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À quoi associes-tu le nombre 3,14 ? C'est exact ! C'est le nombre pi (\(\pi\)) ou, à proprement parler, seulement les premiers chiffres de \(\pi\). Dans l'Antiquité, le mathématicien grec Archimède a réussi à calculer \(\pi\) avec une méthode d'approximation qui lui a donné exactement ces deux décimales. Tu apprendras dans cet article comment il est parvenu au nombre \(\pi\), quel est le rapport avec la géométrie et comment les gens utilisent les multiples de pi.
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Équipe enseignants Multiples de pi
Le nombre pi est un nombre irrationnel représenté par la lettre grecque (\(\pi\), prononcé /paɪ/). Un nombre irrationnel est juste un nombre avec un nombre infini de décimales. Pi représente le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre.
Fig. 1. Diagramme montrant le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre.
Comme \(\pi\) est un nombre irrationnel, il est impossible de connaître chaque chiffre de \(\pi\). Cependant, les mathématiciens ont calculé environ 82 billions de chiffres décimaux de ce nombre. On l'approxime généralement à 3,14 ou 3,1416.
Le nombre pi est également appelé constante d'Archimède, car c'est lui qui a remarqué l'importance de \(\pi\) en géométrie et qui a calculé son approximation au3ème siècle avant Jésus-Christ.
Le mathématicien grec Archimède est considéré comme le découvreur du nombre Pi. En l'an 250 avant J.-C., il a pu calculer jusqu'à deux décimales de \(\pi\) par approximation. Comment a-t-il réussi à faire cela ?
Dans un cercle , \(\pi\) correspond exactement à la moitié de la circonférence (C) du cercle.
\(\pi = \frac{C}{d}\)
Archimède a dessiné un cercle unitaire, c'est-à-dire un cercle d'un rayon de \(r = 1\) ou d'un diamètre de \(d = 2\). À l'intérieur et à l'extérieur de ce cercle unitaire, Archimède a dessiné un hexagone régulier, dont il a pu calculer le périmètre.
Fig. 2. Méthode d'approximation pour calculer \(\pi\) avec le cercle unitaire et les hexagones.
La circonférence C du cercle est donc plus grande que le périmètre de l'hexagone intérieur, mais plus petite que celui de l'hexagone extérieur.
Archimède a pu appliquer la relation que nous avons mentionnée précédemment, à savoir que dans le cercle unitaire \(\pi = \frac {C}{2}\), en ajoutant à cela les périmètres connus des deux hexagones, de sorte qu'il a pu déterminer une limite inférieure et une limite supérieure pour le nombre \( \pi\).
\(\frac{P_{inner hexagon}}{2} < \pi < \frac{P_{outer hexagon}}{2}\)
\N(3 < \Npi < 3.464101615\N)
P est le symbole du périmètre.
Pour obtenir une meilleure approximation du nombre \(\pi\), Archimède a divisé les côtés des hexagones d'origine pour obtenir un dodécagone (12 côtés), puis un icositetragon (24 côtés) et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il atteigne un enneacontahexagone (96 côtés).
De cette façon, il a pu déterminer les limites suivantes de \(\pi\) :
\N(3,1408450 < \Npi < 3,1428571\N)
Comprenons tout d'abord ce que l'on entend par multiple d'un nombre.
Le multiple d'un nombre est le produit obtenu lorsque tu multiplies ce nombre par un nombre entier (un nombre entier, c'est-à-dire un nombre sans décimales). Tu peux dire que c'est la table des temps de ce nombre.
Voyons un exemple de multiples d'un nombre.
Parmi les multiples de \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- 4 \N- 4 \N- 6 \N- 8 \N- et ainsi de suite. On les obtient en multipliant \N( 2 \N) par des nombres entiers positifs.
Pi est un nombre, il peut donc être multiplié par d'autres nombres, y compris des nombres entiers. Ainsi, trouver les multiples de pi se fait de la même manière que trouver les multiples de n'importe quel nombre.
À partir de la définition des multiples d'un nombre et de \(\pi\) donnée ci-dessus, nous savons maintenant ce que signifient les multiples de pi.
Multiples de \(\pi\) est le produit obtenu lorsque tu multiplies \(\pi\) par un nombre entier.
Voyons ce qui se passe lorsque tu multiplies \N( \pi \N) par un nombre impair.
Les multiples impairs de Pi sont tous les multiples de Pi obtenus en multipliant Pi par des nombres impairs .
Les nombres impairs sont des nombres qui ne sont pas divisibles par 2. Les exemples sont : \N( 1 \N), \N( 3 \N), \N( 5 \N), \N( 7 \N), \N( 9 \N), etc.
