Qu'est-ce qu'une notation scientifique ?
Pour commencer notre sujet, définissons d'abord la signification d'une notation scientifique.
Lanotation scientifique, également connue sous le nom de forme standard, est une méthode qui exprime (ou réécrit) un nombre à plusieurs chiffres de manière compacte. Elle se présente sous la forme suivante
$$a\times 10^b$$
où \(1\leq |a|< 10\) et \(b\) est un nombre entier.
C'est une façon très efficace d'écrire de très grands nombres ou de très petits nombres également. Il peut être utile de noter que pour la structure présentée ci-dessus, c'est-à-dire
$$a\times 10^b$$
où \(1\leq |a|< 10\), \(a\) est le coefficient et \(10\) est une base constante. Le tableau ci-dessous montre plusieurs exemples où la notation scientifique prend place.
Nombre | Notation scientifique | Valeurs a et b |
\(2\) | \N(2 fois 10^0\N) | \(a=2, b=0) |
\(20\) | \N- (2 fois 10^1\N) | \N- (a=2,b=1\N) |
\(200\) | \N- (2 fois 10^2\N) | \N- \N- \N- \N- \N- \N(a=2,b=2\N) |
Cela signifie qu'un nombre plus important peut être réécrit de manière plus courte en augmentant la puissance de \(10\). Ou en d'autres termes, la valeur de \(b\).
Par coïncidence, cela fonctionne aussi dans l'autre sens. Les nombres qui sont particulièrement proches de zéro peuvent également être exprimés de cette façon en changeant le signe de l'exposant. Voici un tableau qui présente quelques exemples.
Nombre | Notation scientifique | Valeurs de \N(a\N) et \N(b\N) |
\(0.2\) | \N(2 fois 10^{-1}\N) | \N- (a=2,b=-1\N) |
\(0.02\) | \N- (2 fois 10^{-2}\N) | \N- (a=2,b=-2\N) |
\(0.002\) | \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- (2 fois 10^{-3}\N) | \N-(a=2,b=-3\N) |
Écrire les nombres en notation scientifique
Un nombre peut être écrit en notation scientifique en exprimant sa valeur sous la forme d'un nombre compris entre \(1\) et \(10\) multiplié par une puissance de \(10\). Par exemple, le nombre \N(700\N) peut être écrit comme \N(7\Nfois 10^2\N). Le nombre \N(7\Nfois 10^2\N) est donc la notation scientifique de \N(700\N).
Le format de la notation scientifique est \N(a\Nfois 10^b\N) où
\(a\) est un nombre ou un nombre décimal tel que la valeur absolue de \(a\) est supérieure ou égale à un et inférieure à dix et ;
\(b\) est la puissance de \(10\) nécessaire pour que la notation scientifique soit mathématiquement équivalente au nombre original.
Règles d'écriture des nombres en notation scientifique
Pour écrire un nombre en notation scientifique, il faut respecter les règles suivantes :
La base est toujours \(10\).
La valeur du coefficient est toujours supérieure ou égale à \(1\) et inférieure à \(10\).
Les coefficients peuvent également être des valeurs positives ou négatives.
Le reste des chiffres significatifs du nombre est porté par la mantisse.
La mantisse est la partie d'un logarithme qui se trouve après la virgule.
Exemples de notation scientifique
Dans cette section, nous allons voir un exemple de travail impliquant la notation scientifique.
- \(650 000 000 = 6,5 fois 10^8)
- \N- (75=7.5 fois 10^1=7.5 fois 10\N)
- \N(5.05 fois 10^7\N)
- \N- (0.00001=1 fois 10^{-5}\N)
- \(1,230,000,000=1.23\times 10^9\)
Remarque que toutes les conditions d'écriture des notations scientifiques sont réunies dans l'exemple ci-dessus :
- la base de chaque exemple est \(10\) ;
- les coefficients sont supérieurs ou égaux à \(1\) et inférieurs à \(10\) ;
- et l'exposant de la base est pris en compte pour la mantisse.
Erreurs courantes dans la notation scientifique
Bien que la méthode derrière la notation scientifique puisse être simple, il y a encore quelques erreurs courantes que tu dois prendre en compte pour ne pas tomber dans le piège de faire des fautes d'inattention dans ton travail. Voici un exemple où les notations scientifiques ne sont pas valables.
\N(76400=76.4\Nfois 10^3\N).
Ce n'est pas correct car le coefficient doit être compris entre \(1\) et \(10\). Dans ce cas, c'est \N(7,64\N), et non \N(76,4\N). La bonne réponse serait$$76400=7.64\\Nfois 10^4$$$
Voici un autre exemple concret.
