression,
\[\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}\]
Pour se débarrasser de l'exposant négatif, nous appliquons la règle de la réciproque,
\[\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3x^3}{-6x^6}\right)^2\]
Nous divisons ensuite les termes similaires de l'expression entre crochets,
\[\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3x^3}{-6x^6}\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}\left(x^{3-6}\right)\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}x^{-3}\right)^2\]
Ensuite, nous distribuons l'exposant \(2\) au produit à l'intérieur de la parenthèse pour obtenir,
\[\begin{align}\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}=\left(-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x^3}\right)^2=\\&=\left(-\dfrac{1}{2x^3}\right)^2=\\&=\dfrac{(-1)^2}{(2x^3)^2}=\\&=\dfrac{1}{2^2(x^3)^2}=\\&=\dfrac{1}{4x^6}\end{align}\]
d. Pour l'expression,
\[81^{\frac{3}{4}}\]
nous rappelons d'abord la règle de l'exposant de la fraction,
\[81^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{81}\right)^3=\sqrt[4]{81^3}\]
Mais
\[81=9^2=\left(3^2\right)^2=3^4\]
D'où
\[81^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{81^3}=\sqrt[4]{\left(3^4\right)^3}=\sqrt[4]{\left(3^3\right)^4}=3^3\]
Nous pouvons voir d'une autre manière, nous rappelons que,
\[\left(a^m\right)=a^{mn}\]
Ainsi ,
\[81^{\frac{3}{4}}=\left(3^4\right)^{\frac{3}{4}}=3^{4\times \frac{3}{4}}=3^3\]
e. Pour l'expression,
\[\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}\]
Nous développons d'abord le numérateur,
\[\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}=\dfrac{-12\times m^4\times n^3\times m^3\times n^2}{36m^7n^5}\].
Nous réunissons ensuite les termes similaires pour obtenir
\[\begin{align}\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}&=\dfrac{-12\times m^4\times m^3\times n^3\times n^2}{36m^7n^5}=\\&=\dfrac{-12\times m^{4+3}\times n^{3+2}{36m^7n^5}=\\&=\dfrac{-12\times m^7\times n^5}{36m^7n^5}=\\&=\dfrac{-12\times m^7\times n^5}{36\times m^7\times n^5}\N-nd{align}\]
Nous divisons ensuite les termes semblables pour obtenir,
\[\begin{align}\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}&=\left(\dfrac{-12}{36}\right)\times \left(\dfrac{m^7}{m^7}\right)\times\left(\dfrac{n^5}{n^5}\right)=\\&=\left(-\dfrac{1}{3}\right)\times m^{7-7}\times n^{5-5}=\\&=\left(-\dfrac{1}{3}\right)\times m^0\times n^0\end{align}\]
Nous rappelons que tout nombre non nul élevé à l'exposant \(0\) est \(1\), nous obtenons donc\[\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)\times 1\times 1=-\dfrac{1}{3}\]
Simplifie l'expression \(\dfrac{m^{\frac{3}{4}}\times n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}\times n^{-\frac{3}{2}}}\).
Résoudre lorsque \(m= 16\) et \(n= 3\).
Solution :
\[\begin{align}\dfrac{m^{\frac{3}{4}}\times n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}\times n^{-\frac{3}{2}}}&=\dfrac{m^{\frac{3}{4}}}{m^{\frac{1}{2}}}\times \dfrac{n^{\frac{1}{2}}}{n^{-\frac{3}{2}}}=\\&=\left(m^{\frac{3}{4}}\div m^{\frac{1}{2}}\right)\times \left(n^{\frac{1}{2}}\div n^{-\frac{3}{2}}\right)=\\&=m^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}\times n^{\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)}=\\&=m^{\frac{1}{4}}\times n^2\end{align}\]
Substitue la valeur de \(m\) par \(16\) et \(n\) par \(3\) dans l'expression ;
\[\begin{align}m^{\frac{1}{4}}\times n^2&=16^{\frac{1}{4}}\times 3^2=\\&=\left(2^4\right)^{\frac{1}{4}}\times 3^2=\\&=2^{4\times \frac{1}{4}}\times 3^2=\\&=2\times 9=\&=18\end{align}\]
La façon dont les nombres sont couramment écrits est appelée notation standard. Cependant, la notation scientifique représente les chiffres en utilisant le format,
\N[q\Nfois 10^p\Nquad\Ntexte{pour}\Nquad 1\Nleq q < 10\N]
avec \(p\) étant un nombre entier.
