Points de retournement: 'Histoire', 'Littérature'

Table des mateères

Rappelons-nous le graphique d'une fonction quadratique. Te souviens-tu du nom de la courbe en forme de U qu'elle produit ? C'est bien cela ! Il s'agit d'une parabole.

Exemple de parabole, StudySmarter OriginalsExemple de parabole, StudySmarter Originals

Exemple de parabole, StudySmarter Originals

Maintenant, remarque que le graphique s'incurve vers le bas et atteint un point où il s'incurve ensuite vers le haut. Nous voyons que la parabole change de direction lorsqu'elle rencontre cet endroit précis. C'est ce qu'on appelle le point d'inflexion.

Dans cette leçon, nous allons examiner la notion de point d'inflexion et présenter plusieurs méthodes que nous pouvons utiliser pour déterminer le point d'inflexion d'une fonction donnée. Tout au long de ce sujet, nous nous concentrerons uniquement sur la recherche du point d'inflexion d'une fonction quadratique de la forme,

$y = a x^{2} + b x + c$ .

Signification du point d'inflexion

Comme nous l'avons présenté au début de cet article, le point d'inflexion d'un graphique est un point où la courbe s'écarte de sa trajectoire initiale. Autrement dit, si une voiture montait une colline et atteignait son point culminant, elle devra alors redescendre pour atteindre l'autre côté de la colline. Tu trouveras ci-dessous une définition formelle du point d'inflexion.

Le point d'inflexion d'un graphique est un point où la courbe change de direction.

Dans certains manuels, un point d'inflexion peut également être appelé point critique.

Un point d'inflexion sur un graphique

Le point d'inflexion d'une courbe est représenté par une paire de coordonnées x et y sur le plan cartésien et est désigné par le point (x, y). Tu trouveras ci-dessous un exemple de ce à quoi peut ressembler un point d'inflexion lorsqu'il est représenté sur un graphique.

Le point d'inflexion sur le plan cartésien, StudySmarter Originals

Types de points d'inflexion

Il existe deux types de points d'inflexion que nous devons prendre en compte lorsque nous traçons des graphiques de fonctions quadratiques :

lepoint minimum et le point maximum.
lepointmaximum .

Chaque type a sa propre orientation de courbure et peut être déterminé en regardant la valeur du coefficient principal de la fonction quadratique, c'est-à-dire le coefficient de ^x2. Le tableau ci-dessous décrit les principales caractéristiques de ces deux cas ainsi que leur tracé général.

Point minimum	Point maximum
Le coefficient de ^x2 est négatif, c'est-à-dire a < 0	Le coefficient de ^x2 est positif, c'est-à-dire a > 0
Le point minimum, StudySmarter Originals	Le point maximum, StudySmarter Originals
Le graphique s'incurve vers le bas pour atteindre son minimum, puis s'incurve vers le haut.	Le graphique s'incurve vers le haut pour atteindre son maximum, puis s'incurve vers le bas.
Le point d'inflexion est le point le plus bas de la courbe	Le point d'inflexion est le point le plus élevé de la courbe
La valeur y du point d'inflexion est la plus petite valeur possible de la fonction	La valeur y du point d'inflexion est la plus grande valeur possible de la fonction

Formule du point d'inflexion

Le point tournant d'une équation quadratique coïncide avec le sommet de la parabole correspondante. Pour déterminer les coordonnées de son sommet, nous utiliserons la formule du sommet ou, dans ce cas, la formule du point de retournement. Étant donné la forme standard d'une équation quadratique,

$y = a x^{2} + b x + c$

la forme du sommet de cette équation quadratique est

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ ,

où (h, k) est le sommet ou le point d'inflexion de la parabole. Il y a deux façons de déterminer les valeurs de h et de k.

Méthode 1

Évalue $h = - \frac{b}{2 a}$ et $k = - \frac{D}{4 a}$ où D est le discriminant et $D = b^{2} - 4 a c$ .

Méthode 2

Calcule $h = - \frac{b}{2 a}$ et utilise ce résultat pour trouver k en substituant cette valeur de h à y.

Trouve le point d'inflexion de l'équation quadratique ci-dessous.

