Parfois, tu essaies de représenter graphiquement une parabole et tu découvres qu'elle ne coupe pas l'axe \(x\). Mais qu'est-ce que cela signifie lorsque tu essaies de trouver les racines de la parabole en résolvant \(0=ax^2+bx+c\) ? Cela signifie que l'équation n'a pas de racines réelles. Quel est le contraire de réel ? L'imaginaire, bien sûr ! Tu découvriras ici ce qu'est un nombre imaginaire et quel est son rapport avec un nombrea> complexe. Lis la suite pour décomplexer les nombres imaginaires !
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Un nombre complexe est ce que tu obtiens lorsque tu essaies de prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Tu ne peux pas représenter graphiquement un nombre complexe sur le plan de coordonnées standard ((x,y)\) parce que ce n'est pas un nombre "réel". Voyons d'abord comment se définit la racine carrée d'un nombre négatif.
Le nombre imaginaire \(i\) est défini comme \(i=\sqrt{-1}\).
À partir de là, tu peux parler d'un nombre complexe plus général.
Un nombre complexe est un nombre qui est une combinaison d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Il se présente sous la forme \(z=a+bi\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels, et \ (i=\sqrt{-1}\).
Rappelle-toi que l'ensemble de tous les nombres réels s'écrit \(\mathbb{R}\). De même, l'ensemble des nombres complexes s'écrit \(\mathbb{C}\). Tu verras souvent la notation :
\N(\NRe(z) = a\N) pour la partie réelle de \N(z=a+bi\N) ; et
\N(\NIm(z) = b\N) pour la partie imaginaire de \N (z=a+bi\N).
Il est important de reconnaître que tous les nombres réels sont en fait des nombres complexes, puisque tu peux toujours écrire un nombre comme \(5\) sous la forme \(5+0i\). Remarque que \(\Im(5) = 0\), et cela est vrai pour tous les nombres réels !
Représentation graphique des nombres complexes
Tu peux représenter graphiquement les nombres complexes sur ce que l'on appelle un diagramme d'argile. Lorsque tu dessines un diagramme d'argile, il y a deux axes :
un axe représentant la partie réelle du nombre complexe, généralement écrit \(\mathbb{R}\) ; et
un axe représentant la partie imaginaire du nombre complexe, généralement écrit \(i\mathbb{R}\).
Tu verras souvent les expressions "plan complexe" et "diagrammes d'Argand" utilisées de façon interchangeable. Ci-dessous, tu peux voir comment le plan complexe est souvent représenté sur un graphique.
Fig. 1 - Graphique du plan complexe.
Remarque que l'axe réel est l'axe horizontal et l'axe complexe l'axe vertical. Représentons maintenant un point sur un graphique.
Si tu penses au nombre complexe \(z=-6+4i\), la partie réelle est \(\Re(z)=-6\) et la partie imaginaire est \(\Im(z) = 4\). Cela signifie que pour représenter graphiquement le point \(z=-6+4i\) sur le plan complexe, tu dois aller à gauche de \(6\) unités sur l'axe horizontal, et vers le haut de \(4\) unités sur l'axe imaginaire. Tu peux voir cela dans l'image ci-dessous.
Fig. 2 - Tracé du point complexe \(z=-6+4i\).
Cela ressemble donc beaucoup à la représentation graphique d'un point dans le système de coordonnées cartésiennes \((x,y)\). Système de coordonnées cartésiennes !
Bien sûr, il existe d'autres façons de représenter les nombres complexes que celle que tu as vue jusqu'à présent. Pour plus d'informations à ce sujet, consulte les articles Représentation des nombres complexes et Coordonnées polaires.
Valeur absolue des nombres complexes
Tu peux prendre la valeur absolue d'un nombre réel (par exemple \(|-10|=10\), mais peux-tu faire la même chose avec les nombres complexes ? En quelque sorte. Dans le cas des nombres complexes, on parle plutôt de module.
Le module du nombre complexe \(z=a+bi\) est
\[ |z| = \sqrt{a^2+b^2}.\]
Cela devrait te sembler très familier ! En fait, il s'agit de la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle, calculée à l'aide du théorème de Pythagore ! Tu peux le voir graphiquement dans l'image ci-dessous.
Fig. 3 - Le module d'un nombre complexe est la longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle formé en traçant le point dans le plan complexe.