Convertis \(38 000 000 000\) mètres par seconde en notation scientifique.
Solution :
La première étape consiste à compter de ta gauche vers la droite. Nous avons le nombre \(38 000 000 000\).
Nous avons \N(38\N) et \N(9\N) zéros à sa droite.
Rappelons la notation scientifique,
\N- [q\N fois 10^p\N]
\N- [1\Nleq q<10\N]
où \(p\) est un nombre entier. Ainsi
\N- 38 000 000 000=38\Nfois 10^9\N]
Maintenant, \N(38\N) doit également être écrit comme \N(q\Nfois 10^p\N). Ainsi ,
\N- 38=3,8 fois 10\N]
Maintenant, nous remplaçons l'expression initiale pour obtenir ,
\N- [38 000 000 000=3.8\Ntimes 10\Ntimes 10^9=3.8\Ntimes 10^{10}\N]
La longueur et le pain d'une marque rectangulaire sont respectivement \(2\, \text{mm}\) et \(6\, \text{mm}\), calcule le périmètre en kilomètres en laissant ta réponse sous forme standard.
Solution :
Le périmètre d'un rectangle est donné par
\[\begin{align}\text{Perimeter of the mark}&=2\times\left(\text{length}+\text{breadth}\right)=\\&=2\times\left(2\,\text{mm}+6\,\text{mm}\right)=\\&=2\times 8\,\text{mm}=\\&=16\,\text{mm}\end{align}\]
Rappelons que ;
\N- [1000\N,\Ntext{m}=1\Ntext{km}\N]
\N- [100\text{ cm}=1\text{ m}\N]
\N- [10\text{ mm}=1\text{ cm}\N]
\N- [100\N- fois 10\N-{ mm}=1\N-{ m}]
\N- [1000\N- 100\N- 10\N- \N-{ mm}=1\N-{ km}}]
\[1\times 10^6\text{ mm}=1\text{ km}\]
\[\dfrac{1\times 10^6\text{ mm}{10^6}=\dfrac{1\text{ km}}{10^6}\]
\[\dfrac{1\times \cancel{10^6}\text{ mm}{\cancel{10^6}}=\dfrac{1\text{ km}}{10^6}\]
\[1\text{ mm}=\dfrac{1}{10^6}\text{ km}\]
Rappelons que ;
\[a^{-1}=\dfrac{1}{a}\]
Ainsi ;
\[\dfrac{1}{10^6}=10^{-6}\]
Cela signifie que ;
\[1\text{ mm}=10^{-6}\text{ km}\]
Convertit donc \(16\text{ mm}\) en \(\text{km}\) ;
\N- [1\text{ mm}=10^{-6}\text{ km}\N]
\[1\text{ mm}\times 16=10^{-6}\text{ km}\times 16\]
\N-[16\text{ mm}=16\\Nfois 10^{-6}\text{ km}\N]
Maintenant, \N(16\N) doit être écrit comme \N(q\Nfois 10^p\N) également. Ainsi ,
\N- [16=1.6\N fois 10\N]
Maintenant, nous le remplaçons dans l'expression initiale pour obtenir ;
\N-[\N-{align}16\Ntimes 10^{-6}\text{ km}&=1.6\Ntimes 10\Ntimes 10^{-6}\text{ km}=\N&=1.6\N- 10^1\N- 10^{-6}\text{ km}=\\N&=1.6\N- 10^{-6+1}\text{ km}=\N&=1.6\N- 10^{-5}\text{ km}\Nend{align}\N]
\[\text{Périmètre de la marque}=1.6\times 10^{-5}\text{ km}\]
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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