Preuve et Induction Mathématique

Démontre par un contre-exemple que toutes les valeurs de$2^n$sont impaires, pour$n\ge 1$.

SOLUTION :

Si on laisse$n=2$,$2^2=4$

4 ne peut pas s'écrire sous la forme$2n+1$avec$n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Donc 4 n'est pas impair.

Nous avons trouvé un contre-exemple qui réfute la conjecture.

Prouve par épuisement que les nombres pairs positifs consécutifs inférieurs à 10, s'additionnent en nombres pairs.

SOLUTION :

Nous voulons voir que la somme de deux nombres pairs positifs consécutifs inférieurs à 10 est paire.

Les nombres que nous allons utiliser sont donc 2, 4, 6 et 8.

$$\begin{gathered} 2+4=6 \\ 4+6=10 \\ 6+8=14 \end{gathered}$$

6, 10 et 14 sont tous des nombres pairs car ce sont tous des multiples de 2 :

$$\begin{gathered} 6=2\left(3\right) \\ 10=2\left(5\right) \\ 14=2\left(7\right) \end{gathered}$$

Par conséquent, ces sommes sont toutes des nombres pairs.

Notre conjecture a donc été prouvée.

Prouve que$\sqrt{2}$est irrationnel.

SOLUTION :

Tout d'abord, décomposons ce qui nous est demandé. Nous voulons montrer que$\sqrt{2}$ne peut pas s'écrire sous forme de fraction.

Essayons donc de prouver que c'est une fraction et trouvons notre contradiction.

Soit$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$où$\frac{a}{b}$est une fraction dans sa forme la plus simple.

Si nous élevons les deux côtés au carré :

$2=\frac{a^2}{b^2}$

$2b^2=a^2$

$a$doit être pair, car$a^2$est pair et la racine carrée d'un nombre pair est paire.

Soit$a=2k$, $a^2={\left(2k\right)}^2=4k^2$

$\therefore 4k^2=2b^2$

$2k^2=b^2$

Cela signifie que$b^2$est pair. Par conséquent, cela signifie que$b$est pair.

Si à la fois$a$et$b$sont pairs, cela signifie que$\frac{a}{b}$n'est pas dans sa forme la plus simple.

Il s'agit d'une contradiction puisque nous avons supposé à l'origine que$\frac{a}{b}$était sous sa forme la plus simple.

Par conséquent$\sqrt{2}$n'est pas rationnel et est irrationnel.

Prouve par induction mathématique que$f\left(n\right)=5^n+8n+3$est divisible par 4 pour tous les$n\in \mathrm{\mathbb{Z}}+$.

SOLUTION :

Étape 1: Nous devons d'abord tester$n=1$ce qui donne$f\left(1\right)=5^1+8\left(1\right)+3=16=4\left(4\right)$.

Il s'agit donc d'un multiple de 4.

Étape 2: Suppose que lorsque$n=k,$l'énoncé est correct.

Si nous l'écrivons en notation mathématique, nous obtenons$f\left(k\right)=5^k+8k+3=4m$où m est un nombre positif.

Étape 3: Utilisons maintenant le fait que$n=k$est vrai pour prouver que pour$n=k+1$:

$f(k+1)=5^{k+1}+8(k+1)+3$

$f(k+1)=\left(5^k\right){\left(5\right)}^1+8k+8+3$

$$\begin{gathered} f(k+1)=5^k(4+1)+8k+8+3 \\ =4\left(5^k\right)+5^k+8k+8+3 \end{gathered}$$

Nous remplaçons maintenant$4m$à la place de$5^k+8k+3$dans le$f(k+1)$nous obtenons :

$f(k+1)=4m+4\left(5^k\right)+8=4(m+5^k+2)$

Étape 4: Par conséquent, en se basant sur le fait que$f\left(k\right)$est un multiple de 4,$f(k+1)$est un multiple de 4.

C'est donc vrai pour$n=1$et pour certains$n=k$, c'est vrai pour certains$n=k+1$.

La conjecture est donc prouvée.

Prouve par induction mathématique que$\sum _{r=1}^n\frac{1}{r(r+1)}=\frac{n}{n+1}$pour tout$n\ge 1$.

SOLUTION :

Étape 1: Tout d'abord, nous devons tester le cas où$n=1$.

$\sum _1^1\frac{1}{r(r+1)}=\frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{2}=\frac{n}{n+1}$

Étape 2: Nous supposons que le cas de$n=k$est correct.

$\sum _{r=1}^k\frac{1}{r(r+1)}=\frac{k}{k+1}$

Étape 3: Maintenant, en utilisant le fait, nous devons tester pour$n=k+1$:

$$\begin{gathered} \sum _{r=1}^{k+1}\frac{1}{r(r+1)}=\sum _{r=1}^k\frac{1}{r(r+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ \sum _{r=1}^k\frac{1}{r(r+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{(k+1)(k+2)}+\frac{k}{k+1} \end{gathered}$$

Si nous simplifions cela, nous obtenons :

$$\begin{gathered} \frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+2)}{(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ \frac{k(k+2)}{(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)} \\ \frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)(k+1)}{(k+1)(k+2)} \end{gathered}$$

Si nous annulons le terme$(k+1)$du numérateur et du dénominateur, nous obtenons :

$\frac{(k+1)}{(k+2)}$Si nous annulons le terme du numérateur et du dénominateur, nous obtenons : , si nous revenons au fait que$n=k+1$, $\frac{k+1}{k+2}=\frac{n}{n+1}$

Étape 4: On a donc prouvé que lorsque$n=1$et pour certains$n=k$il a été prouvé pour$n=k+1$. Par conséquent, c'est vrai pour tout$n\ge 1$.