Formules des nombres complexes
Un nombre complexe est ce que tu obtiens lorsque tu essaies de prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Tu ne peux pas représenter graphiquement un nombre complexe sur le plan de coordonnées standard ((x,y)\) parce que ce n'est pas un nombre "réel". Voyons d'abord comment se définit la racine carrée d'un nombre négatif.
Le nombre imaginaire \(i\) est défini comme \(i=\sqrt{-1}\).
À partir de là, tu peux parler d'un nombre complexe plus général.
Un nombre complexe est un nombre qui est une combinaison d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Il se présente sous la forme \(z=a+bi\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels, et \ (i=\sqrt{-1}\).
Rappelle-toi que l'ensemble de tous les nombres réels s'écrit \(\mathbb{R}\). De même, l'ensemble des nombres complexes s'écrit \(\mathbb{C}\). Tu verras souvent la notation :
\N(\NRe(z) = a\N) pour la partie réelle de \N(z=a+bi\N) ; et
\N(\NIm(z) = b\N) pour la partie imaginaire de \N (z=a+bi\N).
Il est important de reconnaître que tous les nombres réels sont en fait des nombres complexes, puisque tu peux toujours écrire un nombre comme \(5\) sous la forme \(5+0i\). Remarque que \(\Im(5) = 0\), et cela est vrai pour tous les nombres réels !
Représentation graphique des nombres complexes
Tu peux représenter graphiquement les nombres complexes sur ce que l'on appelle un diagramme d'argile. Lorsque tu dessines un diagramme d'argile, il y a deux axes :
un axe représentant la partie réelle du nombre complexe, généralement écrit \(\mathbb{R}\) ; et
un axe représentant la partie imaginaire du nombre complexe, généralement écrit \(i\mathbb{R}\).
Tu verras souvent les expressions "plan complexe" et "diagrammes d'Argand" utilisées de façon interchangeable. Ci-dessous, tu peux voir comment le plan complexe est souvent représenté sur un graphique.
Fig. 1 - Graphique du plan complexe.
Remarque que l'axe réel est l'axe horizontal et l'axe complexe l'axe vertical. Représentons maintenant un point sur un graphique.
Si tu penses au nombre complexe \(z=-6+4i\), la partie réelle est \(\Re(z)=-6\) et la partie imaginaire est \(\Im(z) = 4\). Cela signifie que pour représenter graphiquement le point \(z=-6+4i\) sur le plan complexe, tu dois aller à gauche de \(6\) unités sur l'axe horizontal, et vers le haut de \(4\) unités sur l'axe imaginaire. Tu peux voir cela dans l'image ci-dessous.
Fig. 2 - Tracé du point complexe \(z=-6+4i\).
Cela ressemble donc beaucoup à la représentation graphique d'un point dans le système de coordonnées cartésiennes \((x,y)\). Système de coordonnées cartésiennes !
Bien sûr, il existe d'autres façons de représenter les nombres complexes que celle que tu as vue jusqu'à présent. Pour plus d'informations à ce sujet, consulte les articles Représentation des nombres complexes et Coordonnées polaires.
Valeur absolue des nombres complexes
Tu peux prendre la valeur absolue d'un nombre réel (par exemple \(|-10|=10\), mais peux-tu faire la même chose avec les nombres complexes ? En quelque sorte. Dans le cas des nombres complexes, on parle plutôt de module.
Le module du nombre complexe \(z=a+bi\) est
\[ |z| = \sqrt{a^2+b^2}.\]
Cela devrait te sembler très familier ! En fait, il s'agit de la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle, calculée à l'aide du théorème de Pythagore ! Tu peux le voir graphiquement dans l'image ci-dessous.
Fig. 3 - Le module d'un nombre complexe est la longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle formé en traçant le point dans le plan complexe.
Terminons cet exemple.
Trouve le module du nombre complexe \(z=-6+4i\).