$y = 3 x^{2} - 8 x + 1$

Solution

Utilisons la première méthode de la formule du point tournant pour trouver les valeurs de h et k.

Ici, a = 3, b = -8 et c = 1. La valeur de h est donnée par ,

$h = - \frac{(- 8)}{2 (3)} \Rightarrow h = \frac{4}{3}$

Le discriminant est donné par,

$D = {(- 8)}^{2} - 4 (3) (1) \Rightarrow D = 52$

Ainsi, k est donné par,

$k = - \frac{52}{4 (3)} \Rightarrow k = - \frac{13}{3}$

Par conséquent, le point d'inflexion est $(\frac{4}{3}, - \frac{13}{3})$ .

Vérifie

Vérifions si notre solution est correcte en utilisant la deuxième méthode de la formule du point de retournement. Comme précédemment, nous savons que

$h = - \frac{(- 8)}{2 (3)} \Rightarrow h = \frac{4}{3}$

En remplaçant cette valeur de h par y, nous obtenons

$k = y (\frac{4}{3}) \Rightarrow k = 3 {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 1 \Rightarrow k = - \frac{13}{3}$

Ainsi, notre point d'inflexion est $(\frac{4}{3}, - \frac{13}{3})$ , comme il se doit.

Note que cette formule ne peut être appliquée qu'aux équations quadratiques telles qu'elles sont présentées ci-dessus. Elle n'est pas applicable pour trouver les points d'inflexion des polynômes de degré supérieur et d'autres fonctions complexes .Cependant, c'est là que la section suivante sera pertinente ! Ici, nous examinerons d'autres façons de localiser les points d'inflexion de n'importe quel type d'équation.

Les mathématiques pour trouver le point d'inflexion

Pour une fonction quadratique donnée, nous pouvons localiser le point d'inflexion de la parabole en utilisant quatre méthodes, à savoir :

Ligne de symétrie
Factorisation
Compléter le carré
Différenciation

Dans cette partie, nous allons présenter en détail, étape par étape, chacune des techniques énoncées ci-dessus, ainsi que plusieurs exemples concrets.

Méthode de la ligne de symétrie

Nous commencerons par observer une caractéristique distincte d'une parabole qui nous permet de déterminer son point d'inflexion. Cette propriété est connue sous le nom de ligne de symétrie. Rappelle que la ligne de symétrie est un segment de droite qui divise un objet précisément en deux.

Le graphique de toute fonction quadratique possède une ligne de symétrie verticale qui passe par son point d'inflexion. En d'autres termes, le point d'inflexion est situé exactement au milieu de la parabole. Pour identifier le point d'inflexion d'une courbe donnée, nous pouvons suivre les étapes suivantes.

Étape 1 : Détermine si le graphique est un minimum ou un maximum en observant le coefficient de ^x2;

Étape 2 : Identifie l'équation de la ligne de symétrie à l'aide de la formule,

x = - \frac{b}{2 a}

Il s'agit de la coordonnée x du point d'inflexion ;

Étape 3 : Évalue la coordonnée y en substituant la coordonnée x de l'étape 3 à la fonction donnée.

Tu trouveras ci-dessous deux exemples d'application de cette méthode.

Trouve le point d'inflexion de l'équation quadratique ci-dessous en utilisant la méthode de la ligne de symétrie.

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x - 1$

Étape 1 : En regardant le coefficient de ^x2, nous avons a = 2 > 0. Puisque a est positif, le point d'inflexion de cette courbe doit être un minimum.

Étape 2 : La coordonnée x du point d'inflexion est donnée par l'équation de la ligne de symétrie. Ici, a = 2 et b = -3. Alors ,

x = - \frac{(- 3)}{2 (2)} \Rightarrow x = \frac{3}{4}

Étape 3 : En substituant cette valeur de x à notre équation initiale, nous obtenons notre coordonnée y comme suit

$f (\frac{3}{4}) = 2 {(\frac{3}{4})}^{2} - 3 (\frac{3}{4}) - 1 \Rightarrow f (\frac{3}{4}) = - \frac{17}{8}$

Ainsi, le point d'inflexion est un point minimum donné par $(\frac{3}{4}, - \frac{17}{8})$ . Comme il s'agit d'un point minimum, le graphique s'incurve vers le bas. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

Exemple 1, StudySmarter Originals

En utilisant la méthode de la ligne de symétrie, identifie le point d'inflexion de l'équation quadratique suivante.

