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Équipe enseignants Opérations avec les nombres complexes
Dans cette section, nous allons examiner un nouveau concept appelé nombre imaginaire. Prenons la racine carrée de 2. Nous savons que cela donne la décimale non répétitive
Maintenant, quelle est la racine carrée de -2 ? Tu pourrais penser qu'il n'y a pas de solution à la racine carrée d'un nombre négatif. Mais ce n'est pas le cas ! En fait, c'est là que le nombre imaginaire entre en jeu. Le concept de nombre imaginaire découle de l'unité imaginaire, désignée par la lettre i, et est représenté par la dérivation suivante :
Ainsi, la racine carrée de -2 est simplement
En fait, on peut additionner des nombres réels et des nombres imaginaires. Cette structure des nombres nous amène à l'idée d'un nombre complexe.
Un nombre complexe est une expression algébrique qui comprend le facteur i = √-1 et qui s'écrit sous la forme z = a + bi.
La forme standard des nombres complexes est
où
Re (z) = a est la partie réelle du nombre complexe z
Im (z) = b est la partie imaginaire du nombre complexe z.
Cette forme est également désignée par
Il existe deux sous-classes importantes de nombres complexes : pour un nombre complexe z = a + bi
Si Im (z) = 0, alors z = a est un nombre réel.
Si Re (z) = 0, on dit que z = bi est purement imaginaire.
Les nombres complexes ont de nombreuses applications. Par exemple, ils sont largement utilisés dans le domaine de l'ingénierie électrique et de la mécanique quantique. Les nombres complexes nous aident également à résoudre des équations polynomiales qui n'ont pas de solutions réelles : jette un coup d'œil à Graphique et résolution d'équations quadratiques qui explique comment procéder.
Nous pouvons effectuer des opérations arithmétiques de base avec des nombres complexes, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.
Dans cette section, nous allons expliquer les opérations les plus importantes que tu devrais être capable d'effectuer avec des nombres complexes :
Pour additionner des nombres complexes, il suffit d'ajouter les parties réelles et imaginaires correspondantes. La même règle s'applique pour la soustraction de nombres complexes.
Soit z1 et z2 deux nombres complexes avec z1 = a + bi et z2 = c + di, où a, b, c et d sont des nombres réels.
En distribuant le signe positif dans le deuxième terme (aux parties réelle et imaginaire) et en rassemblant les termes similaires, nous obtenons
En distribuant le signe négatif dans le deuxième terme (aux parties réelle et imaginaire) et en rassemblant les termes similaires, nous obtenons
Soit α = 3 - 2i et β = 5 + 7i deux nombres complexes.
Calcule α+ β
Détermine α - β
La multiplication scalaire des nombres complexes est la multiplication d'un nombre réel et d'un nombre complexe. Dans ce cas, le nombre réel est également appelé le scalaire .
Pour multiplier un nombre complexe par un scalaire, il suffit de multiplier séparément les parties réelle et imaginaire par le scalaire.
Soit z = a + bi un nombre complexe et c un scalaire, où a, b et c sont des nombres réels.
Soit α = 3 - 2i et β = 5 + 7i deux nombres complexes.
Trouve7α
Dans ce cas, nous multiplions le nombre complexe α par le nombre réel 7 (aussi appelé scalaire) .
Évalue2β
Dans ce cas, nous multiplions le nombre complexe β par le nombre réel 2 (également appelé scalaire).
La multiplication des nombres complexes est exactement la même que la technique de l'expansion binomiale : applique la méthode FOIL et combine les termes semblables.
Voici comment fonctionne la méthode FOIL, étape par étape.
Soit z1 et z2 deux nombres complexes avec z1 = a + bi et z2 = c + di, où a, b, c et d sont des nombres réels. Pour les multiplier
En notant que i2 = -1, on obtient
En simplifiant, on obtient
Soit α = 3 - 2i et β = 5 + 7i deux nombres complexes.
Trouve α x β
Si tu as une fraction de nombres complexes, multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe du dénominateur.
Pour un nombre complexe z = a + bi, le conjugué complexe de z est noté z* = a - bi.
Après cela, développe et simplifie l'expression sous la forme standard des nombres complexes. Le résultat est donné par la formule suivante :
Lorsque tu divises des nombres complexes, assure-toi d'écrire la réponse finale sous sa forme standard.
Voyons en pratique et étape par étape comment effectuer la division de nombres complexes. Soit z1 etz2 deux nombres complexes avec z1 = a + bi etz2 = c + di, où a, b, c et d sont des nombres réels. En divisant z1 parz2, on obtient
Le conjugué complexe du dénominateur, z2, estz2*= c - di.
En multipliant le numérateur et le dénominateur par z2*, on obtient
En développant cette expression, on obtient
Enfin, en combinant les termes similaires, nous obtenons
Soit α = 3 - 2i et β = 5 + 7i deux nombres complexes. Ici, β est le dénominateur. Le conjugué complexe de β est β* = 5 - 7i.
Calcule α ÷ β
Ici, β est le dénominateur. Le conjugué complexe de β est β* = 5 - 7i. Ainsi, en multipliant le numérateur et le dénominateur par β*, on obtient :
| Opération | Formule |
| Addition | |
| Soustraction | |
| Multiplication scalaire | |
| Multiplication | |
| Division |
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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