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\(A \rightarrow B\), où \(\rightarrow\) est le symbole signifiant "implique".
Qu'est-ce que la preuve par déduction ?
Dans la preuve par déduction, la vérité de l'énoncé est basée sur la vérité de chaque partie de l'énoncé (A ; B) et sur la force de la logique qui relie chaque partie.
L'énoncé A : " si aujourd'hui est un week-end " nous donne deux réponses, samedi et dimanche, car ce sont les deux seuls jours du week-end.
Nous utilisons ensuite nos réponses pour l'affirmation A et l'affirmation B pour tester la logique de l'affirmation principale.
Si nous sommes aujourd'hui samedi, alors demain sera un dimanche. La conclusion est donc fausse. En revanche, si nous sommes aujourd'hui dimanche, demain sera lundi et la conclusion sera vraie.
Par conséquent, la logique de l'énoncé de conclusion dépend de l'énoncé A et est donc faible.
En mathématiques, les énoncés de conclusion ont tendance à avoir des réponses plus concluantes (parce que les chiffres ne mentent pas !). Pour prouver une conclusion mathématique(conjecture) par preuve de déduction, tu as besoin d'axiomes mathématiques et d'une logique solides .
Les axiomes mathématiques sont les concepts mathématiques qui sous-tendent l'énoncé de conclusion.
Résoudre des questions sur la preuve par déduction
Pour résoudre une question de preuve par déduction, tu dois :
Considère la logique de la conjecture.
Exprime l'axiome sous forme d'expression mathématique lorsque c'est possible.
Résoudre à travers pour voir si la logique s'applique à la conjecture.
Fais une déclaration de conclusion sur la vérité de la conjoncture.
Exprimer l'axiome mathématiquement
Même si la plupart de ces règles algébriques te seront familières, il est bon de se familiariser avec elles car l'expression des axiomes sous forme d'expression mathématique nécessite parfois un peu de créativité en utilisant ces règles.
Pour exprimer que n est un multiple de A, tu peux écrire An
Exprime mathématiquement n comme un multiple de 12.
A est égal à 12. Par conséquent, la réponse est 12n
Pour exprimer des nombres consécutifs, tu peux commencer par n ( ou tout autre point de départ) et ajouter un à chaque fois pour obtenir n + 1, n + 2, etc.
Exprime les deux nombres consécutifs suivants après \(x^2\)
Pour obtenir les nombres consécutifs suivants, tu ajoutes 1 à chaque nombre consécutif. Par conséquent, le premier terme est \N(x^2\N), le deuxième terme est \N(x^2 + 1\N), le troisième terme est \N(x^2 + 2\N).
Pour exprimer les nombres pairs consécutifs, tu peux commencer par les nombres consécutifs : n , n + 1, n + 2. Tu multiplies ensuite chaque terme par 2 car tous les nombres pairs sont des multiples de 2. Les termes pairs consécutifs sont donc 2 (n), 2 (n + 1), 2 (n + 2), ce qui peut être simplifié en 2n, 2n + 2, 2n + 4, etc.
L'expression des nombres impairs consécutifs est un peu plus compliquée que celle des nombres pairs consécutifs, car les nombres impairs ne font pas partie d'un multiple. Cependant, ils sont définis par le fait qu'ils ne sont pas un multiple de deux ; par conséquent, toutes les lacunes dans les nombres pairs consécutifs constitueront les nombres impairs consécutifs.
Nombres pairs consécutifs
2n
2n + 2
2n + 4
Nombres impairs consécutifs
2n + 1
2n + 3
2n + 5
Exemple de preuve par déduction
Nous allons maintenant passer en revue quelques exemples pour montrer comment tu réponds à ce genre de questions.
Prouve que la somme de deux nombres consécutifs est équivalente à la différence entre deux nombres consécutifs au carré.
Comme décrit ci-dessus, tu peux exprimer algébriquement deux nombres consécutifs sous la forme n, n + 1.
La somme de deux nombres consécutifs est donc \(n + n + 1 = 2n +1\).
Pour trouver la différence entre deux nombres consécutifs au carré, tu dois d'abord élever au carré chaque nombre consécutif pour obtenir \((n)^2\) et \((n + 1)^2\).
En développant et en simplifiant les carrés, tu obtiens :
\N(n)^2 \Nquad devient \Nquad n^2\N)
\N(n + 1)^2 = (n + 1) (n + 1) = n^2 + 2n + 1\N)
Par conséquent, la différence entre deux nombres consécutifs au carré est la suivante
\N( n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1\N)
Pour terminer la question, tu dois écrire une conclusion : La somme de deux nombres consécutifs et la différence entre deux nombres consécutifs au carré sont égales entre elles car elles sont toutes les deux égales à 2n + 1.
Prouve que la réponse à l'équation \(x^2 + 8x + 20\) est toujours positive.
Comme tu ne veux qu'une seule variable de x, tu dois compléter le carré avec l'équation.
Tout d'abord, tu divises b (8) par deux et tu le substitues à ta nouvelle équation : \((x + 4)^2\).
Tu développes ensuite pour trouver ta constante à l'extérieur de la parenthèse ((x + 4)^2 = (x + 4)(x + 4) = x^2 + 8x +16\). Tu as besoin de +20 pour que la nouvelle équation corresponde à l'équation, donc tu as besoin de +4. La réponse est donc \N((x + 4)^2 + 4\N).
Comme toujours, tu as besoin d'une conclusion pour expliquer les mathématiques : Quelle que soit la valeur de x, en l'élevant au carré et en ajoutant 4, la valeur de l'équation sera toujours positive.
Preuve par déduction - Principaux points à retenir
La preuve par déduction utilise des axiomes mathématiques et la logique pour prouver ou réfuter une conjecture.
Tu peux exprimer plusieurs axiomes de façon algébrique, comme les nombres pairs et impairs consécutifs.
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Questions fréquemment posées en Preuve par déduction
Qu'est-ce que la preuve par déduction en mathématiques ?
La preuve par déduction est une méthode logique où l'on part de prémisses vraies pour arriver à une conclusion nécessairement vraie.
Pourquoi utilise-t-on la preuve par déduction ?
On utilise la preuve par déduction pour démontrer rigoureusement qu'une proposition est vraie en mathématiques.
Comment structurer une preuve par déduction ?
Pour structurer une preuve par déduction, commencez par les prémisses et utilisez des étapes logiques pour arriver à la conclusion.
Quelle est la différence entre déduction et induction ?
La déduction aboutit à une conclusion certaine à partir de prémisses, tandis que l'induction propose une conclusion probable à partir d'observations spécifiques.
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Lily Hulatt
Spécialiste du contenu numérique
Lily Hulatt est une spécialiste du contenu numérique avec plus de trois ans d’expérience en stratégie de contenu et en conception de programmes. Elle a obtenu son doctorat en littérature anglaise à l’Université de Durham en 2022, a enseigné au Département d’études anglaises de l’Université de Durham, et a contribué à plusieurs publications. Lily se spécialise en littérature anglaise, langue anglaise, histoire et philosophie.
Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
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