$f (x) = - x^{2} + 4 x - 2$

Étape 1 : en regardant le coefficient de ^x2, on a a = -1 < 0. Comme a est négatif, le point d'inflexion de cette courbe doit être un maximum.

Étape 2 : La coordonnée x du point d'inflexion est donnée par l'équation de la ligne de symétrie. Ici, a = -1 et b = 4. Alors ,

x = - \frac{4}{2 (- 1)} \Rightarrow x = 2

Étape 3 : En substituant cette valeur de x à notre équation initiale, nous obtenons notre coordonnée y comme suit

$f (2) = - {(2)}^{2} + 4 (2) - 2 \Rightarrow f (2) = 2$

Ainsi, le point d'inflexion est un point maximum donné par $(2, 2)$ . Comme il s'agit d'un point maximum, le graphique s'incurve vers le haut. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

Exemple 2, StudySmarter Originals

Méthode de factorisation

Étant donné qu'une ligne de symétrie verticale coupe la parabole en deux moitiés égales et croise son point d'inflexion, nous pouvons dire que la position de son point d'inflexion se trouve exactement au point médian entre les (deux) intersections x d'une fonction quadratique. En gardant cela à l'esprit, nous pouvons trouver le point d'inflexion d'une équation quadratique à l'aide d'une approche impliquant la factorisation. Cette méthode comporte cinq étapes.

Étape 1 : Détermine si le graphique est un minimum ou un maximum en observant le coefficient de ^x2;

Étape 2 : Factorise la fonction quadratique donnée et fixe-la à zéro ;

Étape 3: Identifie les racines de la fonction ;

Étape 4: localise la coordonnée x du point d'inflexion en prenant le point médian de la paire de racines ;

Étape 5 : Évaluer la coordonnée y en substituant la coordonnée x de l'étape 4 à la fonction donnée.

Voyons maintenant quelques exemples pratiques qui illustrent cette technique.

Trouve le point d'inflexion de l'équation quadratique ci-dessous en utilisant la méthode de factorisation.

$f (x) = - 2 x^{2} - 12 x - 10$

Étape 1 : en regardant le coefficient de ^x2, on a a = -2 < 0. Comme a est négatif, le point d'inflexion de cette courbe doit être un maximum.

Étape 2 : en factorisant la fonction quadratique et en la mettant à zéro, on obtient.

$f (x) = 0 \Rightarrow - 2 x^{2} - 12 x - 10 = 0 \Rightarrow (- x - 5) (2 x + 2) = 0$

Étape 3 : Les racines de la fonction sont données par

$- x - 5 = 0 \Rightarrow x = - 5$

$2 x + 2 = 0 \Rightarrow 2 x = - 2 \Rightarrow x = - 1$

Les racines sont donc x = -1 et x = -5.

Étape 4 : Pour trouver le point médian, M, de ces deux coordonnées x, il suffit de trouver leur moyenne

$M = \frac{- 1 + (- 5)}{2} \Rightarrow M = - \frac{6}{2} \Rightarrow M = - 3$

La coordonnée x de notre point d'inflexion est M ou x = -3.

Étape 5 : En substituant cette valeur de x dans notre équation originale, nous obtenons notre coordonnée y comme suit

$f (- 3) = - 2 {(- 3)}^{2} - 12 (- 3) - 10 \Rightarrow f (- 3) = 8$

Ainsi, le point d'inflexion est un point maximum donné par $(- 3, 8)$ . Comme il s'agit d'un point maximum, le graphique s'incurve vers le haut. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

Exemple 3, StudySmarter Originals

En utilisant la méthode de factorisation, identifie le point d'inflexion de l'équation quadratique suivante.

