Notation algébrique: Mathématiques, Education

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Dans cette explication, nous discuterons de la notationa> algébrique, des symboles impliqués, des exemples et des formules qui naissent de la notation algébrique.

Qu'est-ce que la notation algébrique ?

Lanotation algébrique est la représentation de concepts et d'idées mathématiques de manière concise. Elle utilise des lettres pour représenter les valeurs inconnues dans les problèmes de la vie réelle.

Les principes fondamentaux de l'algèbre s'articulent autour de symboles utilisés pour représenter les problèmes dont la résolution nécessite des principes mathématiques, ainsi que les relations entre eux. Les lettres telles que a, b, c, x, y et z sont les variables les plus courantes que l'on rencontre, qui représentent généralement des quantités. Les lettres grecques minuscules telles que α, β, γ, θ sont habituellement utilisées pour représenter des angles et des plans. Ils sont ensuite mis en énoncés à l'aide d'opérateurs mathématiques qui dénotent la relation entre eux.

Exemples de notation algébrique

Comme nous l'avons vu précédemment, la notation algébrique est utilisée pour rendre les énoncés plus concis.

Pour écrire la multiplication répétée de valeurs, utilise un exposant pour représenter le nombre de fois que tu veux te multiplier. Par exemple, $a \times a \times a$ $a \times a \times a$ est représenté par $a^{3}$ $a^{3}$ où $a$ représente ici n'importe quel nombre.

La lettre grecque Pi, π, représente un nombre particulier 3,14159...

Le signe égal, =, est utilisé pour déclarer que deux quantités sont égales.

Les signes inférieur à <, inférieur ou égal à, ≤, supérieur à, >, supérieur ou égal à, ≥, et non égal à, ≠, sont autant de symboles qui servent également à déclarer l'inégalité des quantités.

Les opérateurs +, -, × et ÷ sont utilisés pour indiquer la relation entre les valeurs. $2 x + 1$ cela signifie que tu dois ajouter 2x à 1.

Qu'est-ce qu'une variable ?

Lesvariables sont des lettres utilisées pour représenter les quantités inconnues en algèbre.

Par exemple, dans l'expression $2 x + 1$ , 'x' est la variable car c'est la lettre ici. Le nombre qui multiplie la variable est appelé coefficient. Ainsi, 2 est le coefficient de cette expression. Tandis que 1 dans cette expression est la constante ou le terme indépendant, puisque sa valeur ne dépend pas de la variable x.

Le fait de savoir que les variables représentent des nombres inconnus est généralement la base du problème. Par conséquent, pour trouver la solution à ce type de problème, il faut trouver la valeur de la variable.

Par exemple, si Mike a acheté une paire de chaussures et une chemise pour 100 livres sterling, mais qu'il sait seulement que le coût de la paire de chaussures est de 70 livres sterling. Combien coûte la chemise ?

Cette question peut être modélisée sous la forme d'un énoncé mathématique où le coût de la chemise peut être représenté par la lettre x.

$£ 70 + x = £ 100$

Pour trouver la valeur de x, nous devons résoudre l'équation ci-dessus. Nous isolerons x de sorte que x soit le seul élément qui reste d'un côté de l'équation tandis que tout le reste reste de l'autre côté.

Pour cela, nous ajouterons moins 70 £ de chaque côté de l'équation.

$£ 70 - £ 70 + x = £ 100 - £ 70 x = £ 30$

Cela signifie que la valeur de x est de 30 £. Le coût de la chemise est donc de 30 £.

Dans d'autres cas, les variables peuvent être utiles pour évaluer les énoncés mathématiques.

Nous pouvons reprendre le même exemple de l'achat de Mike. Avant de trouver la solution, il pourrait supposer que la chemise lui a coûté 35 livres sterling. Cependant, il pourrait utiliser la substitution pour l'aider à évaluer la solution proposée qu'il a. Il suffit de substituer la valeur proposée à la place de la variable et de voir si elle satisfait l'équation.

$£ 70 + x = £ 100 £ 70 + £ 35 = £ 100 £ 105 = £ 100$

Nous nous rendons compte ici que l'énoncé suggère que 105 £ est la même chose que 100 £, ce qui n'est pas vrai. On peut donc conclure que la solution proposée par Mike, à savoir que la chemise lui a coûté 35 £, est erronée.