Maintenant que tu sais cela, que fais-tu de l'addition et de la soustraction des nombres complexes ?
Exemples avec les nombres complexes
L'une des premières choses que tu apprends à faire avec les nombres est de les additionner et de les soustraire, alors utilisons-les comme exemples de base. Rappelle-toi que si tu as \N(2x+3y\N) et \N(-4x+7y\N), pour les additionner, tu dois rassembler les termes similaires et les additionner, ce qui donne
et tu pourrais effectuer une action similaire avec la soustraction. Travailler avec des nombres complexes est très similaire !
L'idée est de rassembler les termes similaires et de les additionner ou de les soustraire. La différence ici est que tu rassembles les parties réelles et les parties complexes. Ainsi, si tu as deux nombres complexes, \(z = a+bi\) et \(t = c+di\), tu peux les additionner comme suit :
Qu'en est-il de la multiplication des nombres complexes ?
Multiplication des nombres complexes
Tu te souviens quand tu as appris à multiplier et à factoriser pour résoudre des fonctions et des équations quadratiques ? La multiplication des nombres complexes utilise exactement la même méthode FOIL que celle que tu as vue. Rappelle-toi que FOIL signifie
first - multiplie les deux premiers termes de la parenthèse ensemble ;
inner - multiplie les deux termes intérieurs de la parenthèse ensemble ;
outer - multiplier les deux termes extérieurs de la parenthèse ensemble ; et
last - - multiplie les deux derniers termes de la parenthèse ensemble.
Ainsi, en termes de nombres complexes, si tu as \N (z = a+bi\N) et \N(t = c+di\N), alors
\[ \begin{align} zt &= (a+bi)(c+di) \\ &= ac + bci + adi + bdi^2 \\ &= ac + (bc+ad)i + bd(-1) \\ &= ac-bd + (bc+ad)i ,\end{align}\]
où tu as utilisé le fait que \(i^2 = -1\).
Prenons un petit exemple.
Pour \(z=2-3i\) et \(t=-5+6i\), trouve \(zt\).
Réponse :
N'oublie pas d'utiliser le fait que \N(i^2 = -1\N) lorsque tu fais tes calculs :
Lorsque tu multiplies un nombre complexe et son conjugué, tu obtiens un nombre réel ! Tu peux voir dans la formule de l'exemple qu'il est également vrai que
\N- [z\Nbar{z} = |z|^2.\N]
Quel est le rapport avec la division de deux nombres complexes ? Eh bien, la façon de diviser des nombres complexes est de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par le conjugué complexe du dénominateur. En d'autres termes, si tu divises \(z=a+bi\) par \ (t = c+di\), tu obtiens
Un nombre complexe est un nombre qui est une combinaison d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Il se présente sous la forme \(z=a+bi\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels,
Le nombre imaginaire \(i\) est défini comme \(i=\sqrt{-1}\).
Tous les nombres réels sont en fait des nombres complexes.
La notation des parties réelles et imaginaires des nombres complexes est la suivante :
\(\Re(z) = a\) pour la partie réelle de \(z=a+bi\) ; et
\(\Im(z) = b\) pour la partie imaginaire de \(z=a+bi\).
Le module (ou valeur absolue) du nombre complexe \(z=a+bi\) est le suivant
\[ |z| = \sqrt{a^2+b^2}.\]
Le conjugué complexe de \ (z=a+bi\) est \(\bar{z} = a-bi\).
Pour diviser deux nombres complexes, multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur.
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Questions fréquemment posées en Nombres Complexes
Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?
Un nombre complexe est une combinaison d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire sous la forme a + bi, où a et b sont réels, et i est l'unité imaginaire.
Comment ajouter deux nombres complexes ?
Pour ajouter deux nombres complexes, additionnez les parties réelles ensemble et les parties imaginaires ensemble : (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i.
Comment représenter un nombre complexe sur un graphique ?
Pour représenter un nombre complexe sur un graphique, utilisez le plan complexe (ou plan d'Argand) avec l'axe des x pour les parties réelles et l'axe des y pour les parties imaginaires.
À quoi servent les nombres complexes ?
Les nombres complexes sont essentiels en ingénierie, physique et mathématiques pour résoudre des équations qui n'ont pas de solutions réelles et pour modéliser des phénomènes périodiques.
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Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
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