$f (x) = x^{2} - 3 x - 18$

Étape 1 : En regardant le coefficient de ^x2, nous avons a = 1 > 0. Puisque a est positif, le point d'inflexion de cette courbe doit être un minimum.

Étape 2 : En factorisant la fonction quadratique et en la mettant à zéro, on obtient

$f (x) = 0 \Rightarrow x^{2} - 3 x - 18 = 0 \Rightarrow (x + 3) (x - 6) = 0$

Étape 3 : Les racines de la fonction sont données par

$x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$

$x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$

Les racines sont donc x = -3 et x = 6.

Étape4 : Pour trouver le point médian, M, de ces deux coordonnées x, il suffit de trouver leur moyenne.

$M = \frac{- 3 + 6}{2} \Rightarrow M = \frac{3}{2}$

Étape 5 : En substituant cette valeur de x dans notre équation originale, nous obtenons notre coordonnée y comme suit

$f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{2} - 3 (\frac{3}{2}) - 18 \Rightarrow f (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{4}$

Ainsi, le point d'inflexion est un point minimum donné par $(\frac{3}{2}, - \frac{81}{4})$ . Comme il s'agit d'un point minimum, le graphique s'incurve vers le bas. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

Exemple 4, StudySmarter Originals

Méthode du carré complet

Nous allons maintenant passer à la recherche du point tournant d'une équation quadratique à l'aide d'une méthode appelée compléter le carré. Lorsque nous complétons le carré d'une fonction quadratique donnée, il prendra la forme,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$

Pour rappeler le déroulement de cette méthode, reporte-toi à la rubrique : Compléter le carré. Il y a 3 étapes à prendre en compte dans ce cas.

Étape 1 : Détermine si le graphique est un minimum ou un maximum en observant le coefficient de ^x2;

Étape 2 : Complète le carré de la fonction quadratique donnée de façon à ce qu'il ressemble à $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ;

Étape3 : Identifie les coordonnées x et y du point d'inflexion. Les valeurs de h et k sont respectivement les coordonnées x et y.

Maintenant que nous avons établi les étapes ci-dessus, observons deux exemples pratiques.

Trouve le point d'inflexion de l'équation quadratique ci-dessous en utilisant la méthode de la complétion du carré.

$f (x) = 2 x^{2} + 9 x$

Étape 1 : En regardant le coefficient de ^x2, nous avons a = 2 > 0. Puisque a est positif, le point d'inflexion de cette courbe doit être un minimum.

Étape 2 : En complétant le carré de la fonction quadratique, on obtient

$f (x) = 2 x^{2} + 9 x \Rightarrow f (x) = 2 (x^{2} + \frac{9}{2} x) \Rightarrow f (x) = 2 {(x + \frac{9}{4})}^{2} - 2 {(\frac{9}{4})}^{2} \Rightarrow f (x) = 2 {(x + \frac{9}{4})}^{2} - \frac{81}{8}$

Note que nous devons factoriser le coefficient de ^x2_,diviser par deux le coefficient de x pour compléter le carré et équilibrer l'équation. Notre fonction a maintenant la forme suivante $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

Étape 3 : À partir d'ici, $h = - \frac{9}{4}$ et $k = - \frac{81}{8}$ . Les valeurs de h et k représentent respectivement les coordonnées x et y du point d'inflexion.

Ainsi, le point d'inflexion est un point minimum donné par $(- \frac{9}{4}, - \frac{81}{8})$ . Comme il s'agit d'un point minimum, le graphique s'incurve vers le bas. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

Exemple 5, StudySmarter Originals

En utilisant la méthode de la complétion du carré, identifie le point d'inflexion de l'équation quadratique suivante.

$f (x) = - x^{2} + 7 x + 4$

Étape 1 : En regardant le coefficient de ^x2, nous avons a = -1 < 0. Puisque a est négatif, le point d'inflexion de cette courbe doit être un maximum.

Étape 2 : compléter le carré de la fonction quadratique.

$f (x) = - x^{2} + 7 x + 4 \Rightarrow f (x) = - (x^{2} - 7 x) + 4 \Rightarrow f (x) = - {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 4 + {(\frac{7}{2})}^{2} \Rightarrow f (x) = - {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{65}{4}$

Étape 3 : À partir d'ici, $h = \frac{7}{2}$ et $k = \frac{65}{4}$ . Les valeurs de h et k représentent respectivement les coordonnées x et y du point d'inflexion.

