Produits spéciaux: Mathématiques, Histoire

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Un produit spécial est un produit de deux binômes qui présentent un schéma prévisible.

Avant de nous plonger dans ce sujet, faisons un bref rappel de la méthode FOIL et de son application à la multiplication des binômes.

Rappel sur la méthode FOIL

Comme nous l'avons vu précédemment, nous pouvons utiliser la méthode FOIL pour multiplier des binômes. Rafraîchissons-nous la mémoire ! La formule de la méthode FOIL est la suivante :

Considère maintenant les exemples suivants.

Utilise la méthode FOIL pour trouver les produits des expressions ci-dessous.

$\begin{array}{ll} 1 . (x - 1) (x + 1) & 2 . (2 x + 4) (2 x - 4) \\ 3 . {(3 x + 2)}^{2} & 4 . {(x + 9)}^{2} \\ 5 . {(x - 4)}^{2} & 6 . {(4 x - 5)}^{2} \end{array}$

Vois-tu des régularités lorsque tu développes ces expressions ?

Remarque que dans les questions 1 et 2, le terme du milieu disparaît lorsque nous avons le produit de la somme et de la différence des deux termes. Dans les questions 3, 4, 5 et 6, le terme du milieu est le double du produit des termes du binôme.

Ces modèles sont des exemples de produits spéciaux. Ces types de produits ne nécessitent pas de longs travaux lors de leur résolution car ils ont des règles spécifiques que nous pouvons suivre. De tels raccourcis sont toujours utiles ! L'utilisation de produits spéciaux peut nous aider à développer et à factoriser des polynômes de manière plus efficace en reconnaissant le modèle que chaque méthode contient. Voici nos objectifs d'apprentissage pour ce sujet.

Identifier les modèles trouvés dans les produits spéciaux
Utiliser ces modèles pour développer et factoriser les polynômes
Résoudre des polynômes à l'aide de ces méthodes de factorisation.

Dans le segment suivant, nous examinerons chaque type de motif tour à tour. Trois types nous seront présentés, à savoir

Différence entre deux carrés
Trinômes de carrés parfaits
Somme et différence de deux cubes

À partir de là, nous utiliserons ces méthodes pour résoudre des polynômes comme nous l'avons fait dans la section précédente.

Formule de la somme et de la différence

La formule générale de la somme et de la différence de deux termes est la suivante

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

Le modèle nous donne la différence entre les deux carrés.

Représentation géométrique

L'énoncé ci-dessus peut sembler quelque peu confus. Pour nous aider à comprendre ce que cela signifie, essayons de visualiser ce modèle géométriquement. Observe le carré ci-dessous.

Ici, le grand carré a une surface de $a^{2}$ et le carré violet a une surface de $b^{2}$ . Ainsi , la surface de la région orange est la surface du grand carré moins la surface du carré violet, $a^{2} - b^{2}$ . Nous avons donc prouvé le côté droit de la formule de la somme et de la différence.

Pour montrer le résultat du côté gauche, nous commençons par tracer une ligne horizontale en pointillés comme indiqué dans le diagramme ci-dessus. Cela crée un segment qui sépare la région orange en deux rectangles. Nous allons ensuite déplacer ce nouveau segment vers le côté gauche, comme indiqué ci-dessous. Pour plus de clarté, ce nouveau segment est représenté par la couleur rouge.

Nous devons maintenant trouver la surface de la région orange et la surface de la région rouge. Ici, nous voyons que la longueur horizontale de ces deux régions est de $a + b$ tandis que la longueur verticale est $a - b$ . Ainsi, la surface combinée du rectangle orange et du rectangle rouge est de $(a + b) (a - b)$ , ce qui satisfait le côté gauche de la formule de la somme et de la différence.

Exemples pratiques

Examinons les exemples pratiques suivants.

Développe les termes suivants.

$1 . (5 x + 4) (5 x - 4) 2 . (3 x + 7) (3 x - 7)$

Solutions

1. Ici, a = 5x et b = 4, donc

(5 x + 4) (5 x - 4) = {(5 x)}^{2} - {(4)}^{2} = 25 x^{2} - 16

2. Ici, a = 3x et b = 7, donc

(3 x + 7) (3 x - 7) = {(3 x)}^{2} - {(7)}^{2} = 9 x^{2} - 49

Factorise les expressions suivantes.

$1 . x^{2} - 4 2 . 4 x^{2} - 36$

Solutions

1. Puisque

{(a)}^{2} = {(x)}^{2} = x^{2} a n d {(b)}^{2} = {(2)}^{2} = 4

Alors

x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)

2. Puisque

{(a)}^{2} = {(2 x)}^{2} = 4 x^{2} a n d {(b)}^{2} = {(6)}^{2} = 36

Alors

4 x^{2} - 36 = (2 x + 6) (2 x - 6)

Note que tu ne peux pas factoriser la somme de deux carrés, c'est-à-dire ^a2 + ^b2. Tu peux essayer de le faire avec l'exemple suivant : ^9x2 + 16. Tu remarqueras qu'il est impossible de factoriser cette expression.