\N(160=2,5 fois 8^2\N)
Bien que cette équation soit vraie, ce n'est pas une notation scientifique valide. Remarque la base utilisée dans l'exemple ci-dessus. Rappelle-toi que toutes les notations scientifiques possèdent une base de \(10\). Dans cette situation, la base est \(8\). La bonne réponse est donc160=1,6 fois 10^2$$.
Voyons un dernier exemple avant de passer à la section suivante.
\N(0,034=34\Nfois 10^{-3}\N).
Comme précédemment, le coefficient doit être compris entre \(1\N) et \N(10\N). Dans ce cas, \N(34\N) est en effet plus grand que \N(10\N). La notation scientifique correcte serait0,034 = 3,4 fois 10^{-2}$$$.
Forme standard et notation scientifique
Dans cette section, nous allons apprendre à échanger un nombre donné entre sa forme standard et la notation scientifique.
Conversion des nombres sous forme standard en notation scientifique
Pour comprendre comment nous pouvons convertir des nombres sous forme standard en leur notation scientifique appropriée, nous allons te présenter deux cas.
Cas 1 : La virgule se déplace vers la gauche si le nombre donné est supérieur à \(10\).
Cela signifie que la puissance de \(10\) ici sera une valeur positive. Voici un exemple.
La population mondiale est actuellement de \(7,000,000,000\). Pour l'exprimer en notation scientifique, nous pouvons l'écrire sous la forme suivante
$$7\\n- fois 10^9$$$
Cas 2 : La virgule se déplace vers la droite si le nombre donné est inférieur à \(1\).
Dans ce cas, la puissance de \(10\) devient une valeur négative. Voici un exemple.
Si nous devons écrire le diamètre d'un grain de sable, qui est de \(24\) dix millièmes de pouce ou \(.0024\) pouce, nous obtiendrons
0,0024 = 2,4 fois 10^{-3}$$$.
Conversion d'un nombre en notation scientifique au format standard
Il n'y a pas de règle particulière à suivre pour convertir un nombre en notation scientifique en forme standard. Cependant, il y a quelques indications à prendre en compte lors de cette opération.
Déplace la virgule vers la droite si l'exposant de la base est positif.
Déplace la virgule vers la gauche si l'exposant de la base est négatif.
Déplace la virgule autant de fois que l'indique l'exposant.
Dans la forme standard, n'écris plus multiplier par 10.
Prenons quelques exemples pour voir comment cela se passe.
La notation scientifique de la distance entre la Terre et la Lune est \N(3,825\Nfois 10^8\N) mètres. Comment représenterais-tu ce nombre sous forme standard ?
Solution
Puisque l'exposant de la base est positif, déplace la virgule vers la droite. Au troisième déplacement, nous devrions être à \(3825\). Cela signifie que tout déplacement ultérieur ajoute un \N(0\N) à la figure. Cela ajoutera 5 zéros supplémentaires au nombre. Le résultat est donc de 382 500 000 mètres.
Voici un autre exemple.
On considère que la longueur d'onde la plus courte de la lumière visible est de \N(4,0\Nfois 10^{-7}\N) mètres. Écris cette valeur sous forme standard.
Solution
La virgule sera déplacée vers la gauche puisque l'exposant de la base est négatif. Un déplacement de la virgule nous donnera \N(0,4\N). Cependant, nous devons effectuer tous les déplacements de \(7\). Chacun d'entre eux ajoutera un zéro avant \N(4\N). Nous aurons donc \(0.0000004\) mètres.
Opérations arithmétiques avec la notation scientifique
Dans cette partie, nous allons voir comment nous pouvons effectuer des opérations arithmétiques de base avec des nombres en notation scientifique. La notation scientifique peut s'avérer assez complexe et déroutante lorsqu'il s'agit de nombres extrêmement grands ou très petits. Le but de la notation scientifique est de rendre les nombres plus faciles à lire, à écrire et à calculer. Les nombres en notation scientifique peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés et divisés tant qu'ils sont en notation scientifique.
Addition et soustraction de nombres en notation scientifique
Tu trouveras ci-dessous les étapes à suivre pour ajouter et soustraire des nombres en notation scientifique.
Fais en sorte que les deux nombres que tu veux additionner ou soustraire aient le même exposant en réécrivant le nombre avec le plus petit exposant et en déplaçant la virgule décimale sur son nombre décimal le nombre de fois requis.
Additionne ou soustrais ces nombres décimaux.