Ainsi, le point d'inflexion est un point maximum donné par $(\frac{7}{2}, \frac{65}{4})$ . Comme il s'agit d'un point maximum, le graphique s'incurve vers le haut. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

Exemple 6, StudySmarter Originals

Méthode de différenciation

Voyons maintenant notre dernière méthode pour localiser le point d'inflexion d'une fonction quadratique. Cette fois, nous aurons recours à une technique largement utilisée en calcul appelée différenciation. Rappelle que la différenciation est une méthode utilisée pour déterminer le gradient d'une courbe en un point spécifique. Tu trouveras un aperçu plus détaillé de ce sujet ici : Différenciation.

Pour une fonction quadratique de la forme $y = a x^{2} + b x + c$ le gradient de la courbe à son point d'inflexion est égal à zéro. En d'autres termes , $\frac{d y}{d x} = 0$ .

Comme nous l'avons déjà mentionné, un point d'inflexion peut être un minimum ou un maximum. Examinons chaque cas à tour de rôle.

Point minimum

Point maximum

Le gradient du point minimum, StudySmarter Originals

Le gradient d'un point minimum, StudySmarter Originals

La pente d'un point maximum, StudySmarter Originals

Le gradient d'un point maximum, StudySmarter Originals

À un point minimum, le gradient passe de négatif à zéro à positif.

À un point maximum, le gradient passe de positif à zéro et à négatif.

Pour localiser le point d'inflexion à l'aide de la différenciation, il suffit de calculer la dérivée première de la fonction donnée et de la fixer à zéro. Tu obtiendras ainsi la coordonnée x du point d'inflexion. La coordonnée y est trouvée en substituant cette valeur x trouvée à la fonction quadratique initiale.

$\frac{d y}{d x} = 0$ ou $f' (x) = 0$

La nature du point d'inflexion est déterminée en calculant la dérivée seconde de la fonction donnée. Dans ce cas,

si $\frac{d^{2} y}{d^{2} x} > 0$ ou $f'' (x) > 0$ alors le point d'inflexion de notre fonction est un minimum ;
si $\frac{d^{2} y}{d^{2} x} < 0$ ou $f'' (x) < 0$ alors le point d'inflexion de notre fonction est un maximum ;
si $\frac{d^{2} y}{d^{2} x} = 0$ ou $f'' (x) = 0$ alors le point d'inflexion de notre fonction est un point d'inflexion.

Note que la troisième clause sera examinée plus en détail dans le cadre du sujet sur les fonctions cubiques et les polynômes d'ordre supérieur.

Comme nous avons maintenant couvert ces faits, observons maintenant deux exemples.

Utilise la différenciation pour localiser les points d'inflexion de l'équation quadratique suivante.

$f (x) = - 4 x^{2} - x$

Solution

Commençons par localiser les points d'inflexion de la courbe. En calculant la dérivée première de la fonction et en la fixant à zéro, nous obtenons

$f' (x) = 0 \Rightarrow - 8 x - 1 = 0 \Rightarrow - 8 x = 1 \Rightarrow x = - \frac{1}{8}$

La coordonnée y est donnée par

$f (- \frac{1}{8}) = - 4 {(- \frac{1}{8})}^{2} - (- \frac{1}{8}) f (- \frac{1}{8}) = \frac{1}{16}$

Le point d'inflexion est donc $(- \frac{1}{8}, \frac{1}{16})$

La nature de ce point d'inflexion est donnée par la dérivée seconde.

$f'' (x) = - 8 < 0$

Puisque la valeur de la dérivée seconde est négative, alors notre point d'inflexion est un maximum. Ainsi, le graphique s'incurve vers le haut. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

Exemple 7, StudySmarter Originals

Étant donné l'équation quadratique ci-dessous, détermine son point d'inflexion à l'aide de la différenciation.