D'après la définition ci-dessus, nous voyons que pour trouver les multiples impairs de \N( \Npi \N), tu devras multiplier \N( \Npi \N) par un nombre impair. Ce faisant, il n'est pas toujours nécessaire de multiplier par la valeur numérique de \( \pi \r). Tu peux simplement utiliser le symbole et le considérer comme de l'algèbre. Vois l'exemple ci-dessous.
Voici quelques multiples impairs de \(\pi \) :
\[ \begin{align} \pi \cdot 1 &= \pi, \pi \cdot 3 &= 3\pi , \pi \cdot 5 &= 5\pi , \cdots \end{align} \]
et la liste continue !
Tu peux voir que les multiples impairs sont obtenus en multipliant \(\pi \) par des nombres impairs.
Et si tu multipliais \N( \pi \N) par un nombre pair ?
Les multiples pairs de Pi sont tous les multiples de Pi obtenus en multipliant Pi par des nombres pairs.
Les nombres pairs sont des nombres divisibles par deux. Ils peuvent être divisés en deux paires ou parties égales. Exemples : \N- 2 \N- 4 \N- 6 \N- 8 \N- 10 \N- ......
D'après les définitions ci-dessus, nous voyons que pour trouver les multiples pairs de \( \pi \), tu devras multiplier par un nombre pair. Pour ce faire, il n'est peut-être pas nécessaire d'utiliser l'approximation numérique de \( \pi \). Tu peux simplement utiliser le symbole et le considérer comme de l'algèbre. Regarde l'exemple ci-dessous.
Voici quelques multiples pairs de \(\pi \)
\[ \begin{align} \pi \cdot 2 &= 2\pi , \pi \cdot 4 &= 4\pi , \pi \cdot 6 &= 6\pi ,\cdots \end{align}\N]
Tu peux voir que les multiples pairs sont obtenus en multipliant \(\pi \) par des nombres pairs.
Parfois, lorsque tu multiplies par \( \pi \), tu souhaites obtenir une valeur approximative plutôt qu'une valeur exacte. Ici, tu vas utiliser la valeur numérique de \( \pi \) pour trouver ses multiples. La valeur approximative de \( \pi \) est elle-même un nombre décimal, donc trouver ses multiples de cette façon donnera un nombre décimal.
Tu peux aussi trouver les multiples pairs ou impairs de \N( \pi \N) en décimal. Il te suffit d'identifier les multiples qui sont pairs ou impairs. L'exemple ci-dessous montre comment obtenir les multiples de \(\pi \).
Voici quelques multiples décimaux de l'approximation de \(\pi \)
\[ \begin{array}{lll} \pi \cdot 1 & \approx 3.142 \cdot 1 &= 3.142 , \pi \cdot 2 & \approx 3.142 \cdot 2 &= 6.284, \pi \cdot 3 & \approx 3.142 \cdot 3 & = 9.426 .\end{array} \]
La signification de ce nombre très spécifique, Pi/4, souvent écrit \( \frac{\pi}{4}\), vient de l'utilisation de \(\pi\) en trigonométrie.Rappelons que \(\pi\) est toujours le résultat de la division de la circonférence C d'un cercle par son diamètre d (\(\pi = \frac{C}{d}\)). Par conséquent, \N(C = d\pi\N). Dans un cercle unitaire, d = 2 : \N(C = 2\Npi\N). Par conséquent, \N(C = d\Npi\N). Dans un cercle unitaire, d = 2 : \N(C = 2\Npi\N).
Lorsque l'on mesure le degré d'un angle à l'aide de \(\pi\), on parle de radians et non de degrés. Un cercle complet fait 360º, et aussi \(2\pi\). Par conséquent, \N(360^\circ \Nequiv 2\pi\N).
Ainsi, \N(180^\circ \equiv \pi, \quad 90^\circ \equiv \frac{\pi}{2}). \quad et \quad 45^\circ \equiv \frac{\pi}{4}\).
Pi/4 est une fraction et il est donc possible de trouver ses multiples comme tu trouverais les multiples d'une fraction. Il te suffit de multiplier par des nombres entiers.
Examinons les cinq premiers multiples de \(\frac{\pi}{4} \).
Les cinq premiers multiples de \( \frac{\pi}{4} \) sont :
\(\begin{align}) \frac{\pi}{4} \cdot 1 &= \frac{\pi}{4} \equiv 45^\circ, \\n- \n- \n- \frac{\pi}{4} \cdot 2 &= \frac{\pi}{2} \equiv 90^\circ, \frac{\pi}{4} \cdot 3 &= \frac{3\pi}{4} \equiv 135^\circ, \\frac{\pi}{4} \cdot 4 &= \pi \equiv 180^\circ,\\\n- \frac{\pi}{4} \cdot 5 &= \frac{5\pi}{4} \N- \N- \N- \N- \Nquiv 225^\circ. \NFin{align} \)
Tu peux aussi trouver des multiples de \(\frac{\pi}{2} \), \(\frac{\pi}{3} \), \(\frac{\pi}{6} \) et de toute autre fraction en termes de \( \pi \) exactement de la même manière que dans l'exemple ci-dessus.
