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Supposons que tu t'apprêtes à commander une pizza. Tu as le choix entre 3 types de croûtes, 8 garnitures différentes et 3 types de fromages différents. Compte tenu de ces conditions, combien de types de pizzas sont possibles pour ta commande ? Tu peux essayer d'énumérer toutes les possibilités individuelles et de les additionner. C'est évidemment une façon très fastidieuse et inefficace de procéder. Une bien meilleure alternative consiste à utiliser le principe de comptage fondamental.
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Équipe enseignants Principe Fondamental du Comptage
Le principe fondamental de comptage est utilisé pour déterminer le nombre de résultats possibles dans une situation donnée, en lien avec les probabilités.
Le principe de comptage fondamental stipule que :
S'il y a m résultats possibles pour l'événement M et n résultats possibles pour l'événement N, alors le nombre de résultats possibles lorsque l'événement M est suivi de l'événement N est m × n.
Lorsqu'on parle de probabilité, qu'est-ce qu'un événement exactement ? Un événement est un résultat ou un ensemble de résultats multiples, auquel on peut attribuer une probabilité d'occurrence dans une expérience statistique. Par exemple, dans le cas d'un lancer de dé, le lancer lui-même est l'événement, tandis que les résultats possibles (de 1 à 6) constituent l'ensemble des résultats possibles. Il existe deux types d'événements dont nous allons parler en relation avec le principe fondamental de comptage : les événements indépendants et les événements dépendants.
Les événementsindépendants n'affectent pas la probabilité d'occurrence d'autres événements, et leur probabilité d'occurrence n'est pas non plus affectée par d'autres événements. Par exemple, le choix des chiffres d'un numéro de téléphone est un événement indépendant puisque chaque chiffre choisi n'affecte pas le choix des autres.
D'autre part, la probabilité d'occurrence des événements dépendants est influencée par le résultat d'un autre événement et en dépend. Inversement, les événements dépendants peuvent également affecter la probabilité d'autres événements. Par exemple, les gagnants du deuxième tour d'un tournoi de tennis à élimination directe dépendent des résultats des matchs du premier tour. Par conséquent, le résultat du deuxième tour dépend du résultat du premier tour.
La distinction entre ces deux types d'événements est importante lors de l'utilisation du principe fondamental de comptage, car le fait qu'un événement soit indépendant ou dépendant influe sur son nombre de résultats possibles. Si un événement est dépendant, son nombre de résultats peut être limité.
Examinons quelques exemples pour mieux comprendre le principe fondamental du comptage et la façon d'appliquer sa formule. Nous allons explorer la façon dont il est utilisé pour les événements indépendants et dépendants.
Un chariot de sandwichs propose aux clients un choix de hamburger, de poulet ou de poisson sur un petit pain nature ou aux graines de sésame. Combien de combinaisons différentes de viande et de pain sont possibles ?
Solution :
Ici, on peut avoir 3 types de viande et 2 types de petits pains différents. Comme la situation demande de faire une série ou une combinaison de sélections, le principe fondamental du comptage peut être appliqué ici. La sélection du type de viande n'est pas affectée par la sélection du type de brioche, ce qui fait de ces deux sélections des événements indépendants. Pour arriver au nombre total de combinaisons possibles, nous devons d'abord nous demander combien il y a d'événements dans cette situation et combien de résultats sont associés à chaque événement.
Événement 1 : Un type de viande est sélectionné.
Événement 2 : Un petit pain est sélectionné.
Selon le principe fondamental du comptage, cela signifie qu'il y a 3 × 2 = 6 combinaisons (résultats) possibles.
Le principe de comptage fondamental peut être utilisé pour les cas comportant plus de deux événements. Par exemple, s'il y a 4 événements E1, E2, E3 et E4 avec des résultats possibles respectifs O1, O2, O3 et O4, alors le nombre total de possibilités des quatre événements pris ensemble sera calculé comme O1 × O2 × O3 × O4. Examinons un exemple de problème qui calcule les résultats possibles de trois événements pris ensemble.
