Méthodes Numériques

Intégration numérique

Certaines fonctions ne sont pas intégrables, ce qui signifie qu'il n'existe pas d'antidérivée pour cette fonction. Cependant, cela ne signifie pas que nous ne pouvons pas calculer approximativement l'aire sous ces fonctions (c'est-à-dire trouver une solution approximative pour une intégrale définie). Pour ce faire, nous divisons l'aire sous l'intégrale en aires plus petites (ou en formes qui ressemblent étroitement à l'aire de l'intégrale), nous trouvons l'aire de chacune de ces aires, puis nous les additionnons pour obtenir une approximation.

Au niveau A, nous nous concentrons sur la méthode des trapèzes. Il s'agit de diviser la surface en une série de trapèzes et de les additionner. Tu trouveras ci-dessous un schéma illustrant cette méthode.

Méthode trapézoïdale d'intégration numérique.

Plus on ajoute de trapèzes, plus l'approximation devient précise.

Formalisons cela pour obtenir une formule. Supposons que nous ayons une fonction , et que nous voulions approximer l'intégrale de , avec n intervalles également espacés. Cela signifie que nous avons besoin de n + 1 points de données. Soit , puis

pour . Nous trouvons ensuite les valeurs de ces points de données évaluées sur la fonction, ce qui nous donne .

Pour tout trapèze, la surface est donnée par (la largeur) * (la hauteur moyenne des côtés de longueur inégale). Dans ce cas, notre largeur est donnée par . La hauteur moyenne du trapèze i est donnée par . Cela signifie que la surface du trapèze i est donnée par . En faisant la somme de tous ces éléments, nous obtenons la formule de . Comme chaque est compté deux fois en dehors des deux points d'extrémité, nous pouvons simplifier cette formule en .

Recherche de racine

Toutes les équations ne peuvent pas être résolues à l'aide de méthodes algébriques. C'est là qu'intervient l'utilisation de méthodes numériques pour trouver les racines. Toutes les méthodes ne fonctionnent pas dans tous les cas, c'est pourquoi nous devons parfois être sélectifs quant à la méthode que nous utilisons.

Comment localiser une racine

Supposons qu'il existe une fonction, et que nous pensons qu'une racine peut être située entre les points a et b. S'il y a une seule racine, alors le signe de sera différent de celui de . Si l'intervalle est trop grand entre a et b, il peut y avoir plusieurs racines, ce qui pourrait signifier que les signes restent les mêmes, même avec plusieurs racines (cela se produit si le nombre de racines est pair).

Localisation d'une racine à l'aide de méthodes numériques

L'image ci-dessus devrait te permettre de comprendre comment le changement de signe indique une racine.

Itération

L'itération est le processus de répétition d'une fonction mathématique, en utilisant la réponse précédente comme entrée suivante. Par exemple, une fonction itérative peut être aussi simple que . Dans cette équation, nous commençons par une donnée et nous l'utilisons pour trouver . Nous pouvons ensuite continuer ce processus pour trouver autant de que nécessaire. Ce processus peut nous permettre de trouver des racines d'équations à condition que soit suffisamment proche de la racine réelle.

La méthode de Newton-Raphson

Cette méthode peut être dérivée en utilisant des mathématiques que tu ne verras pas au niveau A (un développement de Taylor), mais il s'agit d'un type de formule itérative pour trouver une racine. Supposons que nous ayons une fonction , qui est différentiable. L'itération de Newton-Raphson est donnée par , avec , et une valeur de départ appropriée .