Réponse :
Ici, \(a=-6\) et \(b=4\), donc
\[ \begin{align} |&= \sqrt{a^2+b^2} \N- &= \sqrt{6^2 + (-4)^2} \N- &= \sqrt{36+16} \N- &= \sqrt{52} \N- &= 2\sqrt{13}.\Nend{align}\N]
Maintenant que tu sais cela, que fais-tu de l'addition et de la soustraction des nombres complexes ?
Exemples avec les nombres complexes
L'une des premières choses que tu apprends à faire avec les nombres est de les additionner et de les soustraire, alors utilisons-les comme exemples de base. Rappelle-toi que si tu as \N(2x+3y\N) et \N(-4x+7y\N), pour les additionner, tu dois rassembler les termes similaires et les additionner, ce qui donne
\[ \N- (2x+3y) + (-4x+7y) &= (2x-4x) + (3y+7y) \N- (-2x+10y,\N- (end{align})]
et tu pourrais effectuer une action similaire avec la soustraction. Travailler avec des nombres complexes est très similaire !
L'idée est de rassembler les termes similaires et de les additionner ou de les soustraire. La différence ici est que tu rassembles les parties réelles et les parties complexes. Ainsi, si tu as deux nombres complexes, \(z = a+bi\) et \(t = c+di\), tu peux les additionner comme suit :
\[ \begin{align} z+t &= (a+bi) + (c+di) \\ &= (a+c) + (bi+di) \\ &= (a+c)+(b+d)i.\end{align}\]
Les soustraire fonctionnerait de la même manière :
\[ \N- z-t &= (a+bi) - (c+di) \N- &= a+bi-c-di\N- &= (a-c) + (bi-di) \N- &= (a-c)+(b-d)i.\Nend{align}\N]
D'après ces deux équations, tu peux voir que les nombres complexes ont les propriétés suivantes :
\N(\NRe(z) + \NRe(t) = \NRe(z+t)\N) ;
\N(\NRe(z) - \NRe(t) = \NRe(z-t)\N) ;
\N- (\NIm(z) + \NIm(t) = \NIm(z+t)\N) ; et
\N(\NIm(z) - \NIm(t) = \NIm(z-t)\N).
Prenons un exemple rapide.
Pour \(z=2-3i\) et \(t=-5+6i\), trouve \(z+t\) et \(z-t\).
Réponse :
N'oublie pas de rassembler les termes semblables ! Donc
\N- [\N- z+t &= (2-3i) + (-5+6i) \N- &= (2-5) + (-3i+6i) \N- &= -3+3i,\Nfin{align}\N]
et
\N-[ \N-{align} z-t &=(2-3i) - (-5+6i) \N-{align} &= 2-3i-(-5)-(6i)\N-{align} &= (2+5)+(-3i-6i)\N-{align} &= 7-9i.\N-{align}\N-[ \N-{align}}]
Qu'en est-il de la multiplication des nombres complexes ?
Multiplication des nombres complexes
Tu te souviens quand tu as appris à multiplier et à factoriser pour résoudre des fonctions et des équations quadratiques ? La multiplication des nombres complexes utilise exactement la même méthode FOIL que celle que tu as vue. Rappelle-toi que FOIL signifie
first - multiplie les deux premiers termes de la parenthèse ensemble ;
inner - multiplie les deux termes intérieurs de la parenthèse ensemble ;
outer - multiplier les deux termes extérieurs de la parenthèse ensemble ; et
last - - multiplie les deux derniers termes de la parenthèse ensemble.
Ainsi, en termes de nombres complexes, si tu as \N (z = a+bi\N) et \N(t = c+di\N), alors
\[ \begin{align} zt &= (a+bi)(c+di) \\ &= ac + bci + adi + bdi^2 \\ &= ac + (bc+ad)i + bd(-1) \\ &= ac-bd + (bc+ad)i ,\end{align}\]
où tu as utilisé le fait que \(i^2 = -1\).
Prenons un petit exemple.
Pour \(z=2-3i\) et \(t=-5+6i\), trouve \(zt\).