$f (x) = 2 x^{2} + 7 x + 9$

Solution

Commençons par localiser les points d'inflexion de la courbe. En calculant la dérivée première de la fonction et en la fixant à zéro, nous obtenons

$f' (x) = 0 \Rightarrow 4 x + 7 = 0 \Rightarrow 4 x = - 7 \Rightarrow x = - \frac{7}{4}$

La coordonnée y est donnée par

$f (- \frac{7}{4}) = 2 {(- \frac{7}{4})}^{2} + 7 (- \frac{7}{4}) + 9 \Rightarrow f (- \frac{7}{4}) = \frac{23}{8}$

Le point d'inflexion est donc $(- \frac{7}{4}, \frac{23}{8})$ .

La nature de ce point d'inflexion est donnée par la dérivée seconde.

$f'' (x) = 4 > 0$

Puisque la valeur de la dérivée seconde est positive, alors notre point d'inflexion est un minimum. Ainsi, le graphique s'incurve vers le bas. C'est ce que montre l'exemple ci-dessous.

Exemple 8, StudySmarter Originals

Exemples de points de retournement

Pour améliorer encore nos compétences en matière de recherche du point d'inflexion d'une parabole, nous terminerons notre discussion par deux exemples du monde réel impliquant le concept de point d'inflexion.

La trajectoire d'une balle de tennis lancée sur un terrain est modélisée par

$h (x) = - 0.3 x^{2} - 2.7 x + 1.8$ ,

où h(x) représente la hauteur de la balle par rapport au sol en mètres. Quelle est la hauteur maximale que la balle peut atteindre d'après ce modèle de projectile ?

Exemple 9, StudySmarter Originals

Solution

Nous allons utiliser la méthode de différenciation pour résoudre ce problème. Comme mentionné dans la question, nous recherchons un point de retournement maximum, qui est le sommet de la parabole. Il s'agit bien d'un point maximum puisque le coefficient de ^x2 est négatif puisque a = -0,3. Comme nous l'avons vu plus haut, notre parabole s'incurve vers le haut, comme il se doit.

Pour localiser le point d'inflexion de cette courbe, nous allons d'abord calculer la dérivée première du modèle donné et la fixer à zéro.

$h' (x) = 0 \Rightarrow - 0.6 x - 2.7 = 0$

En la résolvant, nous obtenons

$- 0.6 x = 2.7 \Rightarrow x = - 9.2$

Cette coordonnée x indique la position à laquelle la balle est à son point le plus élevé. En introduisant cette valeur de x dans notre équation originale, nous obtenons

$h (- 9.2) = - 0.3 {(- 9.2)}^{2} - 2.7 (- 9.2) + 1.8 \Rightarrow h (- 9.2) = 7.875$

Ainsi, le point le plus élevé que la balle peut atteindre depuis le sol est de 7,875 mètres.

Le mouvement d'un pendule suit une courbe parabolique modélisée par

$p (x) = 0.22 x^{2} + x - 1.6$ ,

où p(x) est la longueur du pendule à partir de son point de suspension en centimètres. Détermine la longueur du pendule à partir de la barre lorsque la corde du pendule est à angle droit du point de suspension.

Exemple 10, StudySmarter Originals

Solution

Nous allons utiliser la méthode de la ligne de symétrie pour traiter ce problème. Tout d'abord, note que le coefficient de ^x2 est a = 0,22 > 0. Comme il est positif, notre point d'inflexion est un minimum. Comme tu peux le voir ci-dessus, la parabole s'est incurvée vers le bas, comme il se doit. Ici, b = 1. En appliquant la formule de l'équation de la ligne de symétrie, nous obtenons

$x = - \frac{b}{2 a} \Rightarrow x = - \frac{1}{2 (0.22)} \Rightarrow x = - \frac{25}{11}$

En substituant cette valeur de x à notre équation originale, on obtient

$p (\frac{25}{11}) = 0.22 {(\frac{25}{11})}^{2} + (\frac{25}{11}) - 1.6 \Rightarrow p (\frac{25}{11}) = - \frac{301}{110} \Rightarrow p (\frac{25}{11}) \approx - 2.74 (c o r r e c t t o 2 d e c i m a l p l a c e s)$

Comme il s'agit de longueurs, nous pouvons considérer cette valeur comme positive, car il n'existe pas de distance négative. Ainsi, la longueur du pendule par rapport à la barre lorsque la corde du pendule est à angle droit par rapport au point de suspension est de 2,74 centimètres.