Tu t'apprêtes à commander une pizza. Tu as le choix entre 3 types de croûtes différentes, 8 garnitures différentes et 3 types de fromages différents. Combien de sortes de pizzas peux-tu commander ?
Solution :
Comme la sélection des croûtes, des garnitures et des fromages n'a pas d'incidence les uns sur les autres, nous savons que ces trois événements de sélection sont indépendants.
Événement 1 : un type de croûte est sélectionné.
Événement 2 : Une garniture est sélectionnée.
Événement 3 : Un fromage est sélectionné.
Par conséquent, en vertu duprincipe fondamental de comptage, le nombre total de pizzas qui peuvent être faites avec les choix ci-dessus est de : .
Le principe fondamental de comptage peut également être démontré à l'aide d'un diagramme en arbre, qui nous aide à envisager les résultats possibles des événements d'un point de vue visuel. Reprenons notre premier exemple de problème et créons un diagramme en arbre pour l'analyser visuellement. Supposons que H représente le hamburger, C le poulet et F le poisson :
Diagramme en arbre - StudySmarter Original
Pour chacun de ces trois choix de viande, nous avons deux "branches" ultérieures du diagramme en arbre qui montrent les résultats possibles de l'événement de sélection suivant, avec les options d'un petit pain nature (P) et d'un petit pain aux graines de sésame (S). Les nœuds les plus bas de l'arbre (également appelés feuilles de l'arbre) donnent chaque résultat possible de l'expérience dans son ensemble, qui sont au nombre de 6 : HP, HS, CP, CS, FP et FS.
Les exemples que nous avons vus jusqu'à présent concernaient des événements indépendants. Cependant, le principe fondamental de comptage peut également s'appliquer aux événements dépendants. Voyons un exemple qui traite d'événements dépendants.
L'école de John propose 8 périodes chaque jour, et il doit choisir 4 matières au total pour l'année scolaire. Il doit créer un emploi du temps avec 1 cours de chaque matière chaque jour. En supposant que toutes les matières soient disponibles pendant chaque période, combien d'emplois du temps possibles Jean peut-il choisir ?
Solution :
Lorsque John programme une classe donnée pour une période donnée, il ne peut pas programmer cette classe pour une autre période. Par conséquent, les choix sont des événements dépendants.
Événement 1 : John planifie la première matière.
Événement 2 : Jean planifie le 2e sujet.
Événement 3 : Jean planifie le troisième sujet.
Événement 4 : Jean planifie le 4ème sujet.
Ainsi, selon le principe fondamental de comptage, le nombre total d'horaires possibles est de :
8 × 7 × 6 × 5 = 1,680.
Par conséquent, John a 1 680 choix possibles pour planifier ses cours.
Bien qu'il existe de multiples méthodes pour calculer les permutations et les combinaisons, l'une des options consiste à utiliser le principe de comptage fondamental.
Tout d'abord, clarifions la différence entre les permutations et les combinaisons. Les permutations et les combinaisons traitent toutes deux du sujet de la sélection d'un certain nombre d'objets à partir d'un ensemble donné d'objets. Supposons qu'il y ait un concours pour une équipe de football auquel participent 100 personnes, mais que nous devions en choisir 11 parmi ces 100. En supposant que l'ordre dans lequel ces 11 joueurs sont sélectionnés n'a pas d'importance, il s'agit d'une combinaison. Si l'ordre dans lequel nous sélectionnons ces joueurs a de l'importance, il s'agit d'une permutation.
Utilisons maintenant le principe fondamental du comptage pour calculer les résultats possibles d'un problème de combinaison.
Combien y a-t-il de nombres entre 100 et 999 dont le chiffre du milieu est 4 ?
Solution :
Étant donné que le chiffre du milieu est fixe, les 2 événements ici sont la sélection des chiffres les plus à gauche et les plus à droite. Le chiffre le plus à gauche peut être sélectionné de 9 façons possibles (1 à 9), et le chiffre le plus à droite peut être sélectionné de 10 façons possibles (0 à 9). Les événements sont indépendants les uns des autres.Ainsi, selon le principe fondamental du comptage, le total des nombres possibles est le suivant :9 × 10 = 90 nombres.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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