Voyons quelques exemples de multiples de \( \pi \r}).
Quels sont les cinq premiers multiples de \( \pi \) ?
Solution.
Pour obtenir les cinq premiers multiples de \N( \Npi \N), nous allons multiplier \N( \Npi \N) par les nombres entiers \N( 1 \N), \N( 2 \N), \N( 3 \N), \N( 4 \N) et \N( 5 \N).
\N- \N- \N- \N- \N- \N{align} \pi \cdot 1 & = \pi \cdot\pi \cdot 2 & = 2\pi \cdot\pi \cdot 3 & = 3\pi \cdot\pi \cdot 4 & = 4\pi \cdot\pi \cdot 5 & = 5\pi \cdot \cend{align} \]
Par conséquent, les cinq premiers multiples sont \N(\pi \N), \N(2\pi \N), \N(3\pi \N), \N(4\pi \N) et \N(5\pi \N). Remarque que les cinq premiers multiples de \( \pi \r) comprennent à la fois des multiples pairs et impairs.
Prenons un autre exemple.
Quels sont les trois premiers multiples impairs de \( \pi \) ?
Solution.
Pour obtenir les trois premiers multiples impairs de \N( \Npi \N), tu multiplies \N( \Npi \N) par \N( 1 \N), \N( 3 \N) et \N( 5 \N) qui sont des nombres impairs.
\N- \N- \N- \N- \N- \N{align} \pi \cdot 1 & = \pi \cdot \pi \cdot 3 & = 3\pi \cdot \pi \cdot 5 & = 5\pi \cdot \cend{align} \]
Par conséquent, les trois premiers multiples impairs sont \N(\pi \N), \N(3\pi \N) et \N(5\pi \N).
Prenons un autre exemple.
Cite quelques multiples de \( \pi \) en décimales.
Solution.
Pour obtenir certains des multiples de \N( \Npi \N) en décimales, tu devras les multiplier par la valeur numérique de \N( \Npi \N) qui est approximativement \N( 3.142 \N).
\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N{align} \pi \cdot 1 & \approx 3.142 \\c \pi \cdot 2 & \capprox 6.284 \c \pi \cdot 3 & \capprox 9.426 \N- \Npi \Ncdot 4 & \Napprox 12.568 \N- \Npi \Ncdot 5 & \Napprox 15.71 \N- \Npi \Ncdot 6 & \Napprox 18.852 \N- \Nend{align} \]
Par conséquent, certains des multiples de \( \pi \cdot) en décimales sont : \N- 3,142 \N- 6,284 \N- 9,426 \N- 15,71 \N- et 18,852 \N- \N-(\Npoints \N).
Prenons l'exemple des multiples pairs de \N(\Npi \N).
Enumère les quatre premiers multiples pairs de \ ( \frac{\pi}{4} \).
Solution.
Pour trouver les multiples pairs de \N( \Nfrac{\pi}{4} \N), nous devrons multiplier par \N( 2 \N), \N( 4 \N), \N( 6 \N) et \N( 8 \N) qui sont tous des nombres pairs.
\N- \N- Début{align} \frac{\pi}{4} \cdot 2 & = \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{4} \cdot 4 & = \pi \circ; \frac{\pi}{4} \cdot 6 & = \frac{3\pi}{2} \\ \frac{\pi}{4} \cdot 8 &= 2\pi \\ \end{align} \]
Par conséquent, les premiers multiples pairs de \( 4 \N) sont : \( \frac{\pi}{2} \), \( \pi \), \( \frac{3\pi}{2} \) and \( 2\pi \).
Voyons un autre exemple.
Cite quelques multiples de \( \frac{\pi}{2} \).
Solution.
Certains des multiples de \ ( \frac{\pi}{2} \) sont :
\[ \begin{align} \frac{\pi}{2} \cdot 1 &= \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} \cdot 2 &= \pi \circ; \frac{\pi}{2} \cdot 3 &= \frac{3\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} \cdot 4 &= 2\pi \circ; \frac{\pi}{2} \cdot 5 &= \frac{5\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} \cdot 6 &= 3\pi \circ; \frac{\pi}{2} \cdot 7 &= \frac{7\pi}{2} \N- \N- end{align} \]
Par conséquent, certains des multiples de \( \frac{\pi}{2} \) sont : \( \frac{\pi}{2} \), \( \pi \), \( \frac{3\pi}{2} \), \( 2\pi \), \( \frac{5\pi}{2} \), \( 3\pi \), \( \frac{7\pi}{2} \) ..... and the list goes on!
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