Réponse :
N'oublie pas d'utiliser le fait que \N(i^2 = -1\N) lorsque tu fais tes calculs :
\[ \begin{align} zt &= (2-3i)(-5+6i) \\ &= (2)(-5) + (-3i)(-5) + (2)(6i)+(-3i)(6i) \\ &= -10 + 15i+12i-18i^2 \\ &= -10 +27i -18(-1) \\ &= -10+18+27i \\ &= 8+27i. \N-{align}\N- [\N]
Remarque que tu ne peux pas simplement multiplier les parties réelles ensemble et les parties imaginaires ensemble !
Diviser les nombres complexes
Diviser des nombres complexes n'est pas aussi simple que de les multiplier. Pour te faciliter la vie, tu dois savoir ce qu'est un conjugué complexe.
Le conjugué complexe du nombre complexe \(z=a+bi\) est le nombre complexe \(\bar{z} = a-bi\).
Il se passe quelque chose de très agréable lorsque tu multiplies un nombre complexe et son conjugué ensemble.
Multiplie ensemble \(z=a+bi\) et son conjugué complexe (\bar{z} = a-bi\).
Réponse :
Tu les multiplieras ensemble exactement comme dans la section précédente :
\[ \begin{align} z\bar{z} &= (a+bi)(a-bi) \\ &= a^2 +abi-abi-b^2i^2 \\ &= a^2 -b^2(-1) \\ &= a^2+b^2. \N- [end{align}\N]
Lorsque tu multiplies un nombre complexe et son conjugué, tu obtiens un nombre réel ! Tu peux voir dans la formule de l'exemple qu'il est également vrai que
\N- [z\Nbar{z} = |z|^2.\N]
Quel est le rapport avec la division de deux nombres complexes ? Eh bien, la façon de diviser des nombres complexes est de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par le conjugué complexe du dénominateur. En d'autres termes, si tu divises \ (z=a+bi\) par \ (t = c+di\), tu obtiens
\N- [\N- Début{alignement} \frac{z}{t} &= \frac{a+bi}{c+di} \\N- &= \Nfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} \N- &= \Nfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} .\Nend{align}\N]
En réalité, ce que tu as fait, c'est multiplier par un \(1\) très fantaisiste au lieu de faire une véritable division !
Voyons un exemple d'application de ce principe.
Pour \(z=2-3i\) et \(t=-5+6i\), divise \(z\) par \(t\).
Réponse :
N'oublie pas d'utiliser l'expression fantaisiste \(1\) ! Tu obtiens alors
\[ \begin{align} \frac{z}{t} &= \frac{ 2-3i}{-5+6i} \N- &= \N-{ (2-3i)(-5-6i)}{(-5+6i)(-5-6i)} \N- &= \N-{(2)(-5)+ (-5)(-3i)+(2)(-6i)+(-3i)(-6i) }{5^2 + 6^2} \N- &= \Nfrac{-10-15i-12i+18i^2}{25+36} \N- &= \N-{-10-27i +18(-1)}{61} \N- &= \N-{-28 -27i}{61} \N- &= -\frac{28}{61} -\frac{27}{61}i.\end{align}\]
Il y a beaucoup d'autres choses que tu peux faire avec les nombres complexes. Consulte nos articles connexes Unité imaginaire et bijection polaire, Opérations avec les nombres complexes, Module et phase, Représentation des nombres complexes et Racines des nombres complexes.
Nombres complexes - Points clés
- Un nombre complexe est un nombre qui est une combinaison d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Il se présente sous la forme \(z=a+bi\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels,
- Le nombre imaginaire \(i\) est défini comme \(i=\sqrt{-1}\).
- Tous les nombres réels sont en fait des nombres complexes.
- La notation des parties réelles et imaginaires des nombres complexes est la suivante :
\(\Re(z) = a\) pour la partie réelle de \(z=a+bi\) ; et
\(\Im(z) = b\) pour la partie imaginaire de \(z=a+bi\).
Le module (ou valeur absolue) du nombre complexe \(z=a+bi\) est le suivant
\[ |z| = \sqrt{a^2+b^2}.\]
Le conjugué complexe de \ (z=a+bi\) est \(\bar{z} = a-bi\).
Pour diviser deux nombres complexes, multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur.
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