Par conséquent, la différence entre deux carrés peut être factorisée comme la somme et la différence de deux termes. Utilisons maintenant ce modèle pour résoudre des polynômes. Pour trouver les solutions d'un polynôme, nous devons mettre l'équation à zéro et appliquer la propriété du produit nul, comme nous l'avons vu dans la leçon sur la factorisation des polynômes.

Rappelle que la propriété du produit nul stipule que si a x b = 0, alors a = 0 ou b = 0 (ou à la fois a = 0, b = 0).

Nous reviendrons sur les deux derniers exemples pour le démontrer.

Résoudre

$1 . x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2) = 0 2 . 4 x^{2} - 36 = (2 x + 6) (2 x - 6) = 0$

Solutions

1. Nous avons obtenu que $x + 2 = 0$ et $x - 2 = 0$ . Nous avons donc deux racines réelles distinctes :

x = - 2 a n d x = 2

2. Nous avons trouvé que $2 x + 6 = 0$ et $2 x - 6 = 0$ . Nous avons donc deux racines réelles distinctes :

x = - 3 a n d x = 3

Carré d'un binôme

Le carré d'un binôme peut prendre deux formes

$C a s e 1 : {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} C a s e 2 : {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Dans les deux cas, le terme du milieu est le double du produit des termes du binôme. Cependant, dans le cas 1, nous avons un terme positif tandis que dans le cas 2, nous avons un terme négatif. Pour ces cas, le modèle donne un trinôme carré parfait.

Représentation géométrique

Qu'est-ce que cela signifie d'un point de vue géométrique ? Pour plus de clarté, définissons les termes suivants.

Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un nombre entier. Par exemple, $2^{2} = 4, 3^{2} = 9, 4^{2} = 16$ et ainsi de suite.

Un trinôme est un polynôme à trois termes.

Un binôme est un polynôme à deux termes.

Un trinôme à carré parfait est un trinôme qui peut s'écrire comme le carré d'un binôme comme les deux cas ci-dessus.

Maintenant, observe le carré suivant.

En regardant le diagramme ci-dessus, nous pouvons voir que le grand carré a une aire de $(a + b) (a + b) = {(a + b)}^{2}$ . Celle-ci est composée de l'aire des carrés rouge et vert et de l'aire des deux rectangles orange identiques. En les additionnant, on obtient $a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ . Nous avons donc déduit le premier cas.

Le même concept s'applique au deuxième cas. Dans ce cas, nous voulons seulement l'aire du carré vert et l'aire du carré rouge qui est $a^{2} + b^{2}$ . Ici, nous soustrayons essentiellement l'aire des deux rectangles orange identiques de l'aire des carrés vert et rouge comme suit $a^{2} - a b - a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ . En factorisant le côté gauche de cette équation par regroupement, nous obtenons

$a^{2} - a b - a b + b^{2} = a (a - b) - b (a - b) = (a - b) (a - b) = {(a - b)}^{2}$

comme il se doit.

Exemples pratiques

Lorsque tu factorises des polynômes susceptibles de présenter ce schéma, n'oublie pas de vérifier le terme du milieu pour t'assurer qu'il répond aux critères des cas 1 ou 2. Voici quelques exemples pratiques de ce schéma.

Développe les termes suivants.

$1 . {(x + 2)}^{2} 2 . {(4 x - 3)}^{2}$

Solutions

1. Ici, $a = x$ et $b = 2$ , donc

{(x + 2)}^{2} = x^{2} + 2 (x) (2) + 2^{2} = x^{2} + 4 x + 4

2. Ici, $a = 4 x$ et $b = 3$ , donc

{(4 x - 3)}^{2} = {(4 x)}^{2} - 2 (4 x) (3) + 3^{2} = 16 x^{2} - 24 x + 9

Factorise les expressions suivantes.

$1 . x^{2} + 10 x + 25 2 . x^{2} - 14 x + 49$

Solutions

1. Puisque

{(a)}^{2} = {(x)}^{2} = x^{2} a n d {(b)}^{2} = {(5)}^{2} = 25

Donc

2 a b = 2 (x) (5) = 10 x

Donc,

x^{2} + 10 x + 25 = {(x + 5)}^{2}

2. Puisque

{(a)}^{2} = {(x)}^{2} = x^{2} a n d {(b)}^{2} = {(7)}^{2} = 49

Donc

2 a b = 2 (x) (7) = 14 x

Donc ,

x^{2} - 14 x + 49 = {(x - 7)}^{2}

Ainsi, nous pouvons factoriser un trinôme carré parfait par le carré d'un binôme. Encore une fois, utilisons ce schéma pour résoudre quelques polynômes. Pour plus de simplicité, nous reviendrons à nos deux derniers exemples pour le démontrer.

Résoudre

$1 . x^{2} + 10 x + 25 = {(x + 5)}^{2} = 0 2 . x^{2} - 14 x + 49 = {(x - 7)}^{2} = 0$

Solutions

1. Nous avons obtenu que $x + 5 = 0$ . Nous avons donc une solution qui est une racine réelle répétée :

$x = - 5$

2. Nous avons obtenu que $x - 7 = 0$ . Nous avons donc une solution qui est une racine réelle répétée :

x = 7

Somme et différence de deux cubes

Pour factoriser la somme de deux cubes, nous pouvons le faire en appliquant la formule générale ci-dessous :

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ .

