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La notation est un système symbolique de représentation des éléments et des concepts mathématiques. Les mathématiques sont un langage très précis, et différentes formes de description sont nécessaires pour différents aspects de la réalité. La dépendance des mathématiques à l'égard de la notation est essentielle pour les concepts abstraits qu'elles explorent.
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Équipe enseignants Notation
Par exemple, il est plus approprié de tenter de décrire la configuration du terrain à quelqu'un qui veut s'orienter dans des endroits qu'il ne connaît pas en dessinant une carte plutôt qu'en utilisant un texte.
Le concept de notation est conçu pour que des symboles spécifiques représentent des choses spécifiques afin que la communication soit efficace. Prenons ces deux phrases comme exemples. Le nombre de possibilités n'est que de 4 !" est très différent de "Il n'y a que 4 possibilités !". La première phrase pourrait être trompeuse car elle implique une factorielle de 4 (4 !).
La notation est principalement constituée de lettres, de symboles, de chiffres et de signes. La notation peut utiliser des symboles, des lettres uniquement, des chiffres uniquement, ou un mélange comme le symbole factoriel n ! Examinons quelques notations de base.
Lorsque tu étudies les mathématiques, il est probable que tu rencontres la notation n ! Ce symbole représente la factorielle.
n ! = 1 si n = 0
Sinon, \N(n !) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)
n ! compte le nombre de façons de disposer n objets distincts. Il est donc intuitif de savoir que lorsque tu as zéro (0) objet, il n'y a qu'une seule façon de les disposer : ne rien faire.
La notation du coefficient binomial est liée aux factorielles : \(\Bigg(\begin{array} n n \ k \end{array}\Bigg)\N).
\(\Bigg(\begin{array} n n \\ k \end{array}\Bigg) = {^n}C_k = \frac{n!}{(n-k)!k!}\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N}}).
La formule ci-dessus est une façon d'exprimer le nombre de sous-ensembles k dans un ensemble n. Nous considérons donc ici n comme un nombre entier non négatif et k comme un nombre entier non négatif inférieur ou égal à n.
Ce système permet de définir les éléments et les propriétés des ensembles à l'aide de symboles. Nous écrivons nos ensembles sous forme d'éléments à l'intérieur de crochets.
Par exemple, S = {1, 2, 3} est utilisé pour déclarer que 1, 2 et 3 sont des éléments à l'intérieur d'un ensemble (S), dont les éléments sont énumérés entre les crochets.
Nous pouvons avoir un autre scénario où S = {1, 2, 3, ......, n}.
Ou écrire la même chose sous la forme suivante : \(S = {x | 1 \leq x \leq n}\).
La première expression indique qu'un groupe nommé S contient le nombre de 1 à n.
La deuxième expression énonce qu'un groupe nommé S est égal aux éléments x tels que x existe entre 1 et n. La deuxième expression ne dit rien sur la progression des nombres. La variable x peut être n'importe quel nombre compris entre 1 et n comme 1,5, alors que dans la première, 1,5 n'est pas un membre puisque la liste saute de 1 à 2.
Il y a quelques symboles ci-dessous que nous utilisons lorsque nous décrivons des ensembles. Les symboles s'appliquent de gauche à droite comme le symbole d'égalité, ainsi a ∈ A se lira "le membre a existe ou est un élément du groupe / ensemble A"
symbole | Signification |
∈ | " Est un membre de " ou " est un élément de ". |
∉ | "N'est pas un membre de" ou "n'est pas un élément de", par exemple, "a n'est pas un membre du groupe A", car a ∉ A. |
{} | Désigne un ensemble. Tout ce qui se trouve entre les curly brackets appartient à l'ensemble. |
| | "Tel que" ou "pour lequel" |
: | "Tel que" ou "pour lequel" |
⊆ | "Est un sous-ensemble de", par exemple "le groupe B est un sous-ensemble / appartient au groupe A", car B ⊆ A. |
⊂ | "Sous-ensemble propre", par exemple, "B est un sous-ensemble propre de A", car B ⊂ A. |
⊇ | "Est un sur-ensemble de", par exemple, "B est un sur-ensemble de A", car B ⊇ A. |
⊃ | Sur-ensemble propre, par exemple, "B est un sur-ensemble propre de A", car B ⊃ A. |
∩ | "Intersection", par exemple, "B set intersection A set", car B ∩ A. |
∪ | "Union", par exemple "B set union A set", car B ∪ A. |
Les nombres ne sont pas les seules choses qui peuvent être considérées comme des éléments d'ensembles. Pratiquement tout ce dont tu veux parler peut l'être. Par exemple, si A = {a, b, c}, on peut écrire que a est un élément de l'ensemble A sous la forme a ∈ A. Les ensembles eux-mêmes peuvent être des éléments d'autres ensembles. On peut utiliser la notation {a, b} ⊆ A pour noter que {a. B} est un sous-ensemble de A.
La notation de la somme est une forme pratique pour exprimer les longues sommes. Par exemple, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 peut aussi s'écrire \(\sum^5_{i=1}{i}\). Cela signifie que nous additionnons toutes les valeurs de i en partant de i = 1 jusqu'à i = 5, où nous nous arrêtons.
\N- [3^2 + 4^2 +5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2 = \sum_{n=3}^{10} n^2\N]
Remarque que si tu introduis les valeurs de n, tu obtiendras la réponse que tu cherches.
La notation Pi est utilisée pour indiquer une multiplication répétée. Elle est également appelée notation du produit. Cette notation est assez similaire à la notation de la somme. Un exemple est donné ci-dessous.
\[\NPi^N_{n = 5}(n^2-1) = (5^2-1)(6^2-1)...(N^2-1)\N]
Cela permet de lire les produits de n = 5 à N, où N est plus grand que n.
La notation Pi est également utilisée pour définir la factorielle n !
\[n ! = \Pi^n_{i=1}i = (1)(2)(3)(4)...(n-1)(n)\]
Cette forme de notation en mathématiques est utilisée pour désigner les chiffres qui se multiplient eux-mêmes un certain nombre de fois.
En utilisant la notation indicielle, 3 - 3 peut être écrit comme32 qui est la même chose que 9.32 peut être lu comme trois à la puissance deux. Dans l'expression "le nombre qui est élevé à la puissance X", X est le nombre de fois que le nombre de base se multiplie lui-même.
La notation indicielle est également utile pour exprimer les grands nombres.
Le nombre 360 peut être écrit en indices sous la forme de \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\) ou \(2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\). Tout nombre élevé à la puissance 0 est égal à 1.
Pour que les notations fonctionnent, elles doivent posséder certaines qualités. Celles-ci sont examinées ci-dessous.
Unicité : cette propriété établit qu'une notation représente une seule chose spécifique. Cela permet d'éradiquer le danger potentiel des synonymes et de l'ambiguïté dans le domaine discret des mathématiques.
Expressivité : il s'agit de la clarté de la notation. Une notation correcte doit contenir toutes les informations pertinentes de la manière exacte dont elles doivent être utilisées. Par exemple, la notation d'un indice peut être exprimée par42, ce qui est la même chose que 4 - 4. Écrire la notation en omettant la puissance ne la rend pas identique à 4 - 4.
Brièveté et simplicité : Les notations sont aussi brèves et simples que possible. Il y a un risque d'erreur en écrivant de longues notations et compte tenu de la nature de la précision qu'elles requièrent pour être valides, elles doivent être faciles à lire, à prononcer et à écrire.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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