Symboles de notation algébrique

Les symboles les plus couramment utilisés en algèbre sont répertoriés dans le tableau ci-dessous.

Symbole	Signification	Exemple
+	Ajouter	$4 + 7 = 11$
-	Soustraire	$13 - 7 = 6$
×	Multiplier	$3 \times 4 = 12$
÷	Diviser	$25 \div 5 = 5$
√	Racine carrée	$\sqrt{36} = 6$
$3$ $\sqrt[3]{}$	Racine cubique	$\sqrt[3]{27} = 3$
$\sqrt[n]{}$	Racine nième	$\sqrt[5]{32} = 2$
( )	Symboles de regroupement	$2 (x + 1)$
[ ]	Symboles de regroupement	$2 1 + [4 (2 + 1) + 3]$
{ }	Jeu de symboles	$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
=	Équivalents	$2 x + 1 = 12$
≠	N'est pas égal à	$3 + 4 \neq 13$
<	Inférieur à	$3 x < 7$
≤	Inférieur ou égal à	$3 x \leq 7$
>	Supérieur à	$5 - 1 > 4 x$
≥	Supérieur ou égal à	$5 - 1 \geq 4 x$
$\Rightarrow$	Implique	$a a n d b a r e o d d \Rightarrow a + b i s e v e n$
∴	Par conséquent	$a = b ∴ b = a$

Notation Sigma et quelques autres

En algèbre, on utilise beaucoup plus de symboles pour des cas spécifiques. Nous allons explorer dans cette section ce que sont la notation sigma, la notation Pi et la factorielle.

Notation sigma

La notation sigma est la façon la plus pratique d'exprimer les longues sommes.

Par exemple, $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ peut aussi s'écrire

id="5305001" role="math" $\sum_{i = 1}^{5} i$ .

Cela signifie que nous additionnons toutes les valeurs de $i$ en commençant par $i = 1$ jusqu'à ce que nous arrivions à $i = 5$ et c'est là que nous nous arrêtons.

$3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 9^{2} + 10^{2} = \sum_{n = 3}^{10} n^{2}$

Remarque que si tu introduis les valeurs de n, tu obtiendras la réponse que tu cherches.

Notation Pi

La notation Pi est utilisée pour indiquer une multiplication répétée. Elle est également appelée notation du produit. Cette notation est assez similaire à la notation de la somme. Un exemple est donné ci-dessous.

$\prod_{n = 5}^{N} (n^{2} - 1) = (5^{2} - 1) (6^{2} - 1) . . . . . (N^{2} - 1)$

Cela permet de lire les produits de $n = 5$ à N, où N est plus grand que n.

La notation Pi est également utilisée pour définir la factorielle. $n!$

$n! = \prod_{i = 1}^{n} i = (1) (2) (3) (4) . . . . (n - 1) (n)$

Notation de comptage

Tu rencontreras certainement la notation $n!$ . Celle-ci représente la factorielle ;

$n! = 1$ si $n = 0$ ,

sinon,

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \times . . . \times 3 \times 2 \times 1$ .

n!

compte le nombre de façons de disposer n objets distincts. Il est donc intuitif de savoir que lorsque tu as zéro (0) objet, il n'y a qu'une seule façon de les disposer - ne rien faire.

La notation du coefficient binomial est liée aux factorielles $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ .

$(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = {}^{n}C_{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$

La formule ci-dessus est une façon d'exprimer le nombre de sous-ensembles k dans un ensemble n. Nous considérons donc ici n comme un nombre entier non négatif et k comme un nombre entier non négatif inférieur ou égal à n.

Les formules comme notation algébrique

Les formules mathématiques sont des expressions typiques des notations algébriques. Les formules sont constituées de différentes quantités reliées entre elles par le signe égal. Elles contiennent des variables et parfois des constantes. Cela signifie que si tu as les valeurs de certaines variables dans une formule, tu peux trouver la valeur des variables restantes, les mêmes propriétés des équations.

Tu trouveras ci-dessous des exemples de formules mathématiques qui sont des expressions typiques de la notation algébrique.