Voici quelques exemples pratiques pour le démontrer :

Factorise les expressions suivantes.

$1 . x^{3} + 125 2 . 8 x^{3} + 1$

Solutions

1. Ici

{(a)}^{3} = {(x)}^{3} = x^{3} a n d {(b)}^{3} = {(5)}^{3} = 125

En factorisant cette expression, on obtient

x^{3} + 125 = (x + 5) (x^{2} - (x) (5) + 5^{2}) = (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)

2. Ici

{(a)}^{3} = {(2 x)}^{3} = 8 x^{3} a n d {(b)}^{3} = {(1)}^{3} = 1

En factorisant cela, on obtient

8 x^{3} + 1 = (2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) (1) + 1^{2}) = (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)

Pour factoriser la différence entre deux cubes, on peut utiliser la formule générale suivante :

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ .

Voyons quelques exemples pratiques de cette formule :

Factorise les expressions suivantes.

$1 . 27 x^{3} - 8 2 . x^{3} - 64$

Solutions

1. Ici,

{(a)}^{3} = {(3 x)}^{3} = 27 x^{3} a n d {(b)}^{3} = {(2)}^{3} = 8

La forme factorisée est donc

27 x^{3} - 8 = (3 x - 2) ({(3 x)}^{2} + (3 x) (2) + 2^{2}) = (3 x - 2) (9 x^{2} + 6 x + 4)

2. Ici,

{(a)}^{3} = {(x)}^{3} = x^{3} a n d {(b)}^{3} = {(4)}^{3} = 64

La forme factorisée est donc

x^{3} - 64 = (x - 4) (x^{2} + (x) (4) + 4^{2}) = (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)

Conseil : il peut être utile d'identifier tes termes a et b avant de factoriser de telles expressions pour éviter toute confusion.

Nous savons maintenant comment factoriser la somme et la différence de deux cubes. Une fois de plus, nous allons tenter de résoudre des polynômes à l'aide de cette méthode. Dans ce cas, remarque que nous avons une expression binomiale et un trinôme quadratique lorsque nous factorisons à la fois la somme et la différence des cubes.

Déterminer la solution à partir de l'expression binomiale est en effet simple. Cependant, ce n'est pas le cas pour le trinôme quadratique. Ici, le trinôme quadratique ne peut plus être factorisé en produits de deux binômes, c'est-à-dire, $(a + b) (c + d)$ . Nous devons donc utiliser la formule quadratique pour trouver les deux solutions restantes du polynôme.

Récapitulation : La formule quadratique

Pour une équation quadratique de la forme $a x^{2} + b x + c = 0$ où a, b et c sont des coefficients, la formule quadratique est la suivante

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Il est également utile de noter que ces deux solutions restantes sonttoujours une paire de nombres complexes . Nous reviendrons sur notre dernier exemple pour le montrer :

Rappelle que i = √-1 puisque ⁱ² = -1.

Résoudre

$x^{3} + 64 = = (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Solution

Nous avons que

x - 4 = 0 a n d x^{2} + 4 x + 16 = 0

Ici, nous avons une seule solution réelle, x = 4.

En adoptant la formule des quadratiques, nous obtenons les deux autres solutions sous la forme suivante.

Ici $a = 1, b = 4, c = 16$

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 (1) (16)}}{2 (1)} = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{48} \sqrt{- 1}}{2} = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2} = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}

Nous avons donc une paire de solutions complexes

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3} a n d x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Produits spéciaux - Points clés

Les produits spéciaux nous permettent de développer des expressions sans utiliser la méthode FOIL.
L'application des produits spéciaux nous permet de factoriser les polynômes plus efficacement.
Le tableau ci-dessous résume les formules importantes pour les produits spéciaux. N'oublie pas de les mémoriser !

Type de factorisation	Technique
Différence de deux carrés	$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ Note que tu ne peux pas factoriser $a^{2} + b^{2}$
Trinôme carré parfait	${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
Somme et différence de deux cubes	$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

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Questions fréquemment posées en Produits spéciaux

Qu'est-ce qu'un produit remarquable en mathématiques ?

Un produit remarquable est une formule mathématique simplifiée qui permet de multiplier rapidement certaines expressions. Exemples : (a+b)²=a²+2ab+b² ou (a-b)²=a²-2ab+b².

Comment reconnaît-on un produit remarquable ?

On reconnaît un produit remarquable par des expressions sous forme de carrés, de différences ou de sommes, comme (a+b)² ou (a-b)².

Quels sont les trois produits remarquables principaux ?

Les trois produits remarquables principaux sont : le carré d'une somme (a+b)², le carré d'une différence (a-b)², et le produit de deux binômes conjugués (a+b)(a-b).

Pourquoi utilise-t-on les produits remarquables ?

On utilise les produits remarquables pour simplifier les calculs algébriques et résoudre des équations plus facilement.

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