Essaie toi-même : Essaie d'utiliser les autres méthodes pour trouver les points de retournement pour ces deux questions ci-dessus. Donnent-elles la même réponse ?

Points d'inflexion - Principaux enseignements

Le point d'inflexion d'un graphique est un point où la courbe change de direction.
Le point d'inflexion d'un graphique est désigné par les coordonnées (x, y).
Pour une fonction quadratique de la forme y = ^ax2+ bx + c,
- Si a < 0, le point d'inflexion est un minimum et constitue le point le plus bas de la courbe.
- Si a > 0, le point d'inflexion est un maximum et est le point le plus élevé de la courbe.
Méthodes pour trouver le point d'inflexion d'un graphique
- Ligne de symétrie
- Factorisation
- Compléter le carré
- Différenciation

Apprends avec 0 fiches de Points de retournement dans l'application gratuite StudySmarter

Nous avons 14,000 fiches sur les paysages dynamiques.

S'inscrire avec un e-mail

Tu as déjà un compte ? Connecte-toi

Questions fréquemment posées en Points de retournement

Comment déterminer un point de retournement?

Pour déterminer un point de retournement, on cherche où la dérivée seconde de la fonction change de signe.

Qu'est-ce qu'un point de retournement?

Un point de retournement est un point où la courbe change de concavité, passant de concave vers le haut à concave vers le bas, ou vice versa.

Pourquoi les points de retournement sont-ils importants?

Les points de retournement sont importants car ils indiquent des changements dans la direction de courbure d'une fonction, ce qui aide à comprendre sa forme globale.

Peut-on avoir un point de retournement sans dérivée seconde nulle?

Oui, un point de retournement peut exister même si la dérivée seconde n'est pas nulle; il suffit que la dérivée seconde change de signe.

Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

Lance-toi dans tes études

À propos de StudySmarter

StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.

Équipe éditoriale StudySmarter

Équipe enseignants Mathématiques

Temps de lecture: 20 minutes
Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter

Sauvegarder l'explication

Toutes les ressources disponibles gratuitement pour étudier

Crée tes propres supports et documents pour étudier avec l'application gratuite StudySmarter

Points de retournement

Crée des supports d'apprentissage sur Points de retournement avec notre appli gratuite!

Signification du point d'inflexion

Un point d'inflexion sur un graphique

Types de points d'inflexion

Formule du point d'inflexion

Méthode 1

Méthode 2

Les mathématiques pour trouver le point d'inflexion

Méthode de la ligne de symétrie

Méthode de factorisation

Méthode du carré complet

Méthode de différenciation

Exemples de points de retournement

Points d'inflexion - Principaux enseignements

Apprends avec 0 fiches de Points de retournement dans l'application gratuite StudySmarter

Questions fréquemment posées en Points de retournement

Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

À propos de StudySmarter

Équipe éditoriale StudySmarter

Sauvegarder l'explication

Qui sommes nous ?

Ressources pour étudier

Pour les entreprises

Points de retournement

Crée des supports d'apprentissage sur Points de retournement avec notre appli gratuite!

Signification du point d'inflexion

Un point d'inflexion sur un graphique

Types de points d'inflexion

Formule du point d'inflexion

Méthode 1

Méthode 2

Les mathématiques pour trouver le point d'inflexion

Méthode de la ligne de symétrie

Méthode de factorisation

Méthode du carré complet

Méthode de différenciation

Exemples de points de retournement

Points d'inflexion - Principaux enseignements

Apprends avec 0 fiches de Points de retournement dans l'application gratuite StudySmarter

Questions fréquemment posées en Points de retournement

Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

À propos de StudySmarter

Équipe éditoriale StudySmarter

Sauvegarder l'explication

Créer un compte gratuit pour sauvegarder ce cours.

Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !

Obtiens un accès illimité avec un compte StudySmarter gratuit.