Concept	Formule
Surface d'un rectangle	$A = l \times w$
Surface d'un cercle	$A = π r^{2}$
Volume d'un cuboïde	$V o l u m e = l \times b \times h$
Volume du cylindre	$V o l u m e = π r^{2} h$
Vitesse	$S p e e d = \frac{D i s \tan c e}{T i m e}$
Densité	$D e n s i t y = \frac{M a s s}{V o l u m e}$

Méthode de notation algébrique

La méthode de notation algébrique est une façon d'utiliser l'expansion pour multiplier de grands nombres. Voyons les étapes suivies pour effectuer des opérations de cette manière.

ÉTAPE 1 : Développe les valeurs données
ÉTAPE 2 : Utiliser la propriété distributive pour effectuer les opérations de multiplication.

Essayons des cas où nous multiplions un nombre avec une seule valeur de place par un nombre avec deux valeurs de place.

Utilise la méthode de notation algébrique pour effectuer la multiplication ;

$4 \times 91$

Solution

Tout d'abord, nous allons écrire 91 sous forme développée.

$4 \times 91$

91 peut être développé comme suit $90 + 1$

$4 \times (90 + 1)$

Nous pouvons maintenant utiliser la propriété distributive pour multiplier les valeurs. 4 va maintenant multiplier les deux valeurs données.

$(4 \times 90) + (4 + 1) = = 360 + 4 = 364$

Utilise la méthode de notation algébrique pour effectuer la multiplication ;

$5 \times 43$

Solution :

Nous allons d'abord écrire 43 sous forme développée. 43 peut être développé comme suit $40 + 3$

$5 \times (40 + 3)$

Nous pouvons maintenant utiliser la propriété distributive pour multiplier les valeurs.

$(5 \times 40) + (5 \times 3) = = 200 + 15 = 215$

Essayons aussi de multiplier les cas qui ont deux valeurs de place.

Utilise la méthode de notation algébrique pour effectuer la multiplication ;

$23 \times 42$

Solution :

Ici, nous allons écrire les deux nombres sous forme développée. 23 peut s'écrire $20 + 3$ et 42 peut s'écrire $40 + 2$

$(20 + 3) \times (40 + 2)$

Nous allons maintenant utiliser la propriété distributive pour effectuer l'opération.

$20 (40 + 2) + 3 (40 + 2) = = 800 + 40 + 120 + 6 = 966$

Utilise la méthode de notation algébrique pour effectuer la multiplication ;

$75 \times 13$

Solution :

Nous écrirons les deux nombres sous forme développée. 75 sera $70 + 5$ et 13 sera $10 + 3$ .

$(70 + 5) \times (10 + 3)$

Nous allons maintenant utiliser la propriété distributive pour effectuer l'opération.

$70 (10 + 3) + 5 (10 + 3) = = 700 + 210 + 50 + 15 = 975$

Notation algébrique - Principaux enseignements

La notation algébrique est la représentation de concepts et d'idées mathématiques de manière concise.
Les lettres a, b, c, x, y et z sont les variables les plus courantes.
Les variables sont des lettres utilisées pour représenter des quantités inconnues en algèbre.
Pour écrire la multiplication répétée de valeurs, utilise un exposant pour représenter le nombre de fois où tu veux te multiplier.
Les opérateurs +, -, × et ÷ sont utilisés pour indiquer la relation entre les valeurs.
Les signes inférieur à <, inférieur ou égal à ≤, supérieur à >, supérieur ou égal à ≥, et non égal à ≠ sont des symboles qui servent aussi à dénoter l'inégalité des quantités.

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Les principes fondamentaux de l'algèbre s'articulent autour des symboles utilisés pour représenter les problèmes dont la résolution nécessite des principes mathématiques, et des relations qui existent entre eux.

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Questions fréquemment posées en Notation algébrique

Qu'est-ce que la notation algébrique?

La notation algébrique est un système de symboles utilisés pour représenter des expressions mathématiques, comme les équations et les formules.

Pourquoi utilisons-nous la notation algébrique?

Nous utilisons la notation algébrique pour simplifier et généraliser les calculs mathématiques, permettant de résoudre des problèmes plus facilement.

Quels sont les symboles courants en notation algébrique?

Les symboles courants incluent les lettres (comme x et y), les opérateurs (+, -, *, /), et les signes d'égalité et d'inégalité (=, ≠, <, >).

Comment apprendre la notation algébrique?

Pour apprendre la notation algébrique, il faut pratiquer des exercices réguliers, comprendre les concepts de base et suivre des cours de mathématiques.

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