Écris ton nombre en notation scientifique si nécessaire.
Voici un exemple qui le démontre.
\N- (6,7 fois 10^4)+(5,87 fois 10^5)\N).
En réécrivant le nombre, on obtient
(0,67 fois 10^5)+(5,87 fois 10^5)$$.
Nous aurons alors ;$$(0.67+5.87)\Nfaisant 10^5$$.
Avec notre exemple, nous aurons ;
6,54 fois 10^5$$.
Exemple du monde réel impliquant l'addition et la soustraction de la notation scientifique
Dans cette section, nous allons observer un problème du monde réel qui fait appel à l'addition et à la soustraction de nombres en notation scientifique.
Amy parcourt \(2,33 fois 10^8\) mètres de son domicile à son lieu de travail. Après le travail, on lui a demandé d'assister à une réunion en ville. Depuis son lieu de travail, elle parcourt \N(8,2 fois 10^9 \Nm) mètres jusqu'au lieu de cette réunion. Trouve la distance totale qu'elle a parcourue aujourd'hui.
Solution
Ce problème te demande d'additionner les deux nombres donnés en notation scientifique, à savoir \(2,33 fois 10^8\) et \(8,2 fois 10^9\) puisque nous cherchons la distance totale qu'elle a parcourue. Ce faisant, nous pouvons l'écrire sous la forme suivante
$$(2.33 fois 10^8)+(8.2 fois 10^9)$$.
Réécris les deux pour qu'ils aient le même exposant.
$$(0,233 fois 10^9)+(8,2 fois 10^9)$$.
Ajoute les décimales
$$(0.233+8.2)\N- fois 10^9$$$
Nous avons donc \N(8,433 fois 10^9) mètres au total.
Multiplier et diviser la notation scientifique
Tu trouveras ci-dessous les étapes pour multiplier ou diviser des nombres en notation scientifique.
Multiplie ou divise les nombres décimaux.
Maintenant, multiplie en ajoutant des exposants ou divise en soustrayant les exposants du nombre \(10\).
Écris ta réponse en notation scientifique si nécessaire.
Voici un exemple concret.
En résolvant \N((8,4 fois 10^{-3})(6,1 fois 10^6)\N), nous aurons
8,4 fois 6,1 = 51,24 $$$.
Alors ,
$$10^{-3}\times 10^6=10^{-3+6}=10^3$$
Nous aurons alors
51,24$ fois 10^3$$.
Exemple du monde réel impliquant la multiplication et la division de la notation scientifique
Dans cette section, nous allons observer un problème du monde réel qui fait appel à la multiplication et à la division de nombres en notation scientifique.
Le périmètre d'un rectangle étant \N(6\Nfois 10^7\N), et sa longueur étant \N(8\Nfois 10^5\N), trouve sa largeur.
Solution
Si \(\text{Périmètre}=\text{Longueur}\times\text{Largeur}\) alors le réarrangement devient
$$\text{Largeur}=\dfrac{\text{Périmètre}}{\text{Longueur}}$$$
Divise les nombres décimaux.
$$6\div 8=0.75$$$
Soustrais les exposants de \(10\).
$$10^{7-5}=10^2$$
0,75 fois 10^2$$.
Selon les règles de la notation scientifique, le coefficient doit être compris entre \(1\) et \(10\). On peut donc travailler davantage en déplaçant la virgule vers la droite d'une décimale. En déplaçant la virgule de 1 vers la droite, on réduit également de 1 l'exposant de sa base.
$$\text{Largeur}=7.5\contre 10^1\text{cm}$$$
Multiplier les notations scientifiques, c'est trouver le produit de leurs coefficients et additionner leurs exposants. À cet égard, les diviser revient également à trouver leur quotient et à soustraire leurs exposants.
Notation scientifique - Principaux enseignements
- La notation scientifique est un moyen de réécrire les nombres à plusieurs chiffres de manière compacte sous la forme \(a\Nfois 10^b\N) où \(1\Nleq |a|<10\N) et \N(b\N) est un nombre entier.
- La valeur du coefficient est toujours supérieure ou égale à \(1\) et inférieure à \(10\).
- La base en notation scientifique est toujours \(10\).
- Lorsque tu additionnes ou soustrais des nombres en notation scientifique, assure-toi que tous les exposants impliqués ont la même valeur.
- Lors d'une multiplication en notation scientifique, multiplie les coefficients et ajoute les exposants de la base.
- Lors d'une division en notation scientifique, divise les coefficients et soustrait